Función integrable al cuadrado

Función cuyo valor absoluto al cuadrado tiene integral finita

En matemáticas , una función integrable al cuadrado , también llamada función o función cuadráticamente integrable o función sumable al cuadrado , ^[1] es una función medible de valor real o complejo para la cual la integral del cuadrado del valor absoluto es finita. Por tanto, la integrabilidad al cuadrado en la recta real se define de la siguiente manera. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

También se puede hablar de integrabilidad cuadrática en intervalos acotados como para . ^[2] ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a\leq b}$

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ square integrable on }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

Una definición equivalente es decir que el cuadrado de la función en sí (en lugar de su valor absoluto) es integrable de Lebesgue . Para que esto sea cierto, las integrales de las porciones positiva y negativa de la parte real deben ser finitas, al igual que las de la parte imaginaria.

El espacio vectorial de (clases de equivalencia de) funciones cuadradas integrables (con respecto a la medida de Lebesgue) forma el espacio con Entre los espacios, la clase de funciones cuadradas integrables es única por ser compatible con un producto interno , que permite nociones como ángulo y ortogonalidad. por definir. Junto con este producto interno, las funciones cuadradas integrables forman un espacio de Hilbert , ya que todos los espacios están completos según sus respectivas normas . ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

A menudo el término no se utiliza para referirse a una función específica, sino a clases de equivalencia de funciones que son iguales en casi todas partes .

Propiedades

Las funciones cuadradas integrables (en el sentido mencionado en el que una "función" en realidad significa una clase de equivalencia de funciones que son iguales en casi todas partes) forman un espacio de producto interno con el producto interno dado por

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}$$

• ${\displaystyle f}$y son funciones cuadradas integrables, ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$es el conjugado complejo de ${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$es el conjunto sobre el cual se integra: en la primera definición (dada en la introducción anterior), es , en la segunda, es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Dado que , la integrabilidad cuadrada es lo mismo que decir ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$

$${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

Se puede demostrar que las funciones cuadradas integrables forman un espacio métrico completo bajo la métrica inducida por el producto interno definido anteriormente. Un espacio métrico completo también se llama espacio de Cauchy , porque las secuencias en dichos espacios métricos convergen si y sólo si son de Cauchy . Un espacio que es completo bajo la métrica inducida por una norma es un espacio de Banach . Por tanto, el espacio de funciones cuadradas integrables es un espacio de Banach, bajo la métrica inducida por la norma, que a su vez es inducida por el producto interno. Como tenemos la propiedad adicional del producto interno, este es específicamente un espacio de Hilbert , porque el espacio es completo bajo la métrica inducida por el producto interno.

Este espacio de producto interno se denota convencionalmente y muchas veces se abrevia como Nota que denota el conjunto de funciones cuadradas integrables, pero esta notación no especifica ninguna selección de métrica, norma o producto interno. El conjunto, junto con el producto interior específico, especifican el espacio interior del producto. ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ ${\displaystyle L_{2}.}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

El espacio de funciones cuadradas integrables es el espacio en el que ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$

Ejemplos

La función definida en está en for pero no en ^[1] La función definida en es integrable al cuadrado. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [1,\infty ),}$

Las funciones acotadas, definidas en son integrables al cuadrado. Estas funciones también están disponibles para cualquier valor de ^[3] ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle p.}$

No ejemplos

La función definida en donde el valor en es arbitrario. Además, esta función no está disponible para ningún valor de en ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\infty ).}$

Ver también

• Espacio interior del producto
• ${\displaystyle L^{p}}$espacio  - Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita

Referencias

1. Todd, Rowland. "L^2-Función". MathWorld: un recurso web de Wolfram .
2. Giovanni Sansone (1991). Funciones ortogonales . Publicaciones de Dover. págs. 1–2. ISBN 978-0-486-66730-0.
3. "Funciones Lp" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de octubre de 2020 . Consultado el 16 de enero de 2020 .