grupo poincaré

Grupo de simetrías espacio-temporales planas.

Henri Poincaré

El grupo Poincaré , que lleva el nombre de Henri Poincaré (1906), ^[1] fue definido por primera vez por Hermann Minkowski (1908) como el grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski . ^{[2] [3]} Es un grupo de Lie no abeliano de diez dimensiones que es importante como modelo en nuestra comprensión de los fundamentos más básicos de la física .

Descripción general

El grupo de Poincaré consta de todas las transformaciones de coordenadas del espacio de Minkowski que no cambian el intervalo espaciotemporal entre eventos . Por ejemplo, si todo se pospusiera dos horas, incluidos los dos eventos y el camino que tomaste para ir de uno a otro, entonces el intervalo de tiempo entre los eventos registrado por un cronómetro que llevabas contigo sería el mismo. O si todo se desplazara cinco kilómetros hacia el oeste, o se girara 60 grados a la derecha, tampoco se vería ningún cambio en el intervalo. Resulta que la longitud adecuada de un objeto tampoco se ve afectada por dicho desplazamiento.

En total, existen diez grados de libertad para tales transformaciones. Se pueden considerar como una traducción a través del tiempo o del espacio (cuatro grados, uno por dimensión); reflexión a través de un plano (tres grados, la libertad de orientación de este plano); o un " impulso " en cualquiera de las tres direcciones espaciales (tres grados). La composición de transformaciones es la operación del grupo de Poincaré, produciéndose rotaciones como composición de un número par de reflexiones.

En física clásica , el grupo galileano es un grupo comparable de diez parámetros que actúa en el tiempo y el espacio absolutos . En lugar de aumentos, presenta mapeos de corte para relacionar marcos de referencia en movimiento conjunto.

En la relatividad general , es decir, bajo los efectos de la gravedad , la simetría de Poincaré se aplica sólo localmente. Un tratamiento de las simetrías en la relatividad general no está dentro del alcance de este artículo.

Simetría de Poincaré

La simetría de Poincaré es la simetría completa de la relatividad especial . Incluye:

• traducciones (desplazamientos) en el tiempo y el espacio ( P ), formando el grupo abeliano de traducciones de Lie en el espacio-tiempo;
• rotaciones en el espacio, formando el grupo de Lie no abeliano de rotaciones tridimensionales ( J );
• impulsos , transformaciones que conectan dos cuerpos en movimiento uniforme ( K ).

Las dos últimas simetrías, J y K , juntas forman el grupo de Lorentz (ver también invariancia de Lorentz ); el producto semidirecto del grupo de traducciones y del grupo Lorentz produce luego el grupo Poincaré. Se dice entonces que los objetos que son invariantes en este grupo poseen invariancia de Poincaré o invariancia relativista .

10 generadores (en cuatro dimensiones espacio-temporales) asociados a la simetría de Poincaré, por el teorema de Noether , implican 10 leyes de conservación: ^{[4] [5]}

• 1 para la energía – asociada con traslaciones a través del tiempo
• 3 para el impulso – asociado con traslaciones a través de dimensiones espaciales
• 3 para el momento angular – asociado con rotaciones entre dimensiones espaciales
• 3 para una cantidad que involucra la velocidad del centro de masa, asociada con rotaciones hiperbólicas entre cada dimensión espacial y el tiempo.

grupo poincaré

El grupo de Poincaré es el grupo de isometrías del espaciotiempo de Minkowski . Es un grupo de Lie no compacto de diez dimensiones . El grupo abeliano de traslaciones es un subgrupo normal , mientras que también es un subgrupo el grupo de Lorentz , el estabilizador del origen. El grupo de Poincaré en sí es el subgrupo mínimo del grupo afín que incluye todas las traducciones y transformaciones de Lorentz . Más precisamente, es un producto semidirecto de las traducciones y del grupo Lorentz,

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,}$

con multiplicación de grupos

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^[6]

Otra forma de decir esto es que el grupo de Poincaré es una extensión del grupo de Lorentz mediante una representación vectorial del mismo; A veces se le denomina, informalmente, grupo de Lorentz no homogéneo . A su vez, también se puede obtener como una contracción de grupo del grupo de Sitter SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) , ya que el radio de De Sitter llega al infinito.

Sus representaciones unitarias irreducibles de energía positiva están indexadas por masa (número no negativo) y espín ( entero o medio entero) y están asociadas con partículas en la mecánica cuántica (ver clasificación de Wigner ).

De acuerdo con el programa de Erlangen , la geometría del espacio de Minkowski está definida por el grupo de Poincaré: el espacio de Minkowski se considera como un espacio homogéneo para el grupo.

En teoría cuántica de campos , la cobertura universal del grupo de Poincaré

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),}$

que se puede identificar con la doble tapa

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),}$

es más importante, porque las representaciones de no pueden describir campos con spin 1/2; es decir , fermiones . Aquí está el grupo de matrices complejas con determinante unitario, isomorfas al grupo de espín con firma de Lorentz . ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$

Álgebra de Poincaré

El álgebra de Poincaré es el álgebra de Lie del grupo de Poincaré. Es una extensión del álgebra de Lie del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Más específicamente, la parte propia ( ), ortocrónica ( ) del subgrupo de Lorentz (su componente de identidad ), está conectada a la identidad y, por lo tanto, es proporcionada por la exponenciación de este álgebra de Lie . En forma de componentes, el álgebra de Poincaré viene dada por las relaciones de conmutación: ^{[7] [8]} ${\textstyle \det \Lambda =1}$ ${\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}$ ${\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}$ ${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}}$

donde es el generador de traslaciones, es el generador de transformaciones de Lorentz y es la métrica de Minkowski (ver Convención de signos ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (+,-,-,-)}$

Un diagrama de la estructura de conmutación del álgebra de Poincaré. Los bordes del diagrama conectan generadores con conmutadores distintos de cero.

La relación de conmutación inferior es el grupo de Lorentz ("homogéneo"), que consta de rotaciones, y impulsos . En esta notación, toda el álgebra de Poincaré se puede expresar en lenguaje no covariante (pero más práctico) como ${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$ ${\textstyle K_{i}=M_{i0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}}$

donde el conmutador final de dos impulsos a menudo se denomina "rotación de Wigner". La simplificación permite la reducción de la subálgebra de Lorentz y el tratamiento eficiente de sus representaciones asociadas . En términos de parámetros físicos, tenemos ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ ${\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}$

Las invariantes de Casimir de esta álgebra son y dónde está el pseudovector de Pauli-Lubanski ; sirven como etiquetas para las representaciones del grupo. ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }}$

El grupo de Poincaré es el grupo de simetría completo de cualquier teoría de campo relativista . Como resultado, todas las partículas elementales caen en representaciones de este grupo . Estos generalmente se especifican mediante los cuatro momentos al cuadrado de cada partícula (es decir, su masa al cuadrado) y los números cuánticos intrínsecos , donde es el número cuántico de espín , es la paridad y es el número cuántico de conjugación de carga . En la práctica, muchas teorías cuánticas de campos violan la conjugación de carga y la paridad ; donde esto ocurre, y se pierden. Dado que la simetría CPT es invariante en la teoría cuántica de campos, se puede construir un número cuántico con inversión de tiempo a partir de los dados. ${\textstyle J^{PC}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

Como espacio topológico , el grupo tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente de tiempo invertido; el componente de inversión espacial; y el componente que está invertido en el tiempo y en el espacio. ^[9]

Otras dimensiones

Las definiciones anteriores se pueden generalizar a dimensiones arbitrarias de manera sencilla. El grupo d -dimensional de Poincaré está definido de manera análoga por el producto semidirecto

${\displaystyle \operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)}$

con la multiplicación análoga

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^[6]

El álgebra de Lie conserva su forma, con índices µ y ν que ahora toman valores entre 0 y d − 1 . La representación alternativa en términos de _Ji y Ki no _tiene analogía en dimensiones superiores.

Ver también

• grupo euclidiano
• grupo galileo
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• clasificación de Wigner
• Simetría en mecánica cuántica
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Física de partículas y teoría de la representación.
• Partícula de giro continuo
• álgebra de super-Poincaré

Notas

1. Poincaré, Henri (diciembre de 1906), "Sur la dynamique de l'électron"  , Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Bibcode :1906RCMP...21..129P, doi :10.1007/bf03013466, hdl :2027/uiug.30112063899089, S2CID  120211823( Traducción de Wikisource : Sobre la dinámica del electrón). El grupo definido en este artículo ahora se describiría como el grupo de Lorentz homogéneo con multiplicadores escalares.
2. Minkowski, Hermann, "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern"  , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–111(Traducción de Wikisource: Las ecuaciones fundamentales para los procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento).
3. Minkowski, Hermann, "Raum und Zeit"  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88
4. "Estudio de las leyes de simetría y conservación: más Poincaré" (PDF) . frankwilczek.com . Consultado el 14 de febrero de 2021 .
5. Barnett, Stephen M (1 de junio de 2011). "Sobre los seis componentes del momento angular óptico". Revista de Óptica . 13 (6): 064010. Código Bib : 2011JOpt...13f4010B. doi :10.1088/2040-8978/13/6/064010. ISSN  2040-8978. S2CID  55243365.
6. Oblak, Blagoje (1 de agosto de 2017). Partículas BMS en tres dimensiones. Saltador. pag. 80.ISBN​ 9783319618784.
7. NNBogolubov (1989). Principios generales de la teoría cuántica de campos (2ª ed.). Saltador. pag. 272.ISBN​ 0-7923-0540-X.
8. T. Ohlsson (2011). Física cuántica relativista: de la mecánica cuántica avanzada a la introducción a la teoría cuántica de campos. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 10.ISBN​ 978-1-13950-4324.
9. "Temas: Grupo Poincaré". www.phy.olemiss.edu . Consultado el 18 de julio de 2021 .

Referencias

• Wu Ki Tung (1985). Teoría de grupos en Física . Publicaciones científicas mundiales. ISBN 9971-966-57-3.
• Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos . vol. 1. Cambridge: prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55001-7.
• LH Ryder (1996). Teoría cuántica de campos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 62.ISBN​ 0-52147-8146.