Propiedad conmutativa

Propiedad de algunas operaciones matemáticas.

En matemáticas , una operación binaria es conmutativa si cambiar el orden de los operandos no cambia el resultado. Es una propiedad fundamental de muchas operaciones binarias y muchas pruebas matemáticas dependen de ella. Quizás más familiar como propiedad de la aritmética, por ejemplo, "3 + 4 = 4 + 3" o "2 × 5 = 5 × 2" , la propiedad también se puede utilizar en configuraciones más avanzadas. El nombre es necesario porque hay operaciones, como división y resta , que no lo tienen (por ejemplo, "3 − 5 ≠ 5 − 3" ); tales operaciones no son conmutativas y por eso se las conoce como operaciones no conmutativas . La idea de que las operaciones simples, como la multiplicación y la suma de números, son conmutativas fue asumida implícitamente durante muchos años. Así, esta propiedad no recibió nombre hasta el siglo XIX, cuando las matemáticas comenzaron a formalizarse. ^{[1] [2]} Existe una propiedad similar para las relaciones binarias ; se dice que una relación binaria es simétrica si la relación se aplica independientemente del orden de sus operandos; por ejemplo, la igualdad es simétrica ya que dos objetos matemáticos iguales son iguales independientemente de su orden. ^[3]

Definiciones matemáticas

Una operación binaria en un conjunto S se llama conmutativa si ^{[4] [5]} ${\displaystyle *}$

$${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S.}$$

no conmutativa

Se dice que x conmuta con y o que x e y conmutan bajo si ${\displaystyle *}$

$${\displaystyle x*y=y*x.}$$

Ejemplos

La acumulación de manzanas, que puede verse como una suma de números naturales, es conmutativa.

Operaciones conmutativas

La suma de vectores es conmutativa, porque . ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$

• La suma y la multiplicación son conmutativas en la mayoría de los sistemas numéricos , y, en particular, entre números naturales , enteros , números racionales , números reales y números complejos . Esto también es cierto en todos los campos .
• La suma es conmutativa en todo espacio vectorial y en toda álgebra .
• La unión y la intersección son operaciones conmutativas en conjuntos .
• " Y " y " o " son operaciones lógicas conmutativas .

Operaciones no conmutativas

Algunas operaciones binarias no conmutativas: ^[6]

División, resta y exponenciación.

La división no es conmutativa, ya que . ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$

La resta no es conmutativa, ya que . Sin embargo se clasifica más precisamente como anticonmutativo , ya que . ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$ ${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$

La exponenciación no es conmutativa, ya que . Esta propiedad conduce a dos operaciones "inversas" diferentes de exponenciación (es decir, la operación de raíz n -ésima y la operación de logaritmo ), que es diferente a la multiplicación. ^[7] ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$

Funciones de verdad

Algunas funciones de verdad no son conmutativas, ya que las tablas de verdad de las funciones son diferentes cuando se cambia el orden de los operandos. Por ejemplo, las tablas de verdad para (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) y (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) son

Composición de funciones de funciones lineales.

La composición de funciones lineales desde números reales hasta números reales casi siempre es no conmutativa. Por ejemplo, dejemos y . Entonces ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ ${\displaystyle g(x)=3x+7}$

$${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$$

$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$$

linealesafinesespacio vectorial

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices cuadradas casi siempre es no conmutativa, por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$$

Producto vectorial

El producto vectorial (o producto cruzado ) de dos vectores en tres dimensiones es anticonmutativo ; es decir, b × a = −( a × b ).

Historia y etimología

El primer uso conocido del término fue en una revista francesa publicada en 1814.

Los registros del uso implícito de la propiedad conmutativa se remontan a la antigüedad. Los egipcios utilizaron la propiedad conmutativa de la multiplicación para simplificar los productos informáticos . ^{[8] [9] Se sabe que} Euclides asumió la propiedad conmutativa de la multiplicación en su libro Elementos . ^[10] Los usos formales de la propiedad conmutativa surgieron a finales del siglo XVIII y principios del XIX, cuando los matemáticos comenzaron a trabajar en una teoría de funciones. Hoy en día, la propiedad conmutativa es una propiedad básica y bien conocida que se utiliza en la mayoría de las ramas de las matemáticas.

El primer uso registrado del término conmutativo fue en una memoria de François Servois en 1814, ^{[1] [11]} que usó la palabra conmutativos al describir funciones que tienen lo que ahora se llama propiedad conmutativa. La palabra es una combinación de la palabra francesa commuter que significa "sustituir o cambiar" y el sufijo -ativo que significa "tender a", por lo que la palabra significa literalmente "tender a sustituir o cambiar". El término apareció luego en inglés en 1838. ^[2] en el artículo de Duncan Farquharson Gregory titulado "Sobre la naturaleza real del álgebra simbólica" publicado en 1840 en Transactions of the Royal Society of Edinburgh . ^[12]

Lógica proposicional

Regla de reemplazo

En lógica proposicional funcional de verdad, la conmutación , ^{[13] [14]} o la conmutatividad ^[15] se refieren a dos reglas válidas de sustitución . Las reglas permiten transponer variables proposicionales dentro de expresiones lógicas en pruebas lógicas . Las reglas son:

$${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$$

$${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$$

símbolo metalógicoprueba ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Conectivos funcionales de verdad

La conmutatividad es una propiedad de algunos conectivos lógicos de la lógica proposicional funcional de verdad . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la conmutatividad es una propiedad de conectivos particulares. Las siguientes son tautologías funcionales de verdad .

Conmutatividad de conjunción

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

Conmutatividad de la disyunción

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

Conmutatividad de implicación (también llamada ley de permutación)

${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\leftrightarrow {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$

Conmutatividad de equivalencia (también llamada ley conmutativa completa de equivalencia)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Teoría de conjuntos

En teoría de grupos y conjuntos , muchas estructuras algebraicas se denominan conmutativas cuando ciertos operandos satisfacen la propiedad conmutativa. En ramas superiores de las matemáticas, como el análisis y el álgebra lineal, la conmutatividad de operaciones conocidas (como la suma y la multiplicación de números reales y complejos) se utiliza a menudo (o se asume implícitamente) en las pruebas. ^{[16] [17] [18]}

Estructuras matemáticas y conmutatividad.

• Un semigrupo conmutativo es un conjunto dotado de una operación total, asociativa y conmutativa.
• Si la operación tiene además un elemento identidad , tenemos un monoide conmutativo
• Un grupo abeliano , o grupo conmutativo, es un grupo cuya operación grupal es conmutativa. ^[17]
• Un anillo conmutativo es un anillo cuya multiplicación es conmutativa. (La suma en un anillo siempre es conmutativa). ^[19]
• En un campo tanto la suma como la multiplicación son conmutativas. ^[20]

Propiedades relacionadas

asociatividad

La propiedad asociativa está estrechamente relacionada con la propiedad conmutativa. La propiedad asociativa de una expresión que contiene dos o más apariciones del mismo operador establece que el orden en que se realizan las operaciones no afecta el resultado final, siempre que el orden de los términos no cambie. En cambio, la propiedad conmutativa establece que el orden de los términos no afecta el resultado final.

La mayoría de las operaciones conmutativas que se encuentran en la práctica también son asociativas. Sin embargo, conmutatividad no implica asociatividad. Un contraejemplo es la función

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$$

xymagmas conmutativos no asociativoscuaternionesmatrices ${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$ ${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

Distributivo

Simetría

Gráfico que muestra la simetría de la función de suma.

Algunas formas de simetría pueden vincularse directamente con la conmutatividad. Cuando una operación conmutativa se escribe como una función binaria , entonces esta función se llama función simétrica y su gráfica en el espacio tridimensional es simétrica a través del plano . Por ejemplo, si la función f se define como entonces es una función simétrica. ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ ${\displaystyle f}$

Para las relaciones, una relación simétrica es análoga a una operación conmutativa, en el sentido de que si una relación R es simétrica, entonces . ${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$

Operadores no conmutantes en mecánica cuántica

En la mecánica cuántica formulada por Schrödinger , las variables físicas están representadas por operadores lineales como (es decir, multiplicar por ), y . Estos dos operadores no conmutan como se puede ver al considerar el efecto de sus composiciones y (también llamados productos de operadores) en una función de onda unidimensional : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle x{\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}x}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

$${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}$$

Según el principio de incertidumbre de Heisenberg , si los dos operadores que representan un par de variables no conmutan, entonces ese par de variables son mutuamente complementarias , lo que significa que no pueden medirse ni conocerse con precisión simultáneamente. Por ejemplo, la posición y el momento lineal en la dirección - de una partícula están representados por los operadores y , respectivamente (donde está la constante de Planck reducida ). Este es el mismo ejemplo excepto por la constante , por lo que nuevamente los operadores no conmutan y el significado físico es que la posición y el momento lineal en una dirección determinada son complementarios. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle -i\hbar }$

Ver también

• Propiedad anticonmutativa
• Centralizador y normalizador (también llamado conmutante)
• Diagrama conmutativo
• Conmutativo (neurofisiología)
• Conmutador
• ley del paralelogramo
• Estadística de partículas (para conmutatividad en física )
• Prueba de que los axiomas de Peano implican la conmutatividad de la suma de números naturales
• Propiedad cuasi conmutativa
• Traza monoide
• Probabilidad de desplazamiento

Notas

1. Cabillón & Miller, Conmutativo y Distributivo
2. Inundación, Raymond; Arroz, Adrián; Wilson, Robin , eds. (2011). Matemáticas en la Gran Bretaña victoriana. Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 4.ISBN _ 9780191627941.
3. Weisstein, Eric W. "Relación simétrica". MundoMatemático .
4. Corona, pág. 1
5. Weisstein, Viaje diario , pag. 1
6. Yark, pag. 1
7. "Usuario MathematicalOrchid". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 20 de enero de 2024 .
8. Lumpkin 1997, pag. 11
9. Gay y callado 1987
10. Números reales de O'Conner y Robertson
11. O'Conner y Robertson, Servois
12. Gregorio, DF (1840). "Sobre la naturaleza real del álgebra simbólica". Transacciones de la Real Sociedad de Edimburgo . 14 : 208–216.
13. Moore y Parker
14. Copi y Cohen 2005
15. Hurley y Watson 2016
16. Axler 1997, pag. 2
17. Galliano 2006, pag. 34
18. Gallian 2006, págs.26, 87
19. Galliano 2006, pag. 236
20. Galliano 2006, pag. 250

Referencias

Libros

• Axler, Sheldon (1997). Álgebra lineal bien hecha, 2e . Saltador. ISBN 0-387-98258-2.

  Teoría del álgebra abstracta. Cubre la conmutatividad en ese contexto. Utiliza la propiedad en todo el libro.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introducción a la lógica (12ª ed.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
• Galliano, Joseph (2006). Álgebra abstracta contemporánea (6e ed.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

  Teoría del álgebra lineal. Explica la conmutatividad en el capítulo 1 y la utiliza en todo momento.

• Goodman, Federico (2003). Álgebra: abstracta y concreta, destacando la simetría (2e ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

  Teoría del álgebra abstracta. Utiliza la propiedad de conmutatividad en todo el libro.

• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). Una introducción concisa a la lógica (12ª ed.). Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-337-51478-1.

Artículos

• Lumpkin, B. (1997). "El legado matemático del antiguo Egipto: una respuesta a Robert Palter" (PDF) (manuscrito no publicado). Archivado desde el original (PDF) el 13 de julio de 2007.

  Artículo que describe la capacidad matemática de las civilizaciones antiguas.

• Gay, Robins R.; Shute, Charles CD (1987). El papiro matemático de Rhind: un texto egipcio antiguo . Museo Británico. ISBN 0-7141-0944-4.

  Traducción e interpretación del Papiro Matemático de Rhind .

Recursos en línea

• "Conmutatividad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Krowne, Aaron, Conmutative at PlanetMath ., consultado el 8 de agosto de 2007.

  Definición de conmutatividad y ejemplos de operaciones conmutativas.

• Weisstein, Eric W. "Viaje diario". MundoMatemático ., Consultado el 8 de agosto de 2007.

  Explicación del término desplazamiento

• "Yark".Ejemplos de operaciones no conmutativas en PlanetMath . Consultado el 8 de agosto de 2007.

  Ejemplos que demuestran algunas operaciones no conmutativas

• O'Conner, JJ; Robertson, EF "Historia de los números reales". MacTutor . Consultado el 8 de agosto de 2007 .

  Artículo que da la historia de los números reales.

• Cabillón, Julio; Molinero, Jeff. "Primeros usos conocidos de términos matemáticos" . Consultado el 22 de noviembre de 2008 .

  Página que cubre los primeros usos de términos matemáticos.

• O'Conner, JJ; Robertson, EF "biografía de François Servois". MacTutor . Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2009 . Consultado el 8 de agosto de 2007 .

  Biografía de Francois Servois, quien utilizó por primera vez el término.