Álgebra de Super-Poincaré

En física teórica , un álgebra super-Poincaré es una extensión del álgebra de Poincaré para incorporar la supersimetría , una relación entre bosones y fermiones . Son ejemplos de álgebras de supersimetría (sin cargas centrales ni simetrías internas), y son superálgebras de Lie . Así, un álgebra super-Poincaré es un espacio vectorial graduado Z 2 con un corchete de Lie graduado tal que la parte par es un álgebra de Lie que contiene el álgebra de Poincaré, y la parte impar se construye a partir de espinores en los que existe una relación de anticonmutación con los valores. en la parte par.

boceto informal

El álgebra de Poincaré describe las isometrías del espaciotiempo de Minkowski . De la teoría de la representación del grupo de Lorentz , se sabe que el grupo de Lorentz admite dos representaciones de espinores complejas no equivalentes, denominadas y . ^{[nb 1]} Tomando su producto tensorial , se obtiene ; Tales descomposiciones de productos tensoriales de representaciones en sumas directas vienen dadas por la regla de Littlewood-Richardson . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1}$

Normalmente, se trata tal descomposición como si estuviera relacionada con partículas específicas: así, por ejemplo, el pión , que es una partícula vectorial quiral , está compuesto por un par quark -antiquark. Sin embargo, también se podría identificar con el propio espacio-tiempo de Minkowski. Esto lleva a una pregunta natural: si el espacio-tiempo de Minkowski pertenece a la representación adjunta , ¿puede entonces extenderse la simetría de Poincaré a la representación fundamental ? Bueno, puede: ésta es exactamente el álgebra de super-Poincaré. Existe una pregunta experimental correspondiente: si vivimos en la representación adjunta, ¿dónde se esconde la representación fundamental? Se trata del programa de supersimetría , que no se ha encontrado experimentalmente. ${\displaystyle 3\oplus 1}$

Historia

El álgebra de superPoincaré se propuso por primera vez en el contexto del teorema de Haag-Łopuszański-Sohnius , como una forma de evitar las conclusiones del teorema de Coleman-Mandula . Es decir, el teorema de Coleman-Mandula es un teorema prohibido que establece que el álgebra de Poincaré no puede ampliarse con simetrías adicionales que podrían describir las simetrías internas del espectro de partículas físicas observado. Sin embargo, el teorema de Coleman-Mandula supuso que la extensión del álgebra se realizaría mediante un conmutador; Esta suposición, y por tanto el teorema, pueden evitarse considerando el anticonmutador, es decir, empleando números de Grassmann anticonmutadores . La propuesta era considerar un álgebra de supersimetría , definida como el producto semidirecto de una extensión central del álgebra de super-Poincaré por un álgebra de Lie compacta de simetrías internas.

Definición

La extensión supersimétrica más simple del álgebra de Poincaré contiene dos espinores de Weyl con la siguiente relación anti-conmutación:

${\displaystyle \{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}=2{\sigma ^{\mu }}_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }}$

y todas las demás relaciones anti-conmutación entre Qs y Ps desaparecen. ^[1] Los operadores se conocen como sobrealimentadores . En la expresión anterior están los generadores de traducción y son las matrices de Pauli . El índice recorre los valores. Se utiliza un punto sobre el índice para recordar que este índice se transforma según la representación del espinor conjugado no equivalente; Nunca se deben contraer accidentalmente estos dos tipos de índices. Las matrices de Pauli pueden considerarse una manifestación directa de la regla de Littlewood-Richardson mencionada anteriormente: indican cómo el producto tensorial de los dos espinores puede reexpresarse como un vector. El índice, por supuesto, abarca las dimensiones espacio-temporales. ${\displaystyle Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1,2.}$ ${\displaystyle {\dot {\beta }}}$ ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =0,1,2,3.}$

Es conveniente trabajar con espinores de Dirac en lugar de espinores de Weyl; Se puede considerar un espinor de Dirac como un elemento de ; tiene cuatro componentes. Por tanto, las matrices de Dirac también son cuatridimensionales y pueden expresarse como sumas directas de las matrices de Pauli. El producto tensorial da entonces una relación algebraica con la métrica de Minkowski que se expresa como: ${\displaystyle 2\oplus {\overline {2}}}$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }}$

y

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]}$

Esto da entonces el álgebra completa ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[M^{\mu \nu },Q_{\alpha }\right]&={\frac {1}{2}}(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }^{\;\;\beta }Q_{\beta }\\\left[Q_{\alpha },P^{\mu }\right]&=0\\\{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}&=2(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }\\\end{aligned}}}$

que deben combinarse con el álgebra de Poincaré normal . Es un álgebra cerrada, ya que todas las identidades de Jacobi se satisfacen y pueden tener representaciones matriciales explícitas. Seguir esta línea de razonamiento conducirá a la supergravedad .

Supersimetría extendida

Es posible agregar más sobrealimentadores. Es decir, fijamos un número que por convención está etiquetado y definimos supercargas con ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I}}$ ${\displaystyle I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}.}$

Se pueden considerar como copias de los sobrealimentadores originales y, por lo tanto, satisfacen

${\displaystyle [M^{\mu \nu },Q_{\alpha }^{I}]=(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }{}^{\beta }Q_{\beta }^{I}}$

${\displaystyle [P^{\mu },Q_{\alpha }^{I}]=0}$

y

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{J}\}=2\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }P_{\mu }\delta ^{IJ}}$

pero también puede satisfacer

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{I},Q_{\beta }^{J}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{IJ}}$

y

${\displaystyle \{{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}^{J}\}=\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}Z^{\dagger IJ}}$

¿ Dónde está la carga central ? ${\displaystyle Z^{IJ}=-Z^{JI}}$

Grupo Super-Poincaré y superespacio

Así como el álgebra de Poincaré genera el grupo de isometrías de Poincaré del espacio de Minkowski, el álgebra de superPoincaré, ejemplo de superálgebra de Lie, genera lo que se conoce como supergrupo . Esto se puede utilizar para definir el superespacio con supercargas: estas son las clases laterales correctas del grupo Lorentz dentro del grupo super-Poincaré. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Así como se interpreta como generador de traslaciones espacio-temporales, las cargas , con , se interpretan como generadores de traslaciones superespaciales en las 'coordenadas de giro' del superespacio. Es decir, podemos ver el superespacio como la suma directa del espacio de Minkowski con "dimensiones de giro" etiquetadas por coordenadas . La sobrealimentación genera traslaciones en la dirección marcada por la coordenada. Al contar, hay dimensiones de giro. ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I}}$ ${\displaystyle I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }^{I},{\bar {\theta }}^{I{\dot {\alpha }}}}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I}}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }^{I}.}$ ${\displaystyle 4{\mathcal {N}}}$

Notación para superespacio

Por lo tanto, el superespacio que consiste en el espacio de Minkowski con supercargas se denomina o, a veces, simplemente . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3|4{\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}}$

SUSY en el espacio-tiempo 3+1 de Minkowski

En (3 + 1) espaciotiempo de Minkowski, el teorema de Haag-Łopuszański-Sohnius establece que el álgebra SUSY con N generadores de espinores es la siguiente.

La parte par de la superálgebra de Lie en estrella es la suma directa del álgebra de Poincaré y un álgebra B de Lie reductiva (tal que su parte autoadjunta es el espacio tangente de un grupo de Lie compacto real ). La parte impar del álgebra sería

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}}$

donde y son representaciones específicas del álgebra de Poincaré. (En comparación con la notación utilizada anteriormente en el artículo, éstas corresponden y , respectivamente, consulte también la nota a pie de página donde se introdujo la notación anterior). Ambos componentes están conjugados entre sí bajo la conjugación *. V es una representación compleja N -dimensional de B y V ^* es su representación dual . El corchete de Lie para la parte impar viene dado por un emparejamiento equivariante simétrico {.,.} en la parte impar con valores en la parte par. En particular, su entrelazador reducido de al ideal del álgebra de Poincaré generado por traducciones se da como el producto de un entrelazador distinto de cero de a (1/2,1/2) por el "entrelazador de contracción" de a la representación trivial . Por otro lado, su entrelazador reducido de es el producto de un entrelazador (antisimétrico) de a (0,0 ) y un entrelazador antisimétrico A de a B. Conjugalo para obtener el caso correspondiente a la otra mitad. ${\displaystyle (1/2,0)}$ ${\displaystyle (0,1/2)}$ ${\displaystyle {\overline {2}}\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus 2}$ ${\displaystyle \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]\otimes \left[\left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}\right]}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]\otimes \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes \left({\frac {1}{2}},0\right)}$ ${\displaystyle N^{2}}$

norte = 1

B ahora es (llamado simetría R) y V es la representación 1D con carga 1. A (el entrelazador definido anteriormente) tendría que ser cero ya que es antisimétrico. ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

En realidad, hay dos versiones de N=1 SUSY, una sin (es decir, B es de dimensión cero) y la otra con . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

norte = 2

B es ahora y V es la representación doblete 2D de con carga cero . Ahora, A es un entrelazador distinto de cero con la parte de B. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

Alternativamente, V podría ser un doblete 2D con una carga distinta de cero. En este caso, A tendría que ser cero. ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

Otra posibilidad más sería dejar que B sea . V es invariante bajo y y se descompone en una repetición 1D con carga 1 y otra repetición 1D con carga -1. El entrelazador A sería complejo con la parte real asignada a y la parte imaginaria asignada a . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{B}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$

O podríamos tener B siendo V siendo el doblete de con cero cargas y A siendo un entrelazador complejo con la parte real asignada a y la parte imaginaria a . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{A}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$

Esto ni siquiera agota todas las posibilidades. Vemos que hay más de una supersimetría N  = 2; Asimismo, los SUSY para N  > 2 tampoco son únicos (de hecho, solo empeora).

norte = 3

Teóricamente está permitido, pero la estructura multiplete se vuelve automáticamente la misma que la de una teoría supersimétrica N = 4. Por lo tanto, se analiza con menos frecuencia en comparación con la versión N = 1,2,4. ^{[ cita necesaria ]}

norte = 4

Este es el número máximo de supersimetrías en una teoría sin gravedad.

norte = 8

Este es el número máximo de supersimetrías en cualquier teoría supersimétrica. Más allá , cualquier supermultiplete sin masa contiene un sector con helicidad tal que . Estas teorías sobre el espacio de Minkowski deben ser libres (sin interacción). ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\lambda |>2}$

SUSY en varias dimensiones

En dimensiones 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1 y 10 + 1, un álgebra SUSY se clasifica mediante un número entero  positivo N.

En dimensiones 1 + 1, 5 + 1 y 9 + 1, un álgebra SUSY se clasifica mediante dos números enteros no negativos ( M ,  N ), al menos uno de los cuales es distinto de cero. M representa el número de SUSY zurdos y N representa el número de SUSY diestros.

La razón de esto tiene que ver con las condiciones de realidad de los espinores .

De ahora en adelante, d  = 9 significa d  = 8 + 1 en la firma de Minkowski, etc. La estructura del álgebra de supersimetría está determinada principalmente por el número de generadores fermiónicos, es decir, el número N veces la dimensión real del espinor en d dimensiones. Esto se debe a que se puede obtener fácilmente un álgebra de supersimetría de dimensión inferior a partir de una de dimensionalidad superior mediante el uso de reducción dimensional.

Límite superior de la dimensión de las teorías supersimétricas.

La dimensión máxima permitida de las teorías con supersimetría es , que admite una teoría única llamada supergravedad de 11 dimensiones que es el límite de baja energía de la teoría M. Este incorpora supergravedad: sin supergravedad, la dimensión máxima permitida es . ^[3] ${\displaystyle d=11=10+1}$ ${\displaystyle d=10=9+1}$

re  = 11

El único ejemplo es la supersimetría N  = 1 con 32 supercargas.

re  = 10

A partir de d  = 11, N  = 1 SUSY, se obtiene N  = (1, 1) álgebra SUSY no quiral, que también se denomina supersimetría tipo IIA. También existe el álgebra SUSY N  = (2, 0), que se denomina supersimetría tipo IIB. Ambos tienen 32 supercargadores.

N  = (1, 0) El álgebra SUSY con 16 supercargas es el álgebra Susy mínima en 10 dimensiones. También se le llama supersimetría tipo I. La teoría de supercuerdas tipo IIA / IIB / I tiene el álgebra SUSY del nombre correspondiente. El álgebra de supersimetría para las supercuerdas heteróticas es la del tipo I.

Observaciones

1. Las representaciones barradas son lineales conjugadas mientras que las no barradas son lineales complejas. El numeral hace referencia a la dimensión del espacio de representación . Otra notación más común es escribir ( 1 ⁄ 2 , 0 ) y (0, 1 ⁄ 2 ) respectivamente para estas representaciones. La representación irreducible general es entonces ( m , n ) , donde m, n son semiintegrales y corresponden físicamente al contenido de espín de la representación, que oscila entre | metro + norte | a | metro - norte | en pasos enteros, cada giro ocurre exactamente una vez.

Notas

1. Aitchison 2005
2. van Nieuwenhuizen 1981, pág. 274
3. Pinzas, David. "Supersimetría". www.damtp.cam.ac.uk . Consultado el 3 de abril de 2023 .

Referencias

• Aitchison, Ian JR (2005). "La supersimetría y el MSSM: una introducción elemental". arXiv : hep-ph/0505105 .
• Gol'fand, YA ; Likhtman, EP (1971). "Ampliación del álgebra de los generadores del grupo de Poincaré y violación de la invariancia P". JETP Lett. 13 : 323–326. Código Bib : 1971JETPL..13..323G.
• van Nieuwenhuizen, P. (1981). "Supergravedad". Física. Representante 68 (4): 189–398. Código bibliográfico : 1981PhR....68..189V. doi :10.1016/0370-1573(81)90157-5.
• Volkov, DV; Akulov, vicepresidente (1972). "Posible interacción universal de neutrinos". JETP Lett . 16 (11): 621 págs.
• Volkov, DV; Akulov, vicepresidente (1973). "¿Es el neutrino una partícula de piedra dorada?". Física. Letón. B . 46 (1): 109–110. Código bibliográfico : 1973PhLB...46..109V. doi :10.1016/0370-2693(73)90490-5.
• Weinberg, Steven (2000). Supersimetría . La teoría cuántica de campos. vol. 3 (1ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521670555.
• Wess, J .; Zumino, B. (1974). "Transformaciones de supercalibre en cuatro dimensiones". Física Nuclear B. 70 (1): 39–50. Código bibliográfico : 1974NuPhB..70...39W. doi :10.1016/0550-3213(74)90355-1.