supermultiplete

Una representación del álgebra de supersimetría.

En física teórica , un supermultiplete es una representación de un álgebra de supersimetría , posiblemente con supersimetría extendida .

Entonces un supercampo es un campo en el superespacio que se valora en dicha representación. Ingenuamente, o al considerar el superespacio plano, un supercampo puede verse simplemente como una función en el superespacio. Formalmente, es una sección de un paquete supermultiplete asociado .

Fenomenológicamente, los supercampos se utilizan para describir partículas . Una característica de las teorías de campos supersimétricos es que las partículas forman pares, llamados supercompañeros, donde los bosones están emparejados con fermiones .

Estos campos supersimétricos se utilizan para construir teorías de campos cuánticos supersimétricos , donde los campos se convierten en operadores .

Historia

Los supercampos fueron introducidos por Abdus Salam y JA Strathdee en un artículo de 1974. ^[1] Unos meses más tarde, Sergio Ferrara , Julius Wess y Bruno Zumino presentaron operaciones en supercampos y una clasificación parcial . ^[2]

Denominación y clasificación

Los supermultipletes más utilizados son los multipletes vectoriales, los multipletes quirales (en supersimetría, por ejemplo), los hipermultipletes (en supersimetría, por ejemplo), los multipletes tensoriales y los multipletes gravitacionales. El componente más alto de un multiplete vectorial es un bosón de calibre , el componente más alto de un quiral o hipermultiplete es un espinor , el componente más alto de un multiplete de gravedad es un gravitón . Los nombres se definen para que sean invariantes bajo reducción dimensional , aunque la organización de los campos como representaciones del grupo de Lorentz cambia. ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=2}$

El uso de estos nombres para los diferentes multipletes puede variar en la literatura. Un multiplete quiral (cuyo componente más alto es un espinor) a veces puede denominarse multiplete escalar , y en SUSY, un multiplete vectorial (cuyo componente más alto es un vector) a veces puede denominarse multiplete quiral. ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=2}$

Supercampos en d = 4, N = 1 supersimetría

Las convenciones en esta sección siguen las notas de Figueroa-O'Farrill (2001).

Un supercampo complejo general en supersimetría se puede expandir como ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+\theta \chi (x)+{\bar {\theta }}{\bar {\chi }}'(x)+{\bar {\theta }}\sigma ^{\mu }\theta V_{\mu }(x)+\theta ^{2}F(x)+{\bar {\theta }}^{2}{\bar {F}}'(x)+{\bar {\theta }}^{2}\theta \xi (x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\xi }}'(x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D(x)}$,

donde se encuentran diferentes campos complejos. Este no es un supermultiplete irreducible , por lo que se necesitan diferentes restricciones para aislar representaciones irreducibles. ${\displaystyle \phi ,\chi ,{\bar {\chi }}',V_{\mu },F,{\bar {F}}',\xi ,{\bar {\xi }}',D}$

supercampo quiral

Un supercampo (anti)quiral es un supermultipleto de supersimetría. ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$

En cuatro dimensiones, la supersimetría mínima puede escribirse utilizando la noción de superespacio . El superespacio contiene las coordenadas espacio-temporales habituales , y cuatro coordenadas fermiónicas adicionales con , transformándose como un espinor de dos componentes (Weyl) y su conjugado. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2}$

En supersimetría , un supercampo quiral es una función sobre el superespacio quiral . Existe una proyección del superespacio (completo) al superespacio quiral. Por lo tanto, una función sobre el superespacio quiral se puede llevar al superespacio completo. Tal función satisface la restricción covariante , donde es la derivada covariante, dada en notación de índice como ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle {\overline {D}}\Phi =0}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$

${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Luego, un supercampo quiral se puede expandir como ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

${\displaystyle \Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),}$

dónde . El supercampo es independiente de las 'coordenadas de espín conjugadas' en el sentido de que depende sólo a través de . Se puede comprobar que ${\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle y^{\mu }}$ ${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.}$

La expansión tiene la interpretación de que es un campo escalar complejo, es un espinor de Weyl. También existe el campo escalar complejo auxiliar , denominado por convención: este es el término F que juega un papel importante en algunas teorías. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Luego, el campo se puede expresar en términos de las coordenadas originales sustituyendo la expresión por : ${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).}$

Supercampos antiquirales

De manera similar, también existe el superespacio antiquiral , que es el complejo conjugado del superespacio quiral y los supercampos antiquirales .

Un supercampo antiquiral satisface donde ${\displaystyle \Phi ^{\dagger }}$ ${\displaystyle D\Phi ^{\dagger }=0,}$

${\displaystyle D_{\alpha }=\partial _{\alpha }+i\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}\partial _{\mu }.}$

Se puede construir un supercampo antiquiral como el conjugado complejo de un supercampo quiral.

Acciones de supercampos quirales.

Para conocer una acción que puede definirse a partir de un único supercampo quiral, consulte el modelo de Wess-Zumino .

Supercampo vectorial

El supercampo vectorial es un supermultipleto de supersimetría. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

Un supercampo vectorial (también conocido como supercampo real) es una función que satisface la condición de realidad . Un campo así admite la expansión ${\displaystyle V(x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle V=V^{\dagger }}$

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).}$

Los campos constituyentes son

• Dos campos escalares reales y ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$
• Un campo escalar complejo ${\displaystyle M+iN}$
• Dos campos de espinores de Weyl y ${\displaystyle \chi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda ^{\alpha }}$
• Un campo vectorial real ( campo de calibre ) ${\displaystyle A_{\mu }}$

Sus propiedades y usos de transformación se analizan con más detalle en la teoría de calibre supersimétrico .

Usando transformaciones de calibre, los campos y se pueden establecer en cero. Esto se conoce como ancho de vía Wess-Zumino . En este calibre, la expansión adopta una forma mucho más simple ${\displaystyle C,\chi }$ ${\displaystyle M+iN}$

${\displaystyle V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.}$

Entonces es el supercompañero de , mientras que es un campo escalar auxiliar. Se le llama convencionalmente y se le conoce como término D. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

escalares

Un escalar nunca es el componente más alto de un supercampo; Que aparezca en un supercampo depende de la dimensión del espacio-tiempo. Por ejemplo, en una teoría N = 1 de 10 dimensiones, el multiplete de vectores contiene solo un vector y un espinor de Majorana-Weyl , mientras que su reducción dimensional en un toro d-dimensional es un multiplete de vectores que contiene d escalares reales. De manera similar, en una teoría de 11 dimensiones sólo hay un supermultiplete con un número finito de campos, el multiplete de gravedad, y no contiene escalares. Sin embargo, nuevamente su reducción dimensional en un toro d a un multiplete de gravedad máxima contiene escalares.

hipermultiplete

Un hipermultipleto es un tipo de representación de un álgebra de supersimetría extendida , en particular el multiplete de materia de supersimetría en 4 dimensiones, que contiene dos escalares complejos Ai , un espinor _de Dirac ψ y dos escalares complejos auxiliares _adicionales Fi . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

El nombre "hipermultiplete" proviene del antiguo término "hipersimetría" para supersimetría N = 2 utilizado por Fayet (1976); este término ha sido abandonado, pero todavía se utiliza el nombre "hipermultiplete" para algunas de sus representaciones.

Supersimetría extendida (N > 1)

Esta sección registra algunos supermultiplets irreducibles de uso común en supersimetría extendida en el caso. Estos se construyen mediante una construcción de representación de mayor peso, en el sentido de que existe un vector de vacío aniquilado por las sobrecargas . Los irreps tienen dimensión . Para supermultipletos que representan partículas sin masa, desde el punto de vista físico el máximo permitido es , mientras que para la renormalización , el máximo permitido es . ^[3] ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle Q^{A},A=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle 2^{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

norte = 2

El vector o multiplete quiral contiene un campo calibre , dos fermiones de Weyl y un escalar (que también se transforma en la representación adjunta de un grupo calibre ). Estos también se pueden organizar en un par de multipletes, un multiplete vectorial y un multiplete quiral . Este multiplete puede utilizarse para definir la teoría de Seiberg-Witten de forma concisa. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda ,\psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle W=(A_{\mu },\lambda )}$ ${\displaystyle \Phi =(\phi ,\psi )}$

El hipermultiplete o multiplete escalar consta de dos fermiones de Weyl y dos escalares complejos, o dos multipletes quirales. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

norte = 4

El multiplete vectorial contiene un campo calibre, cuatro fermiones de Weyl, seis escalares y conjugados CPT . Esto aparece en N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

Ver también

• Teoría del calibre supersimétrico
• término D
• término F

Referencias

1. Salam, Abdus; Strathdee, J. (mayo de 1994). Transformaciones de súper calibre. vol. 5. págs. 404–409. Bibcode : 1994spas.book..404S. doi :10.1142/9789812795915_0047. ISBN 978-981-02-1662-7. Consultado el 3 de abril de 2023 . {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
2. Ferrara, Sergio; Wess, Julio; Zumino, Bruno (1974). "Supercampos y multipletes de supercalibre". Física. Letón. B . 51 (3): 239–241. Código bibliográfico : 1974PhLB...51..239F. doi :10.1016/0370-2693(74)90283-4 . Consultado el 3 de abril de 2023 .
3. Krippendorf, Sven; Quevedo, Fernando; Schlotterer, Oliver (5 de noviembre de 2010). "Conferencias de Cambridge sobre supersimetría y dimensiones extra". arXiv : 1011.1491 [hep-th].

• Fayet, P. (1976), "Hipersimetría de Fermi-Bose", Física nuclear B , 113 (1): 135–155, Bibcode :1976NuPhB.113..135F, doi :10.1016/0550-3213(76)90458-2 , señor  0416304
• Stephen P. Martín. Una introducción a la supersimetría , arXiv:hep-ph/9709356.
• Yuji Tachikawa. N=2 dinámica supersimétrica para peatones , arXiv:1312.2684.
• Figueroa-O'Farrill, JM (2001). "Conferencias Busstepp sobre supersimetría". arXiv : hep-th/0109172 .