Operador de posición

Operador en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el operador de posición es el operador que corresponde a la posición observable de una partícula .

Cuando se considera el operador de posición con un dominio suficientemente amplio (por ejemplo, el espacio de distribuciones templadas ), sus valores propios son los posibles vectores de posición de la partícula. ^[1]

En una dimensión, si por el símbolo denotamos el vector propio unitario del operador de posición correspondiente al valor propio , entonces, representa el estado de la partícula en el que sabemos con certeza encontrar la partícula misma en la posición . $${\displaystyle |x\rangle }$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle x}$

Por lo tanto, denotando el operador de posición con el símbolo  – en la literatura encontramos también otros símbolos para el operador de posición, por ejemplo (de la mecánica lagrangiana), etc. – podemos escribir para cada posición real . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$ $${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$ ${\displaystyle x}$

Una posible realización del estado unitario con posición es la distribución delta (función) de Dirac centrada en la posición , a menudo denotada por . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$

En mecánica cuántica, la familia ordenada (continua) de todas las distribuciones de Dirac, es decir, la familia se llama base de posición (unitaria) (en una dimensión), simplemente porque es una base propia (unitaria) del operador de posición en el espacio de distribuciones duales al espacio de funciones de onda . $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$ ${\displaystyle X}$

Es fundamental observar que existe un único endomorfismo lineal continuo en el espacio de distribuciones templadas tal que para cada punto real . Es posible demostrar que el único endomorfismo anterior está necesariamente definido por para cada distribución templada , donde denota la función de coordenadas de la línea de posición, definida desde la línea real hacia el plano complejo por ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ $${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}$$

Introducción

En una dimensión, para una partícula confinada en una línea recta, el módulo cuadrado de una función de onda integrable cuadrada normalizada representa la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en alguna posición de la línea real, en un momento determinado. $${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$ $${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} ,}$$ ${\displaystyle x}$

En otros términos, si – en un cierto instante de tiempo – la partícula está en el estado representado por una función de onda integrable cuadrada y suponiendo que la función de onda sea de -norma igual a 1, entonces la probabilidad de encontrar la partícula en el rango de posición es ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

Por lo tanto, el valor esperado de una medición de la posición de la partícula es el valor donde: ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}\mathrm {x} \psi \,d\mathrm {x} ,}$$

1. Se supone que la partícula está en el estado ; ${\displaystyle \psi }$
2. La función se supone integrable, es decir, de clase ; ${\displaystyle \mathrm {x} |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$
3. lo indicamos mediante la función de coordenadas del eje de posición. ${\displaystyle \mathrm {x} }$

Además, el operador mecánico cuántico correspondiente a la posición observable se denota también por y se define para cada función de onda y para cada punto de la línea real. ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }},}$$ $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$

El circunflejo sobre la función del lado izquierdo indica la presencia de un operador, por lo que esta ecuación puede leerse: ${\displaystyle \mathrm {x} }$

El resultado del operador de posición que actúa sobre cualquier función de onda es igual a la función de coordenadas multiplicada por la función de onda . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle \psi }$

O más sencillamente:

El operador multiplica cualquier función de onda por la función de coordenadas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$

Nota 1. Para ser más explícitos, hemos introducido la función de coordenadas que simplemente incrusta la línea de posición en el plano complejo. No es nada más que la incrustación canónica de la línea real en el plano complejo. $${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,}$$

Nota 2. El valor esperado del operador de posición, sobre una función de onda (estado), puede reinterpretarse como un producto escalar: suponiendo que la partícula está en el estado y suponiendo que la función es de clase  – lo que implica inmediatamente que la función es integrable, es decir, de clase . ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} \psi }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Nota 3. Estrictamente hablando, la posición observable puede definirse puntualmente como para cada función de onda y para cada punto de la línea real, sobre las funciones de onda que son funciones definidas precisamente puntualmente. En el caso de clases de equivalencia la definición se lee directamente como sigue para cada función de onda . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,}$$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$

Propiedades básicas

En la definición anterior, que se refiere al caso de una partícula confinada en una línea, el lector atento puede observar que no existe ninguna especificación clara del dominio y del codominio para el operador de posición. En la literatura, de manera más o menos explícita, encontramos esencialmente tres direcciones principales para abordar esta cuestión.

1. El operador de posición se define en el subespacio de formado por aquellas clases de equivalencia cuyo producto por la incrustación también se encuentra en el espacio . En este caso, el operador de posición se revela no continuo (ilimitado con respecto a la topología inducida por el producto escalar canónico de ), sin vectores propios, sin valores propios, en consecuencia con espectro propio vacío (colección de sus valores propios). ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle L^{2}}$
2. El operador de posición se define en el espacio de funciones de Schwartz de valor complejo (funciones complejas suaves definidas en la recta real y que decrecen rápidamente en el infinito con todas sus derivadas). El producto de una función de Schwartz por la incrustación vive siempre en el espacio , que es un subconjunto de . En este caso, el operador de posición revela que es continuo (con respecto a la topología canónica de ), inyectivo, sin vectores propios, sin valores propios, en consecuencia con espectro propio vacío (colección de sus valores propios). Es (totalmente) autoadjunto con respecto al producto escalar de en el sentido de que para cada y perteneciente a su dominio . ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}_{1}\to {\mathcal {S}}_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$
3. Esta es, en la práctica, la opción más ampliamente adoptada en la literatura de Mecánica Cuántica, aunque nunca se subraye explícitamente. El operador de posición se define en el espacio de distribuciones templadas de valores complejos (dual topológico del espacio de funciones de Schwartz ). El producto de una distribución templada por la incrustación vive siempre en el espacio , que contiene a . En este caso, el operador de posición revela continuo (con respecto a la topología canónica de ), sobreyectivo, dotado de familias completas de vectores propios, valores propios reales y con espectro propio (colección de sus valores propios) igual a la línea real. Es autoadjunto con respecto al producto escalar de en el sentido de que su operador transpuesto, que es el operador de posición en el espacio de funciones de Schwartz, es autoadjunto: para cada función (de prueba) y perteneciente al espacio . ${\displaystyle {\mathcal {S}}'_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'_{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}'_{1}\to {\mathcal {S}}'_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'_{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}_{1}\to {\mathcal {S}}_{1}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$ $${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,}$$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$

Estados propios

Las funciones propias del operador de posición (en el espacio de distribuciones templadas), representadas en el espacio de posición , son funciones delta de Dirac .

Prueba informal. Para mostrar que los posibles vectores propios del operador de posición deben ser necesariamente distribuciones delta de Dirac, supongamos quees un estado propio del operador de posición con valor propio. Escribimos la ecuación del valor propio en coordenadas de posición, recordando quesimplemente multiplica las funciones de onda por la función, en la representación de la posición. Dado que la funciónes variable mientras quees una constante,debe ser cero en todas partes excepto en el punto. Claramente, ninguna función continua satisface tales propiedades, y no podemos simplemente definir la función de onda como un número complejo en ese punto porque su-norma sería 0 y no 1. Esto sugiere la necesidad de un "objeto funcional" concentrado en el puntoy con una integral diferente de 0: cualquier múltiplo de la delta de Dirac centrada en. La solución normalizada de la ecuación es o mejor Demostración. Aquí demostramos rigurosamente que De hecho, recordando que el producto de cualquier función por la distribución de Dirac centrada en un punto es el valor de la función en ese punto multiplicado por la distribución de Dirac misma, obtenemos inmediatamente Significado de la onda delta de Dirac. Aunque tales estados de Dirac son físicamente irrealizables y, estrictamente hablando, no son funciones, la distribución de Dirac centrada enpuede considerarse como un "estado ideal" cuya posición se conoce con exactitud (cualquier medición de la posición siempre devuelve el valor propio). Por lo tanto, por el principio de incertidumbre , no se sabe nada sobre el momento de dicho estado. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$ $${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$ $${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}}.}$$ $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Tres dimensiones

La generalización a tres dimensiones es sencilla.

La función de onda del espacio-tiempo es ahora y el valor esperado del operador de posición en el estado es donde se toma la integral sobre todo el espacio. El operador de posición es ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .}$$

Espacio de momento

Generalmente, en mecánica cuántica, por representación en el espacio de momento entendemos la representación de estados y observables con respecto a la base de momento unitario canónico. $${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

En el espacio de momento , el operador de posición en una dimensión está representado por el siguiente operador diferencial $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

dónde:

• La representación del operador de posición en la base del momento se define naturalmente por , para cada función de onda (distribución templada) ; ${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$ ${\displaystyle \psi }$
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$representa la función de coordenadas en la línea de momento y la función del vector de onda está definida por . ${\displaystyle \mathrm {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$

Formalismo enyo2(R,do)

Consideremos, por ejemplo, el caso de una partícula sin espín que se mueve en una dimensión espacial (es decir, en una línea). El espacio de estados para dicha partícula contiene el espacio L 2 ( espacio de Hilbert ) de funciones complejas e integrables al cuadrado (con respecto a la medida de Lebesgue ) en la línea real . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

El operador de posición en , se define puntualmente por: ^{[2] [3]} ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$

$${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$para cada clase integrable cuadrada definida puntualmente y para cada número real x , con dominio donde es la función de coordenadas que envía cada punto a sí mismo. ${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$ $${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$ ${\displaystyle \mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Dado que todas las funciones continuas con soporte compacto se encuentran en , Q está densamente definido . Q , al ser simplemente una multiplicación por x , es un operador autoadjunto , por lo que satisface el requisito de un observable mecánico cuántico. ${\displaystyle D_{Q}}$

Inmediatamente de la definición podemos deducir que el espectro consiste en toda la línea real y que Q tiene espectro puramente continuo, por lo tanto no tiene valores propios discretos .

El caso tridimensional se define de forma análoga. En el análisis siguiente, mantendremos el supuesto unidimensional.

Teoría de la medición enyo2(R,do)

Al igual que con cualquier observable mecánico cuántico , para poder analizar la medición de la posición , necesitamos calcular la resolución espectral del operador de posición , que es donde está la denominada medida espectral del operador de posición. $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ $${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$ ${\displaystyle \mu _{X}}$

Dado que el operador de es simplemente el operador de multiplicación por la función de incrustación , su resolución espectral es simple. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$

Para un subconjunto de Borel de la recta real, denotemos la función indicadora de . Vemos que la medida con valor de proyección está dada por es decir, la proyección ortogonal es el operador de multiplicación por la función indicadora de . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \chi _{B}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \mu _{X}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathrm {Pr} ^{\perp }\left(L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\right)}$$ $${\displaystyle \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$ ${\displaystyle \mu _{X}(B)}$ ${\displaystyle B}$

Por lo tanto, si el sistema se prepara en un estado , entonces la probabilidad de que la posición medida de la partícula pertenezca a un conjunto de Borel es donde es la medida de Lebesgue en la línea real. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$ ${\displaystyle \mu }$

Después de cualquier medición que tenga como objetivo detectar la partícula dentro del subconjunto B, la función de onda colapsa a o donde es la norma del espacio de Hilbert en . $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$ $${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

Véase también

• Espacio de posición y momento
• Operador de momento
• Operador de traducción (mecánica cuántica)

Referencias

1. Atkins, PW (1974). Quanta: Un manual de conceptos . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
2. McMahon, D. (2006). Mecánica cuántica desmitificada (2.ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 0-07-145546-9.
3. Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Mecánica cuántica (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0071623582.