Teorema de Hellinger-Toeplitz

Teorema sobre acotación de operadores simétricos

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , el teorema de Hellinger-Toeplitz establece que un operador simétrico definido en todas partes en un espacio de Hilbert con producto interno está acotado . Por definición, un operador A es simétrico si ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle }$

para todo x , y en el dominio de A . Nótese que los operadores simétricos definidos en todas partes son necesariamente autoadjuntos , por lo que este teorema también puede enunciarse de la siguiente manera: un operador autoadjunto definido en todas partes está acotado. El teorema recibe su nombre de Ernst David Hellinger y Otto Toeplitz .

Este teorema puede considerarse un corolario inmediato del teorema del grafo cerrado , ya que los operadores autoadjuntos son cerrados . Alternativamente, se puede argumentar utilizando el principio de acotación uniforme . Para demostrar el teorema, nos basamos en el supuesto simétrico, por lo tanto, en la estructura del producto interno. También es crucial el hecho de que el operador dado A está definido en todas partes (y, a su vez, la completitud de los espacios de Hilbert).

El teorema de Hellinger-Toeplitz revela ciertas dificultades técnicas en la formulación matemática de la mecánica cuántica . Los observables en mecánica cuántica corresponden a operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert, pero algunos observables (como la energía) no están acotados. Según Hellinger-Toeplitz, dichos operadores no pueden definirse en todas partes (pero pueden definirse en un subconjunto denso ). Tomemos como ejemplo el oscilador armónico cuántico . Aquí el espacio de Hilbert es L ² ( R ), el espacio de funciones integrables al cuadrado en R , y el operador de energía H se define por (suponiendo que las unidades se eligen de manera que ℏ =  m  = ω = 1)

${\displaystyle [Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x).}$

Este operador es autoadjunto y no acotado (sus valores propios son 1/2, 3/2, 5/2, ...), por lo que no puede definirse en la totalidad de L ² ( R ).

Referencias

• Reed, Michael y Simon, Barry : Métodos de física matemática, volumen 1: Análisis funcional. Academic Press, 1980. Véase la sección III.5.
• Teschl, Gerald (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica; con aplicaciones a los operadores de Schrödinger. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4660-5.