En física y química cuánticas , los números cuánticos son cantidades que caracterizan los posibles estados del sistema. Los números cuánticos están estrechamente relacionados con los valores propios de los observables . Cuando el observable correspondiente conmuta con el hamiltoniano, se dice que el número cuántico es " bueno " y actúa como una constante de movimiento en la dinámica cuántica.
Para especificar completamente el estado del electrón en un átomo de hidrógeno, se necesitan cuatro números cuánticos. El conjunto tradicional de números cuánticos incluye los números cuánticos principales , azimutales , magnéticos y de espín . Para describir otros sistemas se necesitan diferentes números cuánticos. Para las partículas subatómicas, es necesario introducir nuevos números cuánticos, como los quarks , que no tienen correspondencia clásica.
En la era de la antigua teoría cuántica , a partir de la propuesta de Max Planck de los cuantos en su modelo de radiación del cuerpo negro (1900) y la adaptación del concepto por parte de Albert Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico (1905), y hasta que Erwin Schrödinger publicó su ecuación de función propia en 1926, [1] el concepto detrás de los números cuánticos se desarrolló basándose en la espectroscopia atómica y teorías de la mecánica clásica con restricciones adicionales ad hoc. [2] : 106 Muchos resultados de la espectroscopia atómica se habían resumido en la fórmula de Rydberg que implica diferencias entre dos series de energías relacionadas por pasos enteros. El modelo del átomo , propuesto por primera vez por Niels Bohr en 1913, se basaba en un único número cuántico. Junto con la restricción de Bohr de que la absorción de radiación no es clásica, pudo explicar la porción de la serie de Balmer de la fórmula del espectro atómico de Rydberg. [3]
Como señala Bohr en su posterior conferencia Nobel, el siguiente paso lo dio Arnold Sommerfeld en 1915. [4] El modelo atómico de Sommerfeld añadió un segundo número cuántico y el concepto de integrales de fase cuantificadas para justificarlos. [5] : 207 El modelo de Sommerfeld todavía era esencialmente bidimensional, modelando al electrón orbitando en un plano; en 1919 amplió su trabajo a tres dimensiones utilizando la "cuantización espacial" en lugar de las integrales de fase cuantificadas. [6] : 152 Karl Schwarzschild y el alumno de Sommerfeld, Paul Epstein , demostraron de forma independiente que la suma del tercer número cuántico daba una explicación completa de los resultados del efecto Stark .
Una consecuencia de la cuantificación espacial fue que se cuantificaría la interacción orbital del electrón con un campo magnético externo. Esto pareció confirmarse cuando los resultados del experimento de Stern-Gerlach informaron resultados cuantificados para átomos de plata en un campo magnético no homogéneo. La confirmación resultaría prematura: se necesitarían más números cuánticos. [7]
Los números cuánticos cuarto y quinto de la era atómica surgieron de los intentos de comprender el efecto Zeeman . Al igual que el experimento de Stern-Gerlach, el efecto Zeeman refleja la interacción de los átomos con un campo magnético; en un campo débil los resultados experimentales fueron llamados "anómalos", divergían de cualquier teoría de la época. La solución de Wolfgang Pauli a este problema fue introducir otro número cuántico tomando sólo dos valores posibles . [8] Esto se convertiría en última instancia en los valores cuantificados de la proyección del espín , un cuanto de momento angular intrínseco del electrón. En 1927, Ronald Fraser demostró que la cuantificación en el experimento de Stern-Gerlach se debía al momento magnético asociado con el espín del electrón y no a su momento angular orbital. [7] El éxito de Pauli en el desarrollo de los argumentos a favor de un número cuántico de espín sin depender de modelos clásicos preparó el escenario para el desarrollo de números cuánticos para partículas elementales en el resto del siglo XX. [8]
Bohr, con su principio de Aufbau o "construcción", y Pauli con su principio de exclusión conectaron los números cuánticos electrónicos del átomo en un marco para predecir las propiedades de los átomos. [9] Cuando Schrödinger publicó su ecuación de onda y calculó los niveles de energía del hidrógeno, estos dos principios se trasladaron hasta convertirse en la base de la física atómica.
Con los modelos exitosos del átomo, la atención de la física se centró en los modelos del núcleo. Comenzando con el modelo inicial de Heisenberg de unión protón-neutrón en 1932, Eugene Wigner introdujo el isospin en 1937, el primer número cuántico "interno" no relacionado con una simetría en el espacio-tiempo real. [10] : 45
A medida que se desarrolló la mecánica cuántica, la abstracción aumentó y los modelos basados en la simetría y la invariancia desempeñaron un papel cada vez mayor. Dos años antes de su trabajo sobre la ecuación de onda cuántica, Schrödinger aplicó las ideas de simetría originadas por Emmy Noether y Hermann Weyl al campo electromagnético. [11] : 198 A medida que la electrodinámica cuántica se desarrolló en las décadas de 1930 y 1940, la teoría de grupos se convirtió en una herramienta importante. En 1953, Chen Ning Yang se había obsesionado con la idea de que la teoría de grupos podría aplicarse para conectar los números cuánticos conservados de las colisiones nucleares con las simetrías en una teoría de campo de los nucleones. [11] : 202 Con Robert Mills , Yang desarrolló una teoría de calibre no abeliana basada en la conservación de los números cuánticos de isospin nuclear .
Los buenos números cuánticos corresponden a valores propios de operadores que conmutan con el hamiltoniano , cantidades que pueden conocerse con precisión al mismo tiempo que la energía del sistema. Específicamente, los observables que conmutan con el hamiltoniano son simultáneamente diagonalizables con él y, por lo tanto, los valores propios y la energía (valores propios del hamiltoniano) no están limitados por una relación de incertidumbre que surja de la no conmutatividad. En conjunto, una especificación de todos los números cuánticos de un sistema cuántico caracteriza completamente un estado base del sistema y, en principio, pueden medirse juntos. Muchos observables tienen espectros discretos (conjuntos de valores propios) en la mecánica cuántica, por lo que las cantidades sólo pueden medirse en valores discretos. En particular, esto conduce a números cuánticos que toman valores en conjuntos discretos de números enteros o semienteros ; aunque podrían acercarse al infinito en algunos casos.
El recuento de números cuánticos varía de un sistema a otro y no tiene una respuesta universal. Por lo tanto, estos parámetros deben encontrarse para cada sistema a analizar. Un sistema cuantificado requiere al menos un número cuántico. La dinámica (es decir , la evolución temporal) de cualquier sistema cuántico se describe mediante un operador cuántico en forma de hamiltoniano , H. Hay un número cuántico del sistema correspondiente a la energía del sistema; es decir, uno de los valores propios del hamiltoniano. También hay un número cuántico para cada operador O linealmente independiente que conmuta con el hamiltoniano. Un conjunto completo de observables conmutantes (CSCO) que conmutan con el hamiltoniano caracteriza el sistema con todos sus números cuánticos. Existe una relación uno a uno entre los números cuánticos y los operadores del CSCO, y cada número cuántico toma uno de los valores propios de su operador correspondiente. Como resultado de las diferentes bases que pueden elegirse arbitrariamente para formar un conjunto completo de operadores de conmutación, pueden usarse diferentes conjuntos de números cuánticos para la descripción del mismo sistema en diferentes situaciones.
Cuatro números cuánticos pueden describir completamente el nivel de energía de un electrón en un átomo similar al hidrógeno :
Estos números cuánticos también se utilizan en la descripción clásica de los estados de las partículas nucleares (p. ej., protones y neutrones). [ cita necesaria ] Una descripción cuántica de orbitales moleculares requiere otros números cuánticos, porque las simetrías del sistema molecular son diferentes.
El número cuántico principal describe la capa electrónica de un electrón. El valor de n varía desde 1 hasta la capa que contiene el electrón más externo de ese átomo, es decir [12]
Por ejemplo, en el cesio (Cs), el electrón de valencia más externo está en la capa con nivel de energía 6, por lo que un electrón en el cesio puede tener un valor n de 1 a 6. La distancia promedio entre el electrón y el núcleo aumenta con n .
El número cuántico azimutal , también conocido como número cuántico del momento angular orbital , describe la subcapa y da la magnitud del momento angular orbital a través de la relación
En química y espectroscopia, ℓ = 0 se llama orbital s, ℓ = 1 , orbital p, ℓ = 2 , orbital d y ℓ = 3 , orbital f.
El valor de ℓ varía de 0 a n − 1 , por lo que el primer orbital p ( ℓ = 1 ) aparece en la segunda capa de electrones ( n = 2 ), el primer orbital d ( ℓ = 2 ) aparece en la tercera capa ( n = 3 ), y así sucesivamente: [13]
Un número cuántico que comienza en n = 3, ℓ = 0, describe un electrón en el orbital s de la tercera capa electrónica de un átomo. En química, este número cuántico es muy importante, ya que especifica la forma de un orbital atómico e influye fuertemente en los enlaces químicos y los ángulos de enlace . El número cuántico azimutal también puede indicar el número de nodos angulares presentes en un orbital. Por ejemplo, para los orbitales p, ℓ = 1 y, por tanto, la cantidad de nodos angulares en un orbital p es 1.
El número cuántico magnético describe el orbital específico dentro de la subcapa y produce la proyección del momento angular orbital a lo largo de un eje específico :
Los valores de m ℓ van desde − ℓ hasta ℓ , con intervalos enteros. [14] [ página necesaria ]
La subcapa s ( ℓ = 0 ) contiene solo un orbital y, por lo tanto, el m ℓ de un electrón en un orbital s siempre será 0. La subcapa p ( ℓ = 1 ) contiene tres orbitales, por lo que la m ℓ de un electrón en El orbital ap será −1, 0 o 1. La subcapa d ( ℓ = 2 ) contiene cinco orbitales, con valores de m ℓ de −2, −1, 0, 1 y 2.
El número cuántico magnético de espín describe el momento angular de espín intrínseco del electrón dentro de cada orbital y proporciona la proyección del momento angular de espín S a lo largo del eje especificado:
En general, los valores de m s varían de − sa s , donde s es el número cuántico de espín, asociado con la magnitud del momento angular de espín intrínseco de la partícula: [15]
Un estado electrónico tiene un número de espín s =1/2, en consecuencia m s será +1/2("girar") o -1/2estados de "giro hacia abajo". Dado que los electrones son fermiones, obedecen al principio de exclusión de Pauli : cada estado electrónico debe tener números cuánticos diferentes. Por tanto, cada orbital estará ocupado con como máximo dos electrones, uno por cada estado de espín.
Un átomo multielectrónico se puede modelar cualitativamente como un átomo similar al hidrógeno con mayor carga nuclear y, en consecuencia, más electrones. La ocupación de los estados electrónicos en dicho átomo puede predecirse mediante el principio de Aufbau y las reglas empíricas de Hund para los números cuánticos. El principio de Aufbau llena los orbitales en función de sus números cuánticos principales y azimutales (el más bajo primero, con los vínculos de ruptura más bajos; la regla de Hund favorece los electrones desapareados en el orbital más externo). Estas reglas son empíricas pero pueden relacionarse con la física electrónica. [16] : 10 [17] : 260
Cuando se tiene en cuenta la interacción espín-órbita , los operadores L y S ya no conmutan con el hamiltoniano , y los estados propios del sistema ya no tienen momento angular orbital ni espín bien definidos. Por tanto, debería utilizarse otro conjunto de números cuánticos. Este conjunto incluye [18] [19]
que da el momento angular total a través de la relación
análogo a lo anterior y satisface
Este es el valor propio bajo reflexión: positivo (+1) para estados que provienen de ℓ par y negativo (−1) para estados que provienen de ℓ impar . La primera también se conoce como paridad par y la segunda como paridad impar , y está dada por
Por ejemplo, considere los siguientes 8 estados, definidos por sus números cuánticos:
Los estados cuánticos del sistema se pueden describir como una combinación lineal de estos 8 estados. Sin embargo, en presencia de interacción espín-órbita , si uno quiere describir el mismo sistema mediante 8 estados que son vectores propios del hamiltoniano (es decir, cada uno representa un estado que no se mezcla con otros a lo largo del tiempo), debemos considerar los siguientes 8 estados:
En los núcleos , todo el conjunto de protones y neutrones ( nucleones ) tiene un momento angular resultante debido a los momentos angulares de cada nucleón, normalmente denotado como I. Si el momento angular total de un neutrón es j n = ℓ + s y para un protón es j p = ℓ + s (donde s para protones y neutrones resulta ser1/2nuevamente ( ver nota )), entonces los números cuánticos del momento angular nuclear I vienen dados por:
Nota: Los momentos angulares orbitales de los estados nucleares (y atómicos) son todos múltiplos enteros de ħ, mientras que el momento angular intrínseco del neutrón y el protón son múltiplos semienteros. Debería ser inmediatamente evidente que la combinación de los espines intrínsecos de los nucleones con su movimiento orbital siempre dará valores semienteros para el espín total, I , de cualquier núcleo A impar y valores enteros para cualquier núcleo A par.
La paridad con el número I se utiliza para etiquetar los estados del momento angular nuclear; ejemplos de algunos isótopos de hidrógeno (H), carbono (C) y sodio (Na) son; [20]
La razón de las fluctuaciones inusuales en I , incluso por diferencias de un solo nucleón, se debe al número par e impar de protones y neutrones: los pares de nucleones tienen un momento angular total de cero (al igual que los electrones en los orbitales), dejando un Número par o impar de nucleones no apareados. La propiedad del espín nuclear es un factor importante para el funcionamiento de la espectroscopia de RMN en química orgánica , [19] y de la resonancia magnética en medicina nuclear , [20] debido al momento magnético nuclear que interactúa con un campo magnético externo .
Las partículas elementales contienen muchos números cuánticos que normalmente se dice que son intrínsecos a ellas. Sin embargo, debe entenderse que las partículas elementales son estados cuánticos del modelo estándar de física de partículas y, por tanto, los números cuánticos de estas partículas tienen la misma relación con el hamiltoniano de este modelo que los números cuánticos del átomo de Bohr con su hamiltoniano . En otras palabras, cada número cuántico denota una simetría del problema. En la teoría cuántica de campos es más útil distinguir entre espacio-tiempo y simetrías internas.
Los números cuánticos típicos relacionados con las simetrías del espacio-tiempo son el espín (relacionado con la simetría rotacional), la paridad , la paridad C y la paridad T (relacionada con la simetría de Poincaré del espacio-tiempo ). Las simetrías internas típicas [ se necesita aclaración ] son el número leptónico y el número bariónico o la carga eléctrica . (Para obtener una lista completa de números cuánticos de este tipo, consulte el artículo sobre sabor ).
La mayoría de los números cuánticos conservados son aditivos, por lo que en una reacción de partículas elementales, la suma de los números cuánticos debe ser la misma antes y después de la reacción. Sin embargo, algunas, habitualmente llamadas paridad , son multiplicativas; es decir, su producto se conserva. Todos los números cuánticos multiplicativos pertenecen a una simetría (como la paridad) en la que aplicar la transformación de simetría dos veces equivale a no hacer nada ( involución ).
