conjunto saturado

En matemáticas , particularmente en los subcampos de la teoría de conjuntos y la topología , se dice que un conjunto está saturado con respecto a una función si es un subconjunto del dominio de y si siempre envía dos puntos y al mismo valor entonces pertenece a (es decir , si entonces ). Dicho de manera más sucinta, el conjunto se llama saturado si ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f(x)=f(c)}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=f^{-1}(f(C)).}$

En topología , un subconjunto de un espacio topológico está saturado si es igual a una intersección de subconjuntos abiertos de En un espacio T 1 cada conjunto está saturado. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X.}$

Definición

Preliminares

Sea un mapa. Dado cualquier subconjunto, defina su imagen como el conjunto: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(S):=\{f(s)~:~s\in S\}}$$

preimagenimagen inversa ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f^{-1}(S):=\{x\in X~:~f(x)\in S\}.}$$

Dada la fibra de over se define como la preimagen: ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle f^{-1}(y):=f^{-1}(\{y\})=\{x\in X~:~f(x)=y\}.}$$

Cualquier preimagen de un único punto en el codominio de se conoce como fibra de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$

Conjuntos saturados

Un conjunto se llama -saturado y se dice que está saturado con respecto a si es un subconjunto del dominio de y si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C=f^{-1}(f(C)).}$
2. Existe un conjunto tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C=f^{-1}(S).}$
   • Cualquier conjunto de este tipo contiene necesariamente un subconjunto y, además, también necesariamente satisfará la igualdad donde denota la imagen de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle f(C)=S\cap \operatorname {Im} f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle f.}$
3. Si y satisface entonces ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=f(c),}$ ${\displaystyle x\in C.}$
4. Si es tal que la fibra se cruza (es decir, si ), entonces toda esta fibra es necesariamente un subconjunto de (es decir, ). ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\cap C\neq \varnothing }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq C}$
5. Para cada intersección es igual al conjunto vacío o a ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle C\cap f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle f^{-1}(y).}$

Relacionada con la teoría de la computabilidad , esta noción puede extenderse a los programas. Aquí, considerando un subconjunto , este puede considerarse saturado (o extensional ) si . En palabras, dados dos programas, si el primer programa está en el conjunto de programas que satisfacen la propiedad y dos programas calculan lo mismo, entonces también el segundo programa satisface la propiedad. Esto significa que si un programa con una determinada propiedad está en el conjunto, todos los programas que calculan la misma función también deben estar en el conjunto). ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,m\in A,\vee \phi _{m}=\phi _{n}\Rightarrow n\in A}$

En este contexto, esta noción puede ampliar el teorema de Rice , afirmando que:

Sea un subconjunto tal que . Si está saturado, entonces no es recursivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \emptyset ,A\neq \mathbb {N} ,A\subseteq N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

Sea cualquier función. Si hay algún conjunto, entonces su preimagen debajo es necesariamente un conjunto saturado. En particular, cada fibra de un mapa es un conjunto saturado. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C:=f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

El conjunto vacío y el dominio siempre están saturados. Las uniones arbitrarias de conjuntos saturados están saturadas, al igual que las intersecciones arbitrarias de conjuntos saturados. ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(\varnothing )}$ ${\displaystyle X=f^{-1}(Y)}$

Propiedades

Sea y cualquier conjunto y sea cualquier función. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Si o está -saturado entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(S\cap T)~=~f(S)\cap f(T).}$$

Si está -saturado entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(S\setminus T)~=~f(S)\setminus f(T)}$$

no ${\displaystyle S.}$

Si es una topología y es cualquier mapa, entonces el conjunto de todos los subconjuntos saturados de forma una topología. Si también es un espacio topológico, entonces es continuo (respectivamente, un mapa cociente ) si y solo si lo mismo es cierto para ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$ ${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

Ver también

• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  - Igualdades para combinaciones de conjuntos

Referencias

1. Monje 1969, págs. 24–54.

• G. Gierz; KH Hofmann; K. Keimel; JD Lawson; M. Mislove y DS Scott (2003). «Dominios y celosías continuas» . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones . vol. 93. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-80338-1.
• Monje, James Donald (1969). Introducción a la teoría de conjuntos (PDF) . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042715-0. OCLC  1102.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.