Colapso de la función de onda

Proceso por el cual un sistema cuántico adquiere un estado definitivo

En mecánica cuántica , el colapso de la función de onda ocurre cuando una función de onda , inicialmente en una superposición de varios estados propios , se reduce a un solo estado propio debido a la interacción con el mundo externo. Esta interacción se llama observación y es la esencia de una medición en mecánica cuántica , que conecta la función de onda con observables clásicos como la posición y el momento . El colapso es uno de los dos procesos por los cuales los sistemas cuánticos evolucionan en el tiempo; la otra es la evolución continua regida por la ecuación de Schrödinger . ^[1] El colapso es una caja negra para una interacción termodinámicamente irreversible con un entorno clásico . ^{[2] [3]}

Los cálculos de decoherencia cuántica muestran que cuando un sistema cuántico interactúa con el entorno, las superposiciones aparentemente se reducen a mezclas de alternativas clásicas. Significativamente, la función de onda combinada del sistema y el medio ambiente continúa obedeciendo la ecuación de Schrödinger durante este aparente colapso. ^[4] Más importante aún, esto no es suficiente para explicar el colapso real de la función de onda, ya que la decoherencia no la reduce a un solo estado propio. ^{[2] [5]}

Históricamente, Werner Heisenberg fue el primero en utilizar la idea de la reducción de la función de onda para explicar la medición cuántica. ^[6]

Descripción matemática

Antes de colapsar, la función de onda puede ser cualquier función integrable al cuadrado y, por lo tanto, está asociada con la densidad de probabilidad de un sistema mecánico cuántico. Esta función se puede expresar como una combinación lineal de los estados propios de cualquier observable . Los observables representan variables dinámicas clásicas , y cuando un observador clásico mide uno , la función de onda se proyecta sobre un estado propio aleatorio de ese observable. El observador mide simultáneamente el valor clásico de ese observable como el valor propio del estado final. ^[7]

Antecedentes matemáticos

El estado cuántico de un sistema físico se describe mediante una función de onda (a su vez, un elemento de un rayo en el espacio proyectivo de Hilbert ). Esto se puede expresar como un vector usando la notación de Dirac o bracket  :

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle .}$

Los kets especifican las diferentes "alternativas" cuánticas disponibles: un estado cuántico particular. Forman una base propia ortonormal , formalmente ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,|\phi _{3}\rangle ,\dots }$

${\displaystyle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$

donde representa el delta del Kronecker . ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Un observable (es decir, un parámetro medible del sistema) está asociado con cada base propia, y cada alternativa cuántica tiene un valor propio específico del observable. Un "parámetro medible del sistema" podría ser la posición habitual y el momento de, digamos, una partícula, pero también su energía , los componentes del espín ( ), los momentos orbitales ( ) y angulares totales ( ), etc. En la representación básica estos son respectivamente . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle s_{z}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} ,t\rangle =|x,t\rangle +|y,t\rangle +|z,t\rangle ,|\mathbf {p} ,t\rangle =|p_{x},t\rangle +|p_{y},t\rangle +|p_{z},t\rangle ,|E\rangle ,|s_{z}\rangle ,|L_{z}\rangle ,|J_{z}\rangle ,\dots }$

Los coeficientes son las amplitudes de probabilidad correspondientes a cada base . Estos son números complejos . El módulo cuadrado de , es decir (donde denota conjugado complejo ), es la probabilidad de que el sistema de medición esté en el estado . ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}...}$ ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,|\phi _{3}\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle |c_{i}|^{2}={c}_{i}^{*}c_{i}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$

Para simplificar lo siguiente, se supone que todas las funciones de onda están normalizadas ; la probabilidad total de medir todos los estados posibles es uno:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|c_{i}|^{2}=1.}$

El proceso de colapso

Con estas definiciones es fácil describir el proceso de colapso. Para cualquier observable, la función de onda es inicialmente una combinación lineal de la base propia de ese observable. Cuando una agencia externa (un observador, experimentador) mide lo observable asociado con la base propia , la función de onda colapsa del total a solo uno de los estados propios de la base, es decir: ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow |\phi _{i}\rangle .}$

La probabilidad de colapsar a un estado propio dado es la probabilidad de Born . Inmediatamente después de la medición, otros elementos del vector de función de onda, , se han "colapsado" a cero, y . ^{[nota 1]} ${\displaystyle |\phi _{k}\rangle }$ ${\displaystyle P_{k}=|c_{k}|^{2}}$ ${\displaystyle c_{i\neq k}}$ ${\displaystyle |c_{i}|^{2}=1}$

De manera más general, el colapso se define para un operador con base propia . Si el sistema está en el estado y se mide, la probabilidad de colapsar el sistema al estado propio y medir el valor propio de con respecto a sería . Tenga en cuenta que esta no es la probabilidad de que la partícula esté en estado ; está en estado hasta que se convierte en un estado propio de . ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{i}\rangle |^{2}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$

Sin embargo, nunca observamos el colapso a un solo estado propio de un operador de espectro continuo (por ejemplo , posición , momento o un hamiltoniano de dispersión ), porque tales funciones propias no son normalizables. En estos casos, la función de onda colapsará parcialmente en una combinación lineal de estados propios "cercanos" (que necesariamente implican una dispersión de los valores propios) que encarna la imprecisión del aparato de medición. Cuanto más precisa sea la medición, más estrecho será el rango. El cálculo de la probabilidad se realiza de manera idéntica, excepto con una integral sobre el coeficiente de expansión . ^[8] Este fenómeno no está relacionado con el [[principio de incertidumbre]}, ^{[ se necesita aclaración ]} aunque mediciones cada vez más precisas de un operador (por ejemplo, posición) homogeneizarán naturalmente el coeficiente de expansión de la función de onda con respecto a otro operador incompatible (por ejemplo, momento ), reduciendo la probabilidad de medir cualquier valor particular de este último. ${\displaystyle c(q,t)dq}$

Decoherencia cuántica

La decoherencia cuántica explica por qué un sistema que interactúa con un entorno pasa de ser un estado puro , que exhibe superposiciones, a un estado mixto , una combinación incoherente de alternativas clásicas. ^[5] Esta transición es fundamentalmente reversible, ya que el estado combinado del sistema y el medio ambiente sigue siendo puro, pero a todos los efectos prácticos es irreversible, ya que el medio ambiente es un sistema cuántico muy grande y complejo, y no es factible revertir su interacción . Por tanto, la decoherencia es muy importante para explicar el límite clásico de la mecánica cuántica, pero no puede explicar el colapso de la función de onda, ya que todas las alternativas clásicas todavía están presentes en el estado mixto, y el colapso de la función de onda selecciona solo una de ellas. ^{[2] [9] [5]}

Historia y contexto

El concepto de colapso de la función de onda fue introducido por Werner Heisenberg en su artículo de 1927 sobre el principio de incertidumbre , "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik", e incorporado a la formulación matemática de la mecánica cuántica por John von Neumann , en su tratado Mathematische de 1932. Grundlagen der Quantenmechanik . ^[10] Heisenberg no intentó especificar exactamente qué significaba el colapso de la función de onda. Sin embargo, enfatizó que no debe entenderse como un proceso físico. ^[11] Niels Bohr también advirtió repetidamente que debemos renunciar a una "representación pictórica", y quizás también interpretó el colapso como un proceso formal, no físico. ^[12]

De acuerdo con Heisenberg, von Neumann postuló que había dos procesos de cambio de la función de onda:

1. El cambio probabilístico , no unitario , no local y discontinuo provocado por la observación y la medición , como se describió anteriormente.
2. La evolución temporal determinista , unitaria y continua de un sistema aislado que obedece a la ecuación de Schrödinger (o un equivalente relativista, es decir, la ecuación de Dirac ).

En general, los sistemas cuánticos existen en superposiciones de aquellos estados básicos que más se corresponden con las descripciones clásicas y, en ausencia de medidas, evolucionan según la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, cuando se realiza una medición, la función de onda colapsa (desde la perspectiva de un observador) a solo uno de los estados básicos, y la propiedad que se mide adquiere de forma única el valor propio de ese estado en particular . Después del colapso, el sistema vuelve a evolucionar según la ecuación de Schrödinger. ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Al abordar explícitamente la interacción entre el objeto y el instrumento de medición , von Neumann ^[1] ha intentado crear coherencia entre los dos procesos de cambio de la función de onda.

Pudo demostrar la posibilidad de un esquema de medición de la mecánica cuántica consistente con el colapso de la función de onda. Sin embargo, no demostró la necesidad de tal colapso. Aunque el postulado de la proyección de von Neumann se presenta a menudo como una descripción normativa de la medición cuántica, fue concebido teniendo en cuenta la evidencia experimental disponible durante la década de 1930 (en particular, el experimento Compton-Simon fue paradigmático), pero muchos procedimientos de medición actuales importantes no lo hacen. no lo satisface (las llamadas medidas del segundo tipo). ^{[13] [14] [15]}

La existencia del colapso de la función de onda se requiere en:

• la interpretación de Copenhague
• las interpretaciones del colapso objetivo
• la interpretación transaccional
• la interpretación de von Neumann-Wigner en la que la conciencia provoca el colapso.

Por otro lado, el colapso se considera una aproximación redundante u opcional en:

• el enfoque de historias consistentes , autodenominado "Copenhague bien hecho"
• la interpretación de bohm
• la interpretación de muchos mundos
• la interpretación del conjunto
• la interpretación de la mecánica cuántica relacional

El conjunto de fenómenos descritos por la expresión colapso de la función de onda es un problema fundamental en la interpretación de la mecánica cuántica, y se conoce como problema de medición .

En la Interpretación de Copenhague se postula que el colapso es una característica especial de la interacción con los sistemas clásicos (de los cuales las mediciones son un caso especial). Matemáticamente se puede demostrar que el colapso es equivalente a la interacción con un sistema clásico modelado dentro de la teoría cuántica como sistemas con álgebras booleanas de observables ^[16] y equivalente a un valor esperado condicional. ^[17]

La interpretación de muchos mundos de Everett lo aborda descartando el proceso de colapso, reformulando así la relación entre el aparato de medición y el sistema de tal manera que las leyes lineales de la mecánica cuántica sean universalmente válidas; es decir, el único proceso según el cual evoluciona un sistema cuántico está regido por la ecuación de Schrödinger o algún equivalente relativista .

Es posible realizar una descripción general de la evolución de los sistemas mecánicos cuánticos mediante el uso de operadores de densidad y operaciones cuánticas . En este formalismo (que está estrechamente relacionado con el formalismo algebraico C* ) el colapso de la función de onda corresponde a una operación cuántica no unitaria. Dentro del formalismo C* este proceso no unitario equivale a que el álgebra obtenga un centro no trivial ^[18] o centro de su centralizador correspondiente a observables clásicos. ^[19]

El significado atribuido a la función de onda varía de una interpretación a otra, y varía incluso dentro de una interpretación (como la Interpretación de Copenhague). Si la función de onda simplemente codifica el conocimiento del universo por parte de un observador, entonces el colapso de la función de onda corresponde a la recepción de nueva información. Esto es algo análogo a la situación en la física clásica, excepto que la "función de onda" clásica no obedece necesariamente a una ecuación de onda. Si la función de onda es físicamente real, en algún sentido y hasta cierto punto, entonces el colapso de la función de onda también se considera un proceso real, en la misma medida.

Ver también

• flecha del tiempo
• Interpretaciones de la mecánica cuántica.
• Decoherencia cuántica
• Interferencia cuántica
• Efecto Zenón cuántico
• El gato de Schrödinger
• Experimento de Stern-Gerlach

Notas

1. A menos que el observable que se está midiendo conmute con el hamiltoniano , el estado posterior a la medición en general evolucionará a medida que avanza el tiempo hacia una superposición de diferentes estados propios de energía según lo gobernado por la ecuación de Schrödinger . A menos que el estado proyectado en el momento de la medición tenga un valor energético definido, la probabilidad de obtener el mismo resultado de la medición un tiempo después de cero será en general menor que uno.

Referencias

1. J. von Neumann (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (en alemán). Berlín: Springer .
   

   J. von Neumann (1955). Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . Prensa de la Universidad de Princeton .

2. Schlosshauer, Maximiliano (2005). "Decoherencia, problema de medición e interpretaciones de la mecánica cuántica". Mod. Rev. Física . 76 (4): 1267-1305. arXiv : quant-ph/0312059 . Código Bib : 2004RvMP...76.1267S. doi : 10.1103/RevModPhys.76.1267. S2CID  7295619.
3. Giacosa, Francesco (2014). "Sobre la evolución unitaria y el colapso de la mecánica cuántica". Cuantos . 3 (1): 156-170. arXiv : 1406.2344 . doi : 10.12743/quanta.v3i1.26. S2CID  55705326.
4. Zurek, Wojciech Hubert (2009). "Darwinismo cuántico". Física de la Naturaleza . 5 (3): 181–188. arXiv : 0903.5082 . Código bibliográfico : 2009NatPh...5..181Z. doi : 10.1038/nphys1202. S2CID  119205282.
5. Bien, Arthur (2020). "El papel de la decoherencia en la mecánica cuántica". Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Centro para el Estudio del Lenguaje y la Información, sitio web de la Universidad de Stanford . Consultado el 11 de abril de 2021 .
6. Heisenberg, W. (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43 : 172-198. Traducción como 'El contenido real de la cinemática y mecánica teórica cuántica' aquí
7. Griffiths, David J. (2005). Introducción a la Mecánica Cuántica, 2e . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall. págs. 106-109. ISBN 0131118927.
8. Griffiths, David J. (2005). Introducción a la Mecánica Cuántica, 2e . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall. págs. 100-105. ISBN 0131118927.
9. Wojciech H. Zurek (2003). "Decoherencia, einselección y orígenes cuánticos de lo clásico". Reseñas de Física Moderna . 75 (3): 715. arXiv : quant-ph/0105127 . Código Bib : 2003RvMP...75..715Z. doi :10.1103/RevModPhys.75.715. S2CID  14759237.
10. C. Kiefer (2002). "Sobre la interpretación de la teoría cuántica, desde Copenhague hasta la actualidad". arXiv : quant-ph/0210152 .
11. G. Jaeger (2017). ""Reducción de paquetes de ondas "y el carácter cuántico de la actualización de Potentia". Entropía . 19 (10): 13. Bibcode : 2017Entrp..19..513J. doi : 10.3390/e19100513 .
12. Henrik Zinkernagel (2016). "Niels Bohr sobre la función de onda y la división clásica/cuántica". Estudios de Historia y Filosofía de la Física Moderna . 53 : 9–19. arXiv : 1603.00353 . Código Bib : 2016SHPMP..53....9Z. doi :10.1016/j.shpsb.2015.11.001. S2CID  18890207. Por tanto, podemos decir que, para Bohr, el colapso no es físico en el sentido de una onda física (u otra cosa) que colapsa en un punto. Pero es una descripción –de hecho, la mejor o más completa descripción– de algo que sucede, es decir, la formación de un registro de medición (por ejemplo, un punto en una placa fotográfica).
13. W. Pauli (1958). "Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik". En S. Flügge (ed.). Handbuch der Physik (en alemán). vol. V. Berlín: Springer-Verlag. pag. 73.
14. L. Landau y R. Peierls (1931). "Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips für die relativistische Quantentheorie". Zeitschrift für Physik (en alemán). 69 (1–2): 56–69. Código Bib : 1931ZPhy...69...56L. doi :10.1007/BF01391513. S2CID  123160388.)
15. Se pueden encontrar discusiones sobre mediciones del segundo tipo en la mayoría de los tratamientos sobre los fundamentos de la mecánica cuántica, por ejemplo, JM Jauch (1968). Fundamentos de la Mecánica Cuántica . Addison-Wesley. pag. 165.; B. d'Espagnat (1976). Fundamentos conceptuales de la mecánica cuántica . WA Benjamín. págs.18, 159.; y WM de Muynck (2002). Fundamentos de la mecánica cuántica: un enfoque empirista . Editores académicos de Kluwer. sección 3.2.4.
16. Belavkin, vicepresidente (mayo de 1994). "Principio de no demolición de la teoría de la medición cuántica". Fundamentos de la Física . 24 (5): 685–714. arXiv : quant-ph/0512188 . Código bibliográfico : 1994FoPh...24..685B. doi :10.1007/BF02054669. ISSN  0015-9018. S2CID  2278990.
17. Redei, Miklos; Veranos, Stephen J. (7 de agosto de 2006). "Teoría de la probabilidad cuántica". arXiv : quant-ph/0601158 .
18. Primas, Hans (2017). Atmanspacher, Harald (ed.). Conocimiento y tiempo. Publicaciones internacionales Springer. ISBN 978-3-319-47369-7.
19. Fröhlich, J.; Schubnel, B. (5 de octubre de 2013). "Teoría de la probabilidad cuántica y fundamentos de la mecánica cuántica". arXiv : 1310.1484 [cuántico-ph].

enlaces externos

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