Juego de borel

Clase de conjuntos matemáticos

En matemáticas , un conjunto de Borel es cualquier conjunto en un espacio topológico que puede formarse a partir de conjuntos abiertos (o, equivalentemente, a partir de conjuntos cerrados ) mediante las operaciones de unión contable , intersección contable y complemento relativo . Los conjuntos de Borel reciben su nombre de Émile Borel .

Para un espacio topológico X , la colección de todos los conjuntos de Borel sobre X forma una σ-álgebra , conocida como álgebra de Borel o σ-álgebra de Borel . El álgebra de Borel sobre X es la σ-álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos (o, equivalentemente, todos los conjuntos cerrados).

Los conjuntos de Borel son importantes en la teoría de la medida , ya que cualquier medida definida en los conjuntos abiertos de un espacio, o en los conjuntos cerrados de un espacio, también debe definirse en todos los conjuntos de Borel de ese espacio. Cualquier medida definida en los conjuntos de Borel se denomina medida de Borel . Los conjuntos de Borel y la jerarquía de Borel asociada también desempeñan un papel fundamental en la teoría descriptiva de conjuntos .

En algunos contextos, se define que los conjuntos de Borel se generan a partir de los conjuntos compactos del espacio topológico, en lugar de los conjuntos abiertos. Las dos definiciones son equivalentes para muchos espacios de buen comportamiento , incluidos todos los espacios σ-compactos de Hausdorff , pero pueden ser diferentes en espacios más patológicos .

Generando el álgebra de Borel

En el caso de que X sea un espacio métrico , el álgebra de Borel en el primer sentido puede describirse generativamente de la siguiente manera.

Para una colección T de subconjuntos de X (es decir, para cualquier subconjunto del conjunto potencia P( X ) de X ), sea

• ${\displaystyle T_{\sigma }}$sean todas las uniones contables de elementos de T
• ${\displaystyle T_{\delta }}$sean todas las intersecciones contables de elementos de T
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

Definamos ahora por inducción transfinita una secuencia G ^m , donde m es un número ordinal , de la siguiente manera:

• Para el caso base de la definición, sea la colección de subconjuntos abiertos de X . ${\displaystyle G^{0}}$
• Si i no es un ordinal límite , entonces i tiene un ordinal inmediatamente anterior i − 1. Sea $${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$$
• Si i es un ordinal límite, establezca $${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$$

La afirmación es que el álgebra de Borel es G ^{ω ₁} , donde ω ₁ es el primer número ordinal incontable . Es decir, el álgebra de Borel se puede generar a partir de la clase de conjuntos abiertos iterando la operación hasta el primer número ordinal incontable. $${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }.}$$

Para probar esta afirmación, cualquier conjunto abierto en un espacio métrico es la unión de una sucesión creciente de conjuntos cerrados. En particular, la complementación de conjuntos aplica G ^m a sí misma para cualquier ordinal límite m ; además, si m es un ordinal límite incontable, G ^m es cerrado bajo uniones contables.

Para cada conjunto de Borel B , existe algún ordinal contable α _B tal que B puede obtenerse iterando la operación sobre α _B . Sin embargo, como B varía en todos los conjuntos de Borel, α _B variará en todos los ordinales contables y, por lo tanto, el primer ordinal en el que se obtienen todos los conjuntos de Borel es ω ₁ , el primer ordinal incontable.

La secuencia de conjuntos resultante se denomina jerarquía de Borel .

Ejemplo

Un ejemplo importante, especialmente en la teoría de la probabilidad , es el álgebra de Borel sobre el conjunto de los números reales . Es el álgebra sobre la que se define la medida de Borel . Dada una variable aleatoria real definida sobre un espacio de probabilidad , su distribución de probabilidad es por definición también una medida del álgebra de Borel.

El álgebra de Borel sobre los reales es la σ-álgebra más pequeña sobre R que contiene todos los intervalos .

En la construcción por inducción transfinita se puede demostrar que, en cada paso, el número de conjuntos es, como máximo, la cardinalidad del continuo . Por lo tanto, el número total de conjuntos de Borel es menor o igual a $${\displaystyle \aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.}$$

De hecho, la cardinalidad de la colección de conjuntos de Borel es igual a la del continuo (compárese con el número de conjuntos medibles de Lebesgue que existen, que es estrictamente mayor e igual a ). ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$

Espacios de Borel estándar y teoremas de Kuratowski

Sea X un espacio topológico. El espacio de Borel asociado a X es el par ( X , B ), donde B es la σ-álgebra de conjuntos de Borel de X .

George Mackey definió un espacio de Borel de una manera algo diferente, escribiendo que es "un conjunto junto con un σ-cuerpo distinguido de subconjuntos llamados sus conjuntos de Borel". ^[1] Sin embargo, el uso moderno es llamar a la subálgebra distinguida los conjuntos medibles y a tales espacios espacios medibles . La razón de esta distinción es que los conjuntos de Borel son la σ-álgebra generada por conjuntos abiertos (de un espacio topológico), mientras que la definición de Mackey se refiere a un conjunto equipado con una σ-álgebra arbitraria . Existen espacios medibles que no son espacios de Borel, para cualquier elección de topología en el espacio subyacente. ^[2]

Los espacios medibles forman una categoría en la que los morfismos son funciones medibles entre espacios medibles. Una función es medible si retira conjuntos medibles, es decir, para todos los conjuntos medibles B en Y , el conjunto es medible en X . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$

Teorema . Sea X un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que existe una métrica d en X que define la topología de X y que hace de X un espacio métrico completamente separable . Entonces X como espacio de Borel es isomorfo a uno de

1. R ,
2. O ,
3. un espacio finito.

(Este resultado recuerda al teorema de Maharam ).

Considerados como espacios de Borel, la línea real R , la unión de R con un conjunto contable y R ⁿ son isomorfos.

Un espacio de Borel estándar es el espacio de Borel asociado a un espacio polaco . Un espacio de Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad, ^[3] y cualquier espacio de Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo.

Para los subconjuntos de espacios polacos, los conjuntos de Borel se pueden caracterizar como aquellos conjuntos que son los rangos de las funciones inyectivas continuas definidas en espacios polacos. Sin embargo, cabe señalar que el rango de una función no inyectiva continua puede no ser el de Borel. Véase conjunto analítico .

Cada medida de probabilidad en un espacio de Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar .

Conjuntos que no son de Borel

A continuación se describe un ejemplo de un subconjunto de los números reales que no es de Borel, debido a Lusin , ^{[4] . Por el contrario, no se puede demostrar un ejemplo de un} conjunto no medible , aunque la existencia de dicho conjunto esté implícita, por ejemplo, por el axioma de elección .

Cada número irracional tiene una representación única mediante una fracción continua infinita

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

donde es un entero y todos los demás números son enteros positivos . Sea el conjunto de todos los números irracionales que corresponden a sucesiones con la siguiente propiedad: existe una subsucesión infinita tal que cada elemento es divisor del siguiente elemento. Este conjunto no es de Borel. Sin embargo, es analítico (todos los conjuntos de Borel también son analíticos) y completo en la clase de conjuntos analíticos. Para más detalles, véase la teoría descriptiva de conjuntos y el libro de AS Kechris (ver Referencias), especialmente el Ejercicio (27.2) en la página 209, la Definición (22.9) en la página 169, el Ejercicio (3.4)(ii) en la página 14 y en la página 196. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$ ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$ ${\displaystyle A}$

Es importante señalar que, si bien los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) son suficientes para formalizar la construcción de , no se puede demostrar solo en ZF que no es de Borel. De hecho, es consistente con ZF que es una unión contable de conjuntos contables, ^[5] de modo que cualquier subconjunto de es un conjunto de Borel. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otro conjunto no-boreliano es una imagen inversa de una función de paridad infinita . Sin embargo, se trata de una prueba de existencia (mediante el axioma de elección), no de un ejemplo explícito. ${\displaystyle f^{-1}[0]}$ ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$

Definiciones alternativas no equivalentes

Según Paul Halmos , ^[6] un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto se denomina conjunto de Borel si pertenece al anillo σ más pequeño que contiene todos los conjuntos compactos.

Norberg y Vervaat ^[7] redefinen el álgebra de Borel de un espacio topológico como el álgebra generada por sus subconjuntos abiertos y sus subconjuntos compactos saturados . Esta definición es adecuada para aplicaciones en el caso en que no es Hausdorff. Coincide con la definición habitual si es el segundo numerable o si todo subconjunto compacto saturado es cerrado (que es el caso en particular si es Hausdorff). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Jerarquía de Borel
• Isomorfismo de Borel
• Conjunto Baire
• Álgebra σ cilíndrica
• Teoría descriptiva de conjuntos  – Subcampo de la lógica matemática
• Espacio polaco  – Concepto en topología

Notas

1. Mackey, GW (1966), "Teoría ergódica y grupos virtuales", Math. Ann. , 166 (3): 187–207, doi :10.1007/BF01361167, ISSN  0025-5831, S2CID  119738592
2. Jochen Wengenroth, ¿Es cada álgebra sigma el álgebra de Borel de una topología?
3. Srivastava, SM (1991), Un curso sobre conjuntos de Borel , Springer Verlag , ISBN 978-0-387-98412-4
4. Lusin, Nicolas (1927), "Sur les ensembles analytiques", Fundamenta Mathematicae (en francés), 10 : Secc. 62, páginas 76–78, doi : 10.4064/fm-10-1-1-95
5. Jech, Thomas (2008). El axioma de la elección . Courier Corporation. pág. 142.
6. (Halmos 1950, página 219)
7. Tommy Norberg y Wim Vervaat, Capacidades en espacios no Hausdorff, en: Probability and Lattices , en: CWI Tract, vol. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Ámsterdam, 1997, págs. 133-150

Referencias

• William Arveson , An Invitation to C*-algebras , Springer-Verlag, 1981. (Véase el Capítulo 3 para una excelente exposición de la topología polaca )
• Richard Dudley , Análisis real y probabilidad . Wadsworth, Brooks y Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . D. van Nostrand Co. Véase especialmente la sección 51 "Conjuntos de Borel y conjuntos de Baire".
• Halsey Royden , Análisis real , Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris , Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Springer-Verlag, 1995 (Textos de posgrado en matemáticas, vol. 156)

Enlaces externos

• "Conjunto de Borel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Definición formal de conjuntos de Borel en el sistema Mizar , y lista de teoremas Archivado 2020-06-01 en Wayback Machine que se han demostrado formalmente al respecto.
• Weisstein, Eric W. "Conjunto de Borel". MathWorld .

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