Imagen de interacción

Visión de la mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la imagen de interacción (también conocida como la representación de interacción o imagen de Dirac en honor a Paul Dirac , quien la introdujo) ^{[1] [2] es una} representación intermedia entre la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg . Mientras que en las otras dos imágenes, tanto el vector de estado como los operadores tienen dependencia temporal, en la imagen de interacción ambos tienen parte de la dependencia temporal de los observables . ^[3] La imagen de interacción es útil para tratar cambios en las funciones de onda y los observables debido a interacciones. La mayoría de los cálculos teóricos de campo ^[4] utilizan la representación de interacción porque construyen la solución a la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos como la solución al problema de la partícula libre más algunas partes de interacción desconocidas.

Las ecuaciones que incluyen operadores que actúan en diferentes momentos, que son válidas en la imagen de interacción, no necesariamente son válidas en la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esto se debe a que las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan a los operadores de una imagen con los operadores análogos de las otras.

La imagen de interacción es un caso especial de transformación unitaria aplicada a los vectores hamiltonianos y de estado.

Definición

Los operadores y vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados mediante un cambio de base ( transformación unitaria ) con esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.

Para pasar a la imagen de interacción, dividimos el hamiltoniano de la imagen de Schrödinger en dos partes:

${\displaystyle H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.}$

Cualquier elección posible de partes producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes normalmente se elegirán de modo que H _0,S se comprenda bien y se pueda resolver con exactitud, mientras que H _1,S contenga alguna perturbación más difícil de analizar para este sistema.

Si el hamiltoniano tiene una dependencia explícita del tiempo (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), normalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con H _1,S , dejando H _0,S independiente del tiempo:

${\displaystyle H_{\text{S}}(t)=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}(t).}$

Supongamos que este es el caso. Si existe un contexto en el que tenga sentido que H _0,S dependa del tiempo, se puede proceder reemplazando por el operador de evolución temporal correspondiente en las definiciones que aparecen a continuación. ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

Vectores de estado

Sea el vector de estado dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. Un vector de estado en la imagen de interacción, , se define con una transformación unitaria dependiente del tiempo adicional. ^[5] ${\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle }$

${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .}$

Operadores

Un operador en la imagen de interacción se define como

${\displaystyle A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.}$

Tenga en cuenta que A _S ( t ) normalmente no dependerá de t y se puede reescribir simplemente como A _S . Solo depende de t si el operador tiene "dependencia temporal explícita", por ejemplo, debido a su dependencia de un campo eléctrico externo aplicado que varía con el tiempo. Otra instancia de dependencia temporal explícita puede ocurrir cuando A _S ( t ) es una matriz de densidad (ver a continuación).

Operador hamiltoniano

Para el propio operador , la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden: ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.}$

Esto se ve fácilmente por el hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de sí mismos. Este operador en particular puede entonces ser llamado sin ambigüedad. ${\displaystyle H_{0}}$

Sin embargo, para el hamiltoniano de perturbación , ${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}$

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },}$

donde el hamiltoniano de perturbación de la imagen de interacción se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H _1,S , H _0,S ] = 0.

También es posible obtener la imagen de interacción para un hamiltoniano dependiente del tiempo H _0,S ( t ), pero las exponenciales deben reemplazarse por el propagador unitario para la evolución generada por H _0,S ( t ), o más explícitamente con una integral exponencial ordenada en el tiempo.

Matriz de densidad

Se puede demostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, sean ρ _I y ρ _S las matrices de densidad en la imagen de interacción y en la imagen de Schrödinger respectivamente. Si existe una probabilidad p _n de estar en el estado físico | ψ _n ⟩, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}}$

Evolución temporal

Evolución temporal de los estados

Transformando la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción obtenemos

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,}$

que establece que en la imagen de interacción, un estado cuántico se desarrolla por la parte de interacción del hamiltoniano tal como se expresa en la imagen de interacción. ^[6] Se da una prueba en Fetter y Walecka. ^[7]

Evolución temporal de los operadores

Si el operador A _S es independiente del tiempo (es decir, no tiene "dependencia temporal explícita"; ver arriba), entonces la evolución temporal correspondiente para A _I ( t ) está dada por

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].}$

En la imagen de interacción los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores en la imagen de Heisenberg con el hamiltoniano H ' = H ₀ .

Evolución temporal de la matriz de densidad

La evolución de la matriz de densidad en la imagen de interacción es

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}$

en coherencia con la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción.

Valores esperados

Para un operador general , el valor esperado en la imagen de interacción está dado por ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .}$

Usando la expresión de la matriz de densidad para el valor esperado, obtendremos

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}$

Ecuación de Schwinger-Tomonaga

El término representación de interacción fue inventado por Schwinger. ^{[8] [9]} En esta nueva representación mixta el vector de estado ya no es constante en general, pero sí lo es si no hay acoplamiento entre campos. El cambio de representación conduce directamente a la ecuación de Tomonaga-Schwinger: ^{[10] [9]}

${\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}$

Donde el hamiltoniano en este caso es el hamiltoniano de interacción QED, pero también puede ser una interacción genérica, y es una superficie espacial que pasa por el punto . La derivada representa formalmente una variación sobre esa superficie dada una constante fija. Es difícil dar una interpretación formal matemática precisa de esta ecuación. ^[11] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Schwinger denomina a este enfoque "diferencial" y "de campo", en contraposición al enfoque "integral" y "de partículas" de los diagramas de Feynman. ^{[12] [13]}

La idea central es que si la interacción tiene una constante de acoplamiento pequeña (es decir, en el caso del electromagnetismo del orden de la constante de estructura fina), los términos perturbativos sucesivos serán potencias de la constante de acoplamiento y, por lo tanto, más pequeños. ^[14]

Usar

El propósito de la imagen de interacción es desviar toda la dependencia temporal debida a H ₀ hacia los operadores, permitiéndoles así evolucionar libremente y dejando solo a H _1,I para controlar la evolución temporal de los vectores de estado.

La imagen de interacción es conveniente cuando se considera el efecto de un pequeño término de interacción, H _1,S , que se agrega al hamiltoniano de un sistema resuelto, H _0,S . Al utilizar la imagen de interacción, se puede usar la teoría de perturbación dependiente del tiempo para encontrar el efecto de H _1,I , ^{[15] : 355ff} por ejemplo, en la derivación de la regla de oro de Fermi , ^{[15] : 359–363} o la serie de Dyson ^{[15] : 355–357} en la teoría cuántica de campos : en 1947, Shin'ichirō Tomonaga y Julian Schwinger apreciaron que la teoría de perturbación covariante podía formularse elegantemente en la imagen de interacción, ya que los operadores de campo pueden evolucionar en el tiempo como campos libres, incluso en presencia de interacciones, ahora tratadas perturbativamente en dicha serie de Dyson.

Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes

Para un hamiltoniano independiente del tiempo H _S , donde H _0,S es el hamiltoniano libre,

Referencias

1. Duck, Ian; Sudarshan, ECG (1998). "Capítulo 6: La invención de la teoría cuántica de campos por parte de Dirac". Pauli y el teorema de la estadística de espín. World Scientific Publishing. págs. 149–167. ISBN 978-9810231149.
2. https://courses.physics.illinois.edu/phys580/fa2013/interaction.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
3. Albert Messiah (1966). Mecánica cuántica , North Holland, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; JJ Sakurai (1994). Mecánica cuántica moderna (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295 .  
4. JW Negele, H. Orland (1988), Sistemas cuánticos de muchas partículas, ISBN 0738200522 . 
5. "La imagen de la interacción, notas de clase de la Universidad de Nueva York". Archivado desde el original el 4 de septiembre de 2013.
6. Teoría cuántica de campos para aficionados dotados, capítulo 18: para quienes vieron que se la denominaba ecuación de Schwinger-Tomonaga, no se trata de una ecuación de Schwinger-Tomonaga, sino de una generalización de la ecuación de Schrödinger a foliaciones arbitrarias del espacio-tiempo similares al espacio.
7. Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (1971). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas. McGraw-Hill. pág. 55. ISBN 978-0-07-020653-3.
8. Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. 151, ISBN 0-486-60444-6
9. Schwinger, J. (1948), "Electrodinámica cuántica. I. Una formulación covariante.", Physical Review , 74 (10): 1439–1461, Bibcode :1948PhRv...74.1439S, doi :10.1103/PhysRev.74.1439
10. Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. 151,163,170,276, ISBN 0-486-60444-6
11. Wakita, Hitoshi (1976), "Integración de la ecuación de Tomonaga-Schwinger", Communications in Mathematical Physics , 50 (1): 61–68, Bibcode :1976CMaPh..50...61W, doi :10.1007/BF01608555, S2CID  122590381
12. Conferencia de Schwinger sobre el premio Nobel (PDF) , p. 140, Schwinger llama informalmente al diferencial un enfoque local y al integral un tipo de enfoque global. El término global se utiliza aquí con respecto al dominio de la integración
13. Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. prefacio xiii, ISBN 0-486-60444-6,"Schwinger llama informalmente enfoque local a lo que se refiere a los campos también en el contexto de acciones locales. Las partículas son propiedades emergentes de un enfoque integral aplicado al campo, o enfoque promediado. Al mismo tiempo, hace una analogía con la distinción clásica entre partículas y campos, y muestra cómo esto se realiza para los campos cuánticos.
14. Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. 152, ISBN 0-486-60444-6
15. Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (2010), Mecánica cuántica moderna (2.ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0805382914

Lectura adicional

• LD Landau y EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista. Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
• Townsend, John S. (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica (2.ª ed.). Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

Véase también

• Notación de corchetes
• Ecuación de Schrödinger
• Teorema de Haag