Medición en mecánica cuántica.

Interacción de un sistema cuántico con un observador clásico.

En física cuántica , una medición es la prueba o manipulación de un sistema físico para producir un resultado numérico. Una característica fundamental de la teoría cuántica es que las predicciones que hace son probabilísticas . El procedimiento para encontrar una probabilidad implica combinar un estado cuántico , que describe matemáticamente un sistema cuántico, con una representación matemática de la medición que se realizará en ese sistema. La fórmula para este cálculo se conoce como regla de Born . Por ejemplo, una partícula cuántica como un electrón puede describirse mediante un estado cuántico que asocia a cada punto del espacio un número complejo llamado amplitud de probabilidad . Aplicando la regla de Born a estas amplitudes se obtienen las probabilidades de que el electrón se encuentre en una región u otra cuando se realiza un experimento para localizarlo. Esto es lo mejor que puede hacer la teoría; no puede decir con certeza dónde se encontrará el electrón. El mismo estado cuántico también se puede utilizar para hacer una predicción de cómo se moverá el electrón , si se realiza un experimento para medir su impulso en lugar de su posición. El principio de incertidumbre implica que, cualquiera que sea el estado cuántico, el rango de predicciones para la posición del electrón y el rango de predicciones para su momento no pueden ser ambos estrechos. Algunos estados cuánticos implican una predicción casi segura del resultado de una medición de posición, pero el resultado de una medición de momento será muy impredecible, y viceversa. Además, el hecho de que la naturaleza viole las condiciones estadísticas conocidas como desigualdades de Bell indica que la imprevisibilidad de los resultados de las mediciones cuánticas no puede explicarse como resultado de la ignorancia sobre las " variables locales ocultas " dentro de los sistemas cuánticos.

Medir un sistema cuántico generalmente cambia el estado cuántico que describe ese sistema. Esta es una característica central de la mecánica cuántica, que es a la vez matemáticamente compleja y conceptualmente sutil. Las herramientas matemáticas para hacer predicciones sobre qué resultados de medición pueden ocurrir y cómo pueden cambiar los estados cuánticos se desarrollaron durante el siglo XX y utilizan álgebra lineal y análisis funcional . La física cuántica ha demostrado ser un éxito empírico y tener una amplia aplicabilidad. Sin embargo, a un nivel más filosófico , continúan los debates sobre el significado del concepto de medición.

Formalismo matemático

"Observables" como operadores autoadjuntos

En mecánica cuántica, cada sistema físico está asociado a un espacio de Hilbert , cada elemento del cual representa un posible estado del sistema físico. El enfoque codificado por John von Neumann representa una medición de un sistema físico por parte de un operador autoadjunto en ese espacio de Hilbert denominado "observable". ^{[1] : 17} Estos observables desempeñan el papel de cantidades medibles familiares de la física clásica: posición, momento , energía , momento angular , etc. La dimensión del espacio de Hilbert puede ser infinita, como lo es para el espacio de funciones integrables al cuadrado en una línea, que se utiliza para definir la física cuántica de un grado de libertad continuo. Alternativamente, el espacio de Hilbert puede ser de dimensión finita, como ocurre con los grados de libertad de espín . Muchos tratamientos de la teoría se centran en el caso de dimensión finita, ya que las matemáticas involucradas son algo menos exigentes. De hecho, los textos de introducción a la física sobre la mecánica cuántica a menudo pasan por alto tecnicismos matemáticos que surgen de observables de valores continuos y espacios de Hilbert de dimensión infinita, como la distinción entre operadores acotados e ilimitados ; cuestiones de convergencia (si el límite de una secuencia de elementos del espacio de Hilbert también pertenece al espacio de Hilbert), posibilidades exóticas para conjuntos de valores propios, como los conjuntos de Cantor ; Etcétera. ^{[2] : 79  [3]} Estos problemas pueden resolverse satisfactoriamente utilizando la teoría espectral ; ^{[2] : 101} el presente artículo los evitará siempre que sea posible.

Medición proyectiva

Los vectores propios de un observable de von Neumann forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada resultado posible de esa medición corresponde a uno de los vectores que componen la base. Un operador de densidad es un operador semidefinido positivo en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. ^{[1] [2]} Para cada medición que se puede definir, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medición se puede calcular a partir del operador de densidad. . El procedimiento para hacerlo es la regla de Born , que establece que

${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$

donde es el operador de densidad y es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de la medición . El promedio de los valores propios de un observable de von Neumann, ponderado por las probabilidades de la regla de Born, es el valor esperado de ese observable. Para un observable , el valor esperado dado un estado cuántico es ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).}$

Un operador de densidad que es una proyección de rango 1 se conoce como estado cuántico puro , y todos los estados cuánticos que no son puros se denominan mixtos . Los estados puros también se conocen como funciones de onda . Asignar un estado puro a un sistema cuántico implica certeza sobre el resultado de alguna medición en ese sistema (es decir, para algún resultado ). Cualquier estado mixto puede escribirse como una combinación convexa de estados puros, aunque no de forma única . ^[4] El espacio de estados de un sistema cuántico es el conjunto de todos los estados, puros y mixtos, que se le pueden asignar. ${\displaystyle P(x)=1}$ ${\displaystyle x}$

La regla de Born asocia una probabilidad con cada vector unitario en el espacio de Hilbert, de tal manera que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que comprendan una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada con un vector unitario es una función del operador de densidad y del vector unitario, y no de información adicional como la elección de la base para incluir ese vector. El teorema de Gleason establece lo contrario: todas las asignaciones de probabilidades a Los vectores unitarios (o, de manera equivalente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones toman la forma de aplicar la regla de Born a algún operador de densidad. ^{[5] [6] [7]}

Medición generalizada (POVM)

En análisis funcional y teoría de la medición cuántica, una medida valorada por operador positivo (POVM) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Los POVM son una generalización de las medidas de valores de proyección (PVM) y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por los POVM son una generalización de las medidas cuánticas descritas por los PVM. En una analogía aproximada, un POVM es para un PVM lo que un estado mixto es para un estado puro. Se necesitan estados mixtos para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver teorema de Schrödinger-HJW ); De manera análoga, los POVM son necesarios para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande. Los POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también pueden usarse en teoría cuántica de campos . ^[8] Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita , un POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas en un espacio de Hilbert que suman la matriz identidad , ^{[9] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

En mecánica cuántica, el elemento POVM está asociado al resultado de la medición , de modo que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición en el estado cuántico viene dada por ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

¿ Dónde está el operador de seguimiento ? Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

Cambio de estado debido a la medición.

Una medición en un sistema cuántico generalmente provocará un cambio en el estado cuántico de ese sistema. Escribir un POVM no proporciona la información completa necesaria para describir este proceso de cambio de estado. ^{[10] : 134} Para remediar esto, se especifica más información descomponiendo cada elemento POVM en un producto:

${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$

Los operadores Kraus , llamados así en honor a Karl Kraus , proporcionan una especificación del proceso de cambio de estado. ^[a] No son necesariamente autoconjuntos, pero los productos sí lo son. Si al realizar la medición se obtiene el resultado, entonces el estado inicial se actualiza a ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$

Un caso especial importante es la regla de Lüders, que lleva el nombre de Gerhart Lüders . ^{[16] [17]} Si el POVM es en sí mismo un PVM, entonces los operadores de Kraus pueden considerarse los proyectores de los espacios propios del observable de von Neumann:

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$

Si el estado inicial es puro y los proyectores tienen rango 1, se pueden escribir como proyectores sobre los vectores y , respectivamente. La fórmula se simplifica así a ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

Esto se ha conocido históricamente como "reducción del paquete de ondas" o " colapso de la función de onda ". El estado puro implica una predicción de probabilidad uno para cualquier observable de von Neumann que tenga como vector propio. Los textos introductorios a la teoría cuántica a menudo expresan esto diciendo que si una medición cuántica se repite en rápida sucesión, se producirá el mismo resultado en ambas ocasiones. Esto es una simplificación excesiva, ya que la implementación física de una medición cuántica puede implicar un proceso como la absorción de un fotón; Después de la medición, el fotón no existe para ser medido nuevamente. ^{[9] : 91} ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

Podemos definir un mapa lineal, completamente positivo y que conserva el rastro , sumando todos los posibles estados posteriores a la medición de un POVM sin la normalización:

${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$

Es un ejemplo de canal cuántico , ^{[10] : 150} y puede interpretarse como que expresa cómo cambia un estado cuántico si se realiza una medición pero se pierde el resultado de esa medición. ^{[10] : 159}

Ejemplos

Representación de estados en la esfera de Bloch (en azul) y POVM óptimo (en rojo) para una discriminación inequívoca de estados cuánticos ^[18] en los estados y . Tenga en cuenta que en la esfera de Bloch los estados ortogonales son antiparalelos. ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$

El ejemplo prototípico de un espacio de Hilbert de dimensión finita es un qubit , un sistema cuántico cuyo espacio de Hilbert es bidimensional. Un estado puro para un qubit se puede escribir como una combinación lineal de dos estados básicos ortogonales y con coeficientes complejos: ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Una medición en la base producirá un resultado con probabilidad y un resultado con probabilidad , por lo que mediante normalización, ${\displaystyle (|0\rangle ,|1\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$

Un estado arbitrario para un qubit se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de Pauli , que proporcionan una base para las matrices autoadjuntas: ^{[10] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

donde los números reales son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Los elementos POVM se pueden representar de la misma manera, aunque la traza de un elemento POVM no se fija para que sea igual a 1. Las matrices de Pauli no tienen trazas y son ortogonales entre sí con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt , por lo que las coordenadas del estado son las valores esperados de las tres medidas de von Neumann definidas por las matrices de Pauli. ^{[10] : 126} Si dicha medición se aplica a un qubit, entonces, según la regla de Lüders, el estado se actualizará al vector propio de esa matriz de Pauli correspondiente al resultado de la medición. Los vectores propios de son los estados básicos y , y una medida de a menudo se denomina medida en la "base computacional". ^{[10] : 76} Después de una medición en la base computacional, el resultado de una medición o es máximamente incierto. ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Un par de qubits juntos forman un sistema cuyo espacio de Hilbert es de 4 dimensiones. Una medida significativa de von Neumann en este sistema es la definida por la base de Bell , ^{[19] : 36} un conjunto de cuatro estados máximamente entrelazados :

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

Densidad de probabilidad para el resultado de una medición de posición dado el estado propio de energía de un oscilador armónico 1D. ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

Un ejemplo común y útil de mecánica cuántica aplicada a un grado de libertad continuo es el oscilador armónico cuántico . ^{[20] : 24} Este sistema está definido por el hamiltoniano

${\displaystyle {H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},}$

donde , el operador de momento y el operador de posición son operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en la recta real . Los estados propios de energía resuelven la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo : ${\displaystyle {H}}$ ${\displaystyle {p}}$ ${\displaystyle {x}}$

${\displaystyle {H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Se puede demostrar que estos valores propios están dados por

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),}$

y estos valores dan los posibles resultados numéricos de una medición de energía en el oscilador. El conjunto de posibles resultados de una medición de posición en un oscilador armónico es continuo, por lo que las predicciones se expresan en términos de una función de densidad de probabilidad que da la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en el intervalo infinitesimal de a . ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$

Historia del concepto de medición.

La "vieja teoría cuántica"

La antigua teoría cuántica es una colección de resultados de los años 1900-1925 ^{[21] que son anteriores a} la mecánica cuántica moderna . La teoría nunca fue completa ni autoconsistente, sino más bien un conjunto de correcciones heurísticas a la mecánica clásica . ^[22] La teoría se entiende ahora como una aproximación semiclásica ^[23] a la mecánica cuántica moderna. ^[24] Los resultados notables de este período incluyen el cálculo de Planck del espectro de radiación del cuerpo negro , la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico , el trabajo de Einstein y Debye sobre el calor específico de los sólidos, la prueba de Bohr y van Leeuwen de que la radiación clásica la física no puede explicar el diamagnetismo , el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno y la extensión del modelo de Bohr de Arnold Sommerfeld para incluir efectos relativistas .

Experimento de Stern-Gerlach: átomos de plata que viajan a través de un campo magnético no homogéneo y se desvían hacia arriba o hacia abajo según su giro; (1) horno, (2) haz de átomos de plata, (3) campo magnético no homogéneo, (4) resultado clásico esperado, (5) resultado observado

El experimento de Stern-Gerlach , propuesto en 1921 e implementado en 1922, ^{[25] [26] [27]} se convirtió en un ejemplo prototípico de una medición cuántica que tiene un conjunto discreto de resultados posibles. En el experimento original, los átomos de plata fueron enviados a través de un campo magnético espacialmente variable, que los desvió antes de que golpearan una pantalla detectora, como un portaobjetos de vidrio. Las partículas con un momento magnético distinto de cero se desvían, debido al gradiente del campo magnético , de una trayectoria recta. La pantalla revela puntos discretos de acumulación, en lugar de una distribución continua, debido al giro cuantificado de las partículas . ^{[28] [29] [30]}

Transición a la “nueva” teoría cuántica

Un artículo de 1925 de Heisenberg , conocido en inglés como " Reinterpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas ", marcó un momento crucial en la maduración de la física cuántica. ^[31] Heisenberg buscó desarrollar una teoría de los fenómenos atómicos que se basara únicamente en cantidades "observables". En aquel momento, y a diferencia de la presentación estándar posterior de la mecánica cuántica, Heisenberg no consideraba "observable" la posición de un electrón unido dentro de un átomo. En cambio, sus principales cantidades de interés eran las frecuencias de la luz emitida o absorbida por los átomos. ^[31]

El principio de incertidumbre data de este período. Con frecuencia se atribuye a Heisenberg, quien introdujo el concepto al analizar un experimento mental en el que se intenta medir la posición y el impulso de un electrón simultáneamente . Sin embargo, Heisenberg no dio definiciones matemáticas precisas de lo que significaba la "incertidumbre" en estas mediciones. La formulación matemática precisa del principio de incertidumbre posición-momento se debe a Kennard , Pauli y Weyl , y su generalización a pares arbitrarios de observables no conmutantes se debe a Robertson y Schrödinger . ^{[32] [33]}

Escribiendo y para los operadores autoadjuntos que representan la posición y el momento respectivamente, una desviación estándar de la posición se puede definir como ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle {p}}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},}$

y lo mismo para el impulso:

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.}$

La relación de incertidumbre de Kennard-Pauli-Weyl es

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Esta desigualdad significa que ninguna preparación de una partícula cuántica puede implicar predicciones simultáneamente precisas para una medición de la posición y para una medición del momento. ^[34] La desigualdad de Robertson generaliza esto al caso de un par arbitrario de operadores autoadjuntos y . El conmutador de estos dos operadores es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

y esto proporciona el límite inferior del producto de las desviaciones estándar:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

Sustituyendo en la relación de conmutación canónica , expresión postulada por primera vez por Max Born en 1925, ^[35] recupera el enunciado de Kennard-Pauli-Weyl del principio de incertidumbre. ${\displaystyle [{x},{p}]=i\hbar }$

De la incertidumbre a las variables no ocultas

La existencia del principio de incertidumbre plantea naturalmente la cuestión de si la mecánica cuántica puede entenderse como una aproximación a una teoría más exacta. ¿Existen " variables ocultas ", más fundamentales que las cantidades abordadas en la propia teoría cuántica, cuyo conocimiento permitiría predicciones más exactas que las que la teoría cuántica puede proporcionar? Una serie de resultados, entre los que destaca el teorema de Bell , han demostrado que amplias clases de teorías de variables ocultas son, de hecho, incompatibles con la física cuántica.

Bell publicó el teorema ahora conocido con su nombre en 1964, investigando más profundamente un experimento mental propuesto originalmente en 1935 por Einstein , Podolsky y Rosen . ^{[36] [37]} Según el teorema de Bell, si la naturaleza realmente opera de acuerdo con cualquier teoría de variables ocultas locales , entonces los resultados de una prueba de Bell estarán restringidos de una manera particular y cuantificable. Si se realiza una prueba de Bell en un laboratorio y los resultados no están así restringidos, entonces son inconsistentes con la hipótesis de que existen variables locales ocultas. Tales resultados apoyarían la posición de que no hay manera de explicar los fenómenos de la mecánica cuántica en términos de una descripción más fundamental de la naturaleza que esté más en línea con las reglas de la física clásica . Se han realizado muchos tipos de pruebas de Bell en laboratorios de física, a menudo con el objetivo de mejorar problemas de diseño o configuración experimental que, en principio, podrían afectar la validez de los hallazgos de pruebas de Bell anteriores. Esto se conoce como "cerrar lagunas en las pruebas de Bell ". Hasta la fecha, las pruebas de Bell han encontrado que la hipótesis de las variables locales ocultas es inconsistente con la forma en que se comportan los sistemas físicos. ^{[38] [39]}

Los sistemas cuánticos como dispositivos de medición.

El principio de incertidumbre de Robertson-Schrödinger establece que cuando dos observables no conmutan, existe un equilibrio en la previsibilidad entre ellos. El teorema de Wigner-Araki-Yanase demuestra otra consecuencia de la no conmutatividad: la presencia de una ley de conservación limita la precisión con la que se pueden medir los observables que no conmutan con la cantidad conservada. ^[40] Una investigación adicional en esta línea condujo a la formulación de la información sesgada de Wigner-Yanase . ^[41]

Históricamente, los experimentos de física cuántica se han descrito a menudo en términos semiclásicos. Por ejemplo, el giro de un átomo en un experimento de Stern-Gerlach podría tratarse como un grado de libertad cuántico, mientras que se considera que el átomo se mueve a través de un campo magnético descrito por la teoría clásica de las ecuaciones de Maxwell . ^{[2] : 24} Pero los dispositivos utilizados para construir el aparato experimental son en sí mismos sistemas físicos, por lo que la mecánica cuántica también debería ser aplicable a ellos. A partir de la década de 1950, Rosenfeld , von Weizsäcker y otros intentaron desarrollar condiciones de consistencia que expresaran cuándo un sistema mecánico cuántico podía tratarse como un aparato de medición. ^[42] Una propuesta para un criterio sobre cuándo un sistema utilizado como parte de un dispositivo de medición puede modelarse de forma semiclásica se basa en la función de Wigner , una distribución de cuasi probabilidad que puede tratarse como una distribución de probabilidad en el espacio de fase en aquellos casos en los que está en todas partes. no negativo. ^{[2] : 375}

Decoherencia

Un estado cuántico para un sistema imperfectamente aislado generalmente evolucionará hasta entrelazarse con el estado cuántico del medio ambiente. En consecuencia, incluso si el estado inicial del sistema es puro, el estado posterior, encontrado tomando la traza parcial del estado conjunto del sistema y el entorno, será mixto. Este fenómeno de entrelazamiento producido por las interacciones sistema-entorno tiende a oscurecer las características más exóticas de la mecánica cuántica que el sistema podría en principio manifestar. La decoherencia cuántica, como se conoce a este efecto, se estudió en detalle por primera vez durante la década de 1970. ^[43] (Investigaciones anteriores sobre cómo se podría obtener la física clásica como límite de la mecánica cuántica habían explorado el tema de los sistemas imperfectamente aislados, pero el papel del entrelazamiento no se apreció completamente. ^[42] ) Una parte significativa del esfuerzo involucrado en La computación cuántica es evitar los efectos nocivos de la decoherencia. ^{[44] [19] : 239}

Para ilustrar, denotemos el estado inicial del sistema, el estado inicial del medio ambiente y el hamiltoniano que especifica la interacción sistema-medio ambiente. El operador de densidad se puede diagonalizar y escribir como una combinación lineal de los proyectores en sus vectores propios: ${\displaystyle \rho _{S}}$ ${\displaystyle \rho _{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho _{E}}$

${\displaystyle \rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.}$

Al expresar la evolución temporal durante un período de tiempo por parte del operador unitario , el estado del sistema después de esta evolución es ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle \rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

que evalúa a

${\displaystyle \rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

Las cantidades circundantes pueden identificarse como operadores de Kraus, por lo que esto define un canal cuántico. ^[43] ${\displaystyle \rho _{S}}$

Especificar una forma de interacción entre el sistema y el medio ambiente puede establecer un conjunto de "estados punteros", estados del sistema que son (aproximadamente) estables, aparte de los factores de fase generales, con respecto a las fluctuaciones ambientales. Un conjunto de estados de puntero define una base ortonormal preferida para el espacio de Hilbert del sistema. ^{[2] : 423}

Información y computación cuántica.

La ciencia de la información cuántica estudia cómo la ciencia de la información y su aplicación como tecnología dependen de los fenómenos mecánico-cuánticos. Comprender la medición en física cuántica es importante para este campo de muchas maneras, algunas de las cuales se analizan brevemente aquí.

Medición, entropía y distinguibilidad.

La entropía de von Neumann es una medida de la incertidumbre estadística representada por un estado cuántico. Para una matriz de densidad , la entropía de von Neumann es ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );}$

escribiendo en términos de su base de vectores propios, ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,}$

la entropía de von Neumann es

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

Esta es la entropía de Shannon del conjunto de valores propios interpretados como una distribución de probabilidad, por lo que la entropía de von Neumann es la entropía de Shannon de la variable aleatoria definida midiendo en la base propia de . En consecuencia, la entropía de von Neumann desaparece cuando es pura. ^{[10] : 320} La entropía de von Neumann puede caracterizarse de manera equivalente como la entropía de Shannon mínima para una medición dado el estado cuántico , con la minimización de todos los POVM con elementos de rango 1. ^{[10] : 323} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Muchas otras cantidades utilizadas en la teoría de la información cuántica también encuentran motivación y justificación en términos de mediciones. Por ejemplo, la distancia de traza entre estados cuánticos es igual a la mayor diferencia en probabilidad que esos dos estados cuánticos pueden implicar para el resultado de una medición: ^{[10] : 254}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].}$

De manera similar, la fidelidad de dos estados cuánticos, definida por

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},}$

expresa la probabilidad de que un estado pase una prueba para identificar una preparación exitosa del otro. La distancia de traza proporciona límites a la fidelidad a través de las desigualdades de Fuchs-van de Graaf : ^{[10] : 274}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.}$

circuitos cuánticos

Representación del circuito de medida. La única línea del lado izquierdo representa un qubit, mientras que las dos líneas del lado derecho representan un bit clásico.

Los circuitos cuánticos son un modelo para la computación cuántica en el que un cálculo es una secuencia de puertas cuánticas seguidas de mediciones. ^{[19] : 93} Las puertas son transformaciones reversibles en un análogo mecánico cuántico de un registro de n bits . Esta estructura análoga se conoce como registro de n - qubits . Las mediciones, dibujadas en un diagrama de circuito como diales de puntero estilizados, indican dónde y cómo se obtiene un resultado de la computadora cuántica después de ejecutar los pasos del cálculo. Sin pérdida de generalidad , se puede trabajar con el modelo de circuito estándar, en el que el conjunto de puertas son transformaciones unitarias de un solo qubit y puertas NOT controladas en pares de qubits, y todas las mediciones se realizan en base computacional. ^{[19] : 93  [45]}

Computación cuántica basada en mediciones

La computación cuántica basada en mediciones (MBQC) es un modelo de computación cuántica en el que la respuesta a una pregunta se crea, de manera informal, en el acto de medir el sistema físico que sirve como computadora. ^{[19] : 317  [46] [47]}

Tomografía cuántica

La tomografía de estado cuántico es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de datos que representan los resultados de mediciones cuánticas, se calcula un estado cuántico consistente con esos resultados de medición. ^[48] ​​Se denomina así por analogía con la tomografía , la reconstrucción de imágenes tridimensionales a partir de cortes tomados a través de ellas, como en una tomografía computarizada . La tomografía de estados cuánticos se puede extender a la tomografía de canales cuánticos ^[48] e incluso de mediciones. ^[49]

metrología cuántica

La metrología cuántica es el uso de la física cuántica para ayudar a medir cantidades que, generalmente, tenían significado en la física clásica, como explotar los efectos cuánticos para aumentar la precisión con la que se puede medir una longitud. ^[50] Un ejemplo célebre es la introducción de luz comprimida en el experimento LIGO , que aumentó su sensibilidad a las ondas gravitacionales . ^{[51] [52]}

Implementaciones de laboratorio

La gama de procedimientos físicos a los que se pueden aplicar las matemáticas de la medición cuántica es muy amplia. ^[53] En los primeros años del tema, los procedimientos de laboratorio implicaban el registro de líneas espectrales , el oscurecimiento de películas fotográficas, la observación de centelleos , la búsqueda de huellas en cámaras de niebla y la audición de clics de contadores Geiger . ^[b] Persiste el lenguaje de esta época, como la descripción de los resultados de las mediciones en abstracto como "clics del detector". ^[55]

El experimento de la doble rendija es una ilustración prototípica de interferencia cuántica , típicamente descrita utilizando electrones o fotones. El primer experimento de interferencia que se llevó a cabo en un régimen en el que tanto los aspectos ondulatorios como los de partículas del comportamiento de los fotones son significativos fue la prueba de GI Taylor en 1909. Taylor utilizó pantallas de vidrio ahumado para atenuar la luz que pasaba a través de su aparato. hasta el punto de que, en lenguaje moderno, sólo un fotón iluminaría las rendijas del interferómetro a la vez. Registró los patrones de interferencia en placas fotográficas; para la luz más tenue, el tiempo de exposición necesario fue de aproximadamente tres meses. ^{[56] [57]} En 1974, los físicos italianos Pier Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli y Giulio Pozzi implementaron el experimento de la doble rendija utilizando electrones individuales y un tubo de televisión . ^[58] Un cuarto de siglo después, un equipo de la Universidad de Viena realizó un experimento de interferencia con buckybolas , en el que las buckybolas que pasaban a través del interferómetro eran ionizadas por un láser , y los iones luego inducían la emisión de electrones, emisiones que fueron a su vez amplificados y detectados por un multiplicador de electrones . ^[59]

Los experimentos modernos de óptica cuántica pueden emplear detectores de fotón único . Por ejemplo, en la "prueba BIG Bell" de 2018, varias de las configuraciones de laboratorio utilizaron diodos de avalancha de fotón único . Otra instalación de laboratorio utilizó qubits superconductores . ^[38] El método estándar para realizar mediciones en qubits superconductores es acoplar un qubit con un resonador de tal manera que la frecuencia característica del resonador cambie de acuerdo con el estado del qubit, y detectar este cambio observando cómo reacciona el resonador. a una señal de sonda. ^[60]

Interpretaciones de la mecánica cuántica.

Niels Bohr y Albert Einstein , fotografiados aquí en la casa de Paul Ehrenfest en Leiden (diciembre de 1925), mantuvieron una larga disputa colegiada sobre lo que implicaba la mecánica cuántica para la naturaleza de la realidad.

A pesar del consenso entre los científicos de que la física cuántica es en la práctica una teoría exitosa, persisten los desacuerdos en un nivel más filosófico. Muchos debates en el área conocida como fundamentos cuánticos se refieren al papel de la medición en la mecánica cuántica. Las preguntas recurrentes incluyen qué interpretación de la teoría de la probabilidad es más adecuada para las probabilidades calculadas a partir de la regla de Born; y si la aparente aleatoriedad de los resultados de las mediciones cuánticas es fundamental o una consecuencia de un proceso determinista más profundo . ^{[61] [62] [63]} Las visiones del mundo que presentan respuestas a preguntas como estas se conocen como "interpretaciones" de la mecánica cuántica; como bromeó una vez el físico N. David Mermin : "Cada año aparecen nuevas interpretaciones. Ninguna desaparece jamás". ^[64]

Una preocupación central dentro de los fundamentos cuánticos es el " problema de la medición cuántica ", aunque cómo se delimita este problema y si debe contarse como una pregunta o como múltiples cuestiones separadas son temas controvertidos. ^{[54] [65]} De principal interés es la aparente disparidad entre tipos aparentemente distintos de evolución temporal. Von Neumann declaró que la mecánica cuántica contiene "dos tipos fundamentalmente diferentes" de cambio de estado cuántico. ^{[66] : §V.1} Primero, están aquellos cambios que involucran un proceso de medición, y segundo, hay una evolución temporal unitaria en ausencia de medición. El primero es estocástico y discontinuo, escribe von Neumann, y el segundo determinista y continuo. Esta dicotomía ha marcado la pauta para un debate mucho posterior. ^{[67] [68]} Algunas interpretaciones de la mecánica cuántica consideran desagradable la dependencia de dos tipos diferentes de evolución temporal y consideran la ambigüedad de cuándo invocar uno u otro como una deficiencia de la forma en que se presentó históricamente la teoría cuántica. ^[69] Para reforzar estas interpretaciones, sus defensores han trabajado para derivar formas de considerar la "medición" como un concepto secundario y deducir el efecto aparentemente estocástico de los procesos de medición como aproximaciones a una dinámica determinista más fundamental. Sin embargo, no se ha logrado un consenso entre los defensores sobre la forma correcta de implementar este programa y, en particular, sobre cómo justificar el uso de la regla de Born para calcular probabilidades. ^{[70] [71]} Otras interpretaciones consideran los estados cuánticos como información estadística sobre sistemas cuánticos, afirmando así que los cambios abruptos y discontinuos de los estados cuánticos no son problemáticos, simplemente reflejan actualizaciones de la información disponible. ^{[53] [72]} De esta línea de pensamiento, Bell preguntó: "¿ La información de quién ? ¿Información sobre qué ?" ^[69] Las respuestas a estas preguntas varían entre los defensores de las interpretaciones orientadas a la información. ^{[62] [72]}

Ver también

• Los experimentos mentales de Einstein
• teorema de Holevo
• Corrección de errores cuánticos
• Límite cuántico
• Lógica cuántica
• Efecto Zenón cuántico
• El gato de Schrödinger
• SIC-POVM

Notas

1. Hellwig y Kraus ^{[11] [12]} introdujeron originalmente operadores con dos índices, de modo que . El índice adicional no afecta el cálculo de la probabilidad del resultado de la medición, pero sí juega un papel en la regla de actualización del estado, siendo ahora el estado posterior a la medición proporcional a . Se puede considerar que esto representa una combinación de múltiples resultados de un POVM más detallado. ^{[13] [14] [15]} Los operadores de Kraus con dos índices también ocurren en modelos generalizados de interacción sistema-entorno. ^{[9] : 364} ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}A_{ij}A_{ij}^{\dagger }=E_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}A_{ij}^{\dagger }\rho A_{ij}}$ ${\displaystyle \textstyle E_{i}}$
2. Las placas de vidrio utilizadas en el experimento de Stern-Gerlach no se oscurecieron adecuadamente hasta que Stern respiró sobre ellas, exponiéndolas accidentalmente al azufre de sus cigarros baratos. ^{[29] [54]}

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Otras lecturas

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• Braginsky, Vladimir B .; Khalili, Farid Ya. (1992). Medición cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-41928-4.
• Greenstein, George S.; Zajonc, Arthur G. (2006). El desafío cuántico: investigación moderna sobre los fundamentos de la mecánica cuántica (2ª ed.). ISBN 978-0763724702.
• Alterar, Orly; Yamamoto, Yoshihisa (2001). Medición cuántica de un solo sistema . Nueva York: Wiley. doi :10.1002/9783527617128. ISBN 9780471283089.