Primer ordinal incontable

Número ordinal más pequeño que, considerado como un conjunto, es incontable.

En matemáticas , el primer ordinal incontable , tradicionalmente denotado por o a veces por , es el número ordinal más pequeño que, considerado como un conjunto , es incontable . Es el supremo (límite superior mínimo) de todos los ordinales contables. Cuando se considera como un conjunto, los elementos de son los ordinales contables (incluidos los ordinales finitos), ^[1] de los cuales hay un número incontable. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Como cualquier número ordinal (en el enfoque de von Neumann ), es un conjunto bien ordenado , donde la pertenencia al conjunto sirve como relación de orden. es un ordinal límite , es decir, no hay ningún ordinal tal que . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{1}=\alpha +1}$

La cardinalidad del conjunto es el primer número cardinal incontable , ( aleph-one ). El ordinal es, por tanto, el ordinal inicial de . Según la hipótesis del continuo , la cardinalidad de es , la misma que la del conjunto de números reales . ^[2] ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En la mayoría de las construcciones, y se consideran conjuntos iguales. Para generalizar: si es un ordinal arbitrario, lo definimos como el ordinal inicial del cardinal . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

La existencia de se puede demostrar sin el axioma de elección . Para más información, véase el número de Hartog . ${\displaystyle \omega _{1}}$

Propiedades topológicas

Cualquier número ordinal se puede convertir en un espacio topológico mediante el uso de la topología de orden . Cuando se lo considera como un espacio topológico, a menudo se escribe como , para enfatizar que es el espacio que consta de todos los ordinales menores que . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Si se cumple el axioma de elección contable , cada ω-secuencia creciente de elementos de converge a un límite en . La razón es que la unión (es decir, el supremo) de cada conjunto contable de ordinales contables es otro ordinal contable. ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$

El espacio topológico es secuencialmente compacto , pero no compacto . En consecuencia, no es metrizable . Sin embargo, es numerablemente compacto y, por lo tanto, no es Lindelöf (un espacio numerablemente compacto es compacto si y solo si es Lindelöf). En términos de axiomas de numerabilidad , es primero-contable , pero no separable ni segundo-contable . ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$

El espacio es compacto y no es numerable en primer lugar. se utiliza para definir la línea larga y la tabla de Tichonoff , dos contraejemplos importantes en topología . ${\displaystyle [0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Véase también

• Números épsilon (matemáticas)
• Ordinal contable grande
• Aritmética ordinal

Referencias

1. "Teoría de conjuntos > Teoría básica de conjuntos (Enciclopedia de filosofía de Stanford)". plato.stanford.edu . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
2. "primer ordinal incontable en nLab". ncatlab.org . Consultado el 12 de agosto de 2020 .

Bibliografía

• Thomas Jech, Teoría de conjuntos , 3.ª edición del milenio, 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2 . 
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (edición Dover).