En física teórica , un álgebra de supersimetría (o álgebra SUSY ) es un formalismo matemático para describir la relación entre bosones y fermiones . El álgebra de supersimetría contiene no solo el álgebra de Poincaré y un subálgebra compacta de simetrías internas, sino que también contiene algunas supercargas fermiónicas, transformándose como una suma de N representaciones de espinores reales del grupo de Poincaré . Tales simetrías están permitidas por el teorema de Haag–Łopuszański–Sohnius . Cuando N >1 se dice que el álgebra tiene supersimetría extendida . El álgebra de supersimetría es una suma semidirecta de una extensión central del álgebra de superpoincaré por un álgebra de Lie compacta B de simetrías internas.
Los campos bosónicos conmutan mientras que los fermiónicos lo hacen en sentido contrario. Para tener una transformación que relacione los dos tipos de campos, se requiere la introducción de una gradación Z 2 en la que los elementos pares sean bosónicos y los impares fermiónicos. Este tipo de álgebra se denomina superálgebra de Lie .
Así como se pueden tener representaciones de un álgebra de Lie , también se pueden tener representaciones de una superálgebra de Lie , llamadas supermultipletes . Para cada álgebra de Lie, existe un grupo de Lie asociado que es conexo y simplemente conexo , único salvo isomorfismo , y las representaciones del álgebra se pueden extender para crear representaciones de grupo . De la misma manera, las representaciones de una superálgebra de Lie a veces se pueden extender a representaciones de un supergrupo de Lie .
El álgebra de supersimetría general para la dimensión del espacio-tiempo d , y con la pieza fermiónica consistente en una suma de N representaciones de espinores reales irreducibles, tiene una estructura de la forma
dónde
Los términos "bosónico" y "fermiónico" se refieren a los subespacios pares e impares de la superálgebra.
Los términos "escalar", "espinor", "vector", se refieren al comportamiento de las subálgebras bajo la acción del álgebra de Lorentz L.
El número N es el número de representaciones de espín reales irreducibles. Cuando la firma del espacio-tiempo es divisible por 4 esto es ambiguo ya que en este caso hay dos representaciones de espín reales irreducibles diferentes, y el número N a veces se reemplaza por un par de números enteros ( N 1 , N 2 ).
El álgebra de supersimetría se considera a veces como una superálgebra real y, a veces, como un álgebra compleja con una conjugación hermítica. Estos dos puntos de vista son esencialmente equivalentes, ya que el álgebra real se puede construir a partir del álgebra compleja tomando los elementos antihermíticos, y el álgebra compleja se puede construir a partir de la real tomando el producto tensorial con los números complejos .
La parte bosónica de la superálgebra es isomorfa al producto del álgebra de Poincaré P . L con el álgebra Z × B de simetrías internas.
Cuando N > 1 se dice que el álgebra tiene supersimetría extendida .
Cuando Z es trivial, la subálgebra P . Q . L es el superálgebra de Poincaré .