Espacio proyectivo de Hilbert

En matemáticas y los fundamentos de la mecánica cuántica , el espacio proyectivo de Hilbert o espacio de rayos de un espacio de Hilbert complejo es el conjunto de clases de equivalencia de vectores distintos de cero , para la relación de equivalencia dada por ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle [v]}$ ${\displaystyle v\in H}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle w\sim v}$si y sólo si para algún número complejo distinto de cero . ${\displaystyle v=\lambda w}$ ${\displaystyle \lambda }$

Esta es la construcción habitual de proyectivización , aplicada a un espacio de Hilbert complejo. ^[1] En mecánica cuántica, las clases de equivalencia también se denominan rayos o rayos proyectivos . ${\displaystyle [v]}$

Descripción general

El significado físico del espacio proyectivo de Hilbert es que en la teoría cuántica , las funciones de onda y representan el mismo estado físico , para cualquiera . La regla de Born exige que si el sistema es físico y medible, su función de onda tiene norma unitaria , en cuyo caso se llama función de onda normalizada . La restricción de norma unitaria no se determina completamente dentro del rayo, ya que podría multiplicarse por cualquiera con valor absoluto 1 (la acción del grupo circular ) y conservar su normalización. Esto se puede escribir como se llama fase global . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \psi }$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =e^{i\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

Los rayos que difieren en tal corresponden al mismo estado (cf. estado cuántico (definición algebraica) , dada un álgebra C* de observables y una representación en ). Ninguna medición puede recuperar la fase de un rayo; no es observable. Se dice que es un grupo calibre del primer tipo. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U(1)}$

Si es una representación irreductible del álgebra de observables entonces los rayos inducen estados puros . Las combinaciones lineales convexas de rayos dan lugar naturalmente a matrices de densidad que (aún en el caso de una representación irreducible) corresponden a estados mixtos. ${\displaystyle H}$

En el caso es de dimensión finita, es decir , el espacio de Hilbert se reduce a un espacio producto interno de dimensión finita y el conjunto de rayos proyectivos puede tratarse como un espacio proyectivo complejo ; es un espacio homogéneo para un grupo unitario . Eso es, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=H_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$,

que lleva una métrica de Kähler , llamada métrica de Fubini-Study , derivada de la norma del espacio de Hilbert. ^{[2] [3]}

Como tal, la proyectivización de, por ejemplo, el espacio de Hilbert complejo bidimensional (el espacio que describe un qubit ) es la línea proyectiva compleja . Esto se conoce como esfera de Bloch o, de manera equivalente, esfera de Riemann . Consulte Fibración de Hopf para obtener detalles de la construcción de proyectivización en este caso. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$

Producto

El producto cartesiano de los espacios proyectivos de Hilbert no es un espacio proyectivo. El mapeo de Segre es una incrustación del producto cartesiano de dos espacios proyectivos en el espacio proyectivo asociado al producto tensorial de los dos espacios de Hilbert, dado por . En teoría cuántica, describe cómo generar estados de un sistema compuesto a partir de estados de sus constituyentes. Es sólo una incorporación , no una sobreyección; la mayor parte del espacio del producto tensorial no se encuentra en su rango y representa estados entrelazados . ${\displaystyle \mathbf {P} (H)\times \mathbf {P} (H')\to \mathbf {P} (H\otimes H'),([x],[y])\mapsto [x\otimes y]}$

Ver también

• Espacio proyectivo complejo
• Representación proyectiva
• Espacio proyectivo , para el concepto en general

Notas

1. Miranda 1995, pag. 94.
2. Kong y Liu 2021, pag. 9.
3. Cirelli, Lanzavecchia y Manía 1983.

Referencias

• Ashtekar, Abhay; Schilling, Troy A. (1999). "Formulación geométrica de la mecánica cuántica". En el camino de Einstein . Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. arXiv : gr-qc/9706069 . doi :10.1007/978-1-4612-1422-9_3. ISBN 978-1-4612-7137-6.
• Cirelli, R; Lanzavecchia, P; Manía, A (1983). "Estados puros normales del álgebra de von Neumann de operadores acotados como variedad de Kahler". Revista de Física A: Matemática y General . 16 (16). Publicación del PIO: 3829–3835. Código bibliográfico : 1983JPhA...16.3829C. doi :10.1088/0305-4470/16/16/020. ISSN  0305-4470.
• Kong, Otto CW; Liu, Wei-Yin (2021). "Imagen de coordenadas no conmutativas del espacio de fase cuántica". Revista China de Física . 71 . Elsevier BV: 418. arXiv : 1903.11962 . Código Bib :2021ChJPh..71..418K. doi :10.1016/j.cjph.2021.03.014. S2CID  85543324.
• Miranda, Rick (1995). Curvas algebraicas y superficies de Riemann . Providence (RI): Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-0268-2.