Observable

En física , un observable es una propiedad física o una cantidad física que se puede medir . En mecánica clásica , un observable es una "función" de valor real en el conjunto de todos los estados posibles del sistema, por ejemplo, posición y momento . En mecánica cuántica , un observable es un operador , o calibre , donde la propiedad del estado cuántico se puede determinar mediante alguna secuencia de operaciones . Por ejemplo, estas operaciones pueden implicar someter el sistema a varios campos electromagnéticos y, eventualmente, leer un valor.

Los observables físicamente significativos también deben satisfacer leyes de transformación que relacionen observaciones realizadas por diferentes observadores en diferentes marcos de referencia . Estas leyes de transformación son automorfismos del espacio de estados , es decir, transformaciones biyectivas que preservan ciertas propiedades matemáticas del espacio en cuestión.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , los observables se manifiestan como operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert complejo separable que representa el espacio de estados cuánticos . ^[1] Los observables asignan valores a los resultados de mediciones particulares , correspondientes al valor propio del operador. Si estos resultados representan estados físicamente permitidos (es decir, aquellos que pertenecen al espacio de Hilbert), los valores propios son reales ; sin embargo, lo inverso no es necesariamente cierto. ^[2]^[3]^[4] Como consecuencia, solo ciertas mediciones pueden determinar el valor de un observable para algún estado de un sistema cuántico. En mecánica clásica, se puede realizar cualquier medición para determinar el valor de un observable.

La relación entre el estado de un sistema cuántico y el valor de un observable requiere algo de álgebra lineal para su descripción. En la formulación matemática de la mecánica cuántica , hasta una constante de fase , los estados puros están dados por vectores distintos de cero en un espacio de Hilbert V. Se considera que dos vectores v y w especifican el mismo estado si y solo si para algún distinto de cero . Los observables están dados por operadores autoadjuntos en V. No todo operador autoadjunto corresponde a un observable físicamente significativo. ^[5]^[6]^[7]^[8] Además, no todos los observables físicos están asociados con operadores autoadjuntos no triviales. Por ejemplo, en la teoría cuántica, la masa aparece como un parámetro en el hamiltoniano, no como un operador no trivial. ^[9] $\mathbf {w} = c\mathbf {v}$ $c\in \mathbb {C}$

En el caso de las leyes de transformación en mecánica cuántica, los automorfismos necesarios son transformaciones lineales unitarias (o antiunitarias ) del espacio de Hilbert V. Bajo la relatividad galileana o la relatividad especial , las matemáticas de los marcos de referencia son particularmente simples, lo que restringe considerablemente el conjunto de observables físicamente significativos.

En mecánica cuántica, la medición de observables exhibe algunas propiedades aparentemente poco intuitivas. Específicamente, si un sistema está en un estado descrito por un vector en un espacio de Hilbert , el proceso de medición afecta al estado de una manera no determinista pero estadísticamente predecible. En particular, después de que se aplica una medición, la descripción del estado por un solo vector puede destruirse, siendo reemplazada por un conjunto estadístico . La naturaleza irreversible de las operaciones de medición en física cuántica a veces se conoce como el problema de la medición y se describe matemáticamente por operaciones cuánticas . Por la estructura de las operaciones cuánticas, esta descripción es matemáticamente equivalente a la ofrecida por la interpretación del estado relativo donde el sistema original se considera como un subsistema de un sistema más grande y el estado del sistema original está dado por la traza parcial del estado del sistema más grande.

En mecánica cuántica, las variables dinámicas como la posición, el momento traslacional (lineal) , el momento angular orbital , el espín y el momento angular total están asociadas cada una con un operador autoadjunto que actúa sobre el estado del sistema cuántico. Los valores propios del operador corresponden a los posibles valores que se puede observar que tiene la variable dinámica. Por ejemplo, supongamos que es un eigenket ( vector propio ) del observable , con valor propio , y existe en un espacio de Hilbert . Entonces ${\estilo de visualización A}$ ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}$ $|\psi_{a}\rangle$ ${\hat {A}}$ ${\estilo de visualización a}$ ${\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .$

Esta ecuación de elementos propios dice que si se realiza una medición del observable mientras el sistema de interés está en el estado , entonces el valor observado de esa medición particular debe devolver el valor propio con certeza. Sin embargo, si el sistema de interés está en el estado general (y y son vectores unitarios , y el espacio propio de es unidimensional), entonces el valor propio se devuelve con probabilidad , por la regla de Born . ${\hat {A}}$ $|\psi_{a}\rangle$ ${\estilo de visualización a}$ $|\phi\rangle\in {\mathcal {H}}$ $|\phi \rangle$ $|\psi_{a}\rangle$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización a}$ $|\langle \psi _ {a}|\phi \rangle |^{2}$

Observables compatibles e incompatibles en mecánica cuántica

Una diferencia crucial entre las cantidades clásicas y los observables mecánicos cuánticos es que algunos pares de observables cuánticos pueden no ser medibles simultáneamente, una propiedad conocida como complementariedad . Esto se expresa matemáticamente por la no conmutatividad de sus operadores correspondientes, en el sentido de que el conmutador $\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]:={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq {\hat {0}}.$

Esta desigualdad expresa una dependencia de los resultados de las mediciones con respecto al orden en que se realizan las mediciones de los observables y . Una medición de altera el estado cuántico de una manera que es incompatible con la medición posterior de y viceversa. ${\hat {A}}$ ${\hat {B}}$ ${\hat {A}}$ ${\hat {B}}$

Los observables correspondientes a operadores conmutativos se denominan observables compatibles . Por ejemplo, el momento a lo largo de, por ejemplo, el eje y son compatibles. Los observables correspondientes a operadores no conmutativos se denominan observables incompatibles o variables complementarias . Por ejemplo, la posición y el momento a lo largo del mismo eje son incompatibles. ^[10]^{: 155} ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización y}$

Los observables incompatibles no pueden tener un conjunto completo de funciones propias comunes . Nótese que puede haber algunos vectores propios simultáneos de y , pero no en cantidad suficiente para constituir una base completa . ^[11]^[12] ${\hat {A}}$ ${\hat {B}}$

Véase también

Referencias

^ Teschl 2014, págs. 65–66.
^ Consulte la página 20 de las notas de la clase 1 de Robert Littlejohn, archivadas el 29 de agosto de 2023 en Wayback Machine, para obtener una discusión matemática que utiliza el operador de momento como ejemplo específico.
^ de la Madrid Modino 2001, págs.
^ Ballentine, Leslie (2015). Mecánica cuántica: un desarrollo moderno (2.ª ed.). World Scientific. pág. 49. ISBN 978-9814578578.
^ Isham, Christopher (1995). Lecciones sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales. World Scientific. pp. 87–88. ISBN 191129802X.
^ Mackey, George Whitelaw (1963), Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Dover Books on Mathematics, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43517-6
^ Emch, Gerard G. (1972), Métodos algebraicos en mecánica estadística y teoría cuántica de campos , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-23900-0
^ "¿No todos los operadores autoadjuntos son observables?". Physics Stack Exchange . Consultado el 11 de febrero de 2022 .
^ Isham, Christopher (1995). Lecciones sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales. World Scientific. pp. 87–88. ISBN 191129802X.
^ Messiah, Albert (1966). Mecánica cuántica . North Holland, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244.
^ Griffiths, David J. (2017). Introducción a la mecánica cuántica. Cambridge University Press. pág. 111. ISBN 978-1-107-17986-8.
^ Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë 2019, p. 232.

Lectura adicional

Auyang, Sunny Y. (1995). ¿Cómo es posible la teoría cuántica de campos? . Nueva York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0195093452.
Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (2019). Mecánica cuántica, volumen 1 . Weinheim: John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-34553-3.
de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje espacial de Hilbert amañado (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.
Teschl, G. (2014). Métodos matemáticos en mecánica cuántica . Providence (RI): American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1704-8.
von Neumann, John (1996). Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . Traducido por Robert T. Beyer (12.ª edición impresa, 1.ª edición impresa en rústica). Princeton, NJ: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0691028934.
Varadarajan, VS (2007). Geometría de la teoría cuántica (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 9780387493862.
Weyl, Hermann (2009). "Apéndice C: Física cuántica y causalidad". Filosofía de las matemáticas y las ciencias naturales . Edición inglesa revisada y aumentada basada en una traducción de Olaf Helmer. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 253–265. ISBN 9780691141206.
Moretti, Valter (2017). Teoría espectral y mecánica cuántica: fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-3319707068.
Moretti, Valter (2019). Estructuras matemáticas fundamentales de la teoría cuántica: teoría espectral, cuestiones fundamentales, simetrías, formulación algebraica. Springer. ISBN 978-3030183462.