Modelo Wess-Zumino

Tipo de teoría cuántica de campos supersimétrica

En física teórica , el modelo de Wess-Zumino se ha convertido en el primer ejemplo conocido de una teoría de campos cuánticos de cuatro dimensiones que interactúa con una supersimetría realizada linealmente . En 1974, Julius Wess y Bruno Zumino estudiaron, utilizando terminología moderna, la dinámica de un único supercampo quiral (compuesto por un escalar complejo y un fermión espinor ) cuyo superpotencial cúbico conduce a una teoría renormalizable . ^[1] Es un caso especial de supersimetría global 4D N = 1 .

El tratamiento en este artículo sigue en gran medida el de las conferencias de Figueroa-O'Farrill sobre supersimetría, ^[2] y, hasta cierto punto, el de Tong. ^[3]

El modelo es un modelo importante en la teoría de campos cuánticos supersimétricos. Podría decirse que es la teoría de campos supersimétrica más simple en cuatro dimensiones y no está medida.

La acción Wess-Zumino

Tratamiento preliminar

Contenido del espacio-tiempo y la materia

En un tratamiento preliminar, la teoría se define sobre el espacio-tiempo plano ( espacio de Minkowski ). En este artículo, la métrica tiene principalmente una firma más. El contenido de la materia es un campo escalar real , un campo pseudoescalar real y un campo de espinor real ( de Majorana ) . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$

Este es un tratamiento preliminar en el sentido de que la teoría está escrita en términos de campos familiares escalares y de espinores que son funciones del espacio-tiempo, sin desarrollar una teoría del superespacio o de los supercampos , que aparecen más adelante en el artículo.

Teoría libre y sin masa.

El lagrangiano del modelo Wess-Zumino libre y sin masa es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{kin}}=-{\frac {1}{2}}(\partial S)^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial P)^{2}-{\frac {1}{2}}{\bar {\psi }}\partial \!\!\!/\psi ,}$

dónde

• ${\displaystyle \partial \!\!\!/=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$
• ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{t}C=\psi ^{\dagger }i\gamma ^{0}.}$

La acción correspondiente es

${\displaystyle I_{\text{kin}}=\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{\text{kin}}}$.

Teoría masiva

La supersimetría se conserva al agregar un término de masa de la forma

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{m}}=-{\frac {1}{2}}m^{2}S^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}P^{2}-{\frac {1}{2}}m{\bar {\psi }}\psi }$

Teoría interactiva

La supersimetría se conserva al agregar un término de interacción con constante de acoplamiento : ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}=-\lambda \left({\bar {\psi }}(S-P\gamma _{5})\psi +{\frac {1}{2}}\lambda (S^{2}+P^{2})^{2}+mS(S^{2}+P^{2})\right).}$

La acción completa de Wess-Zumino se obtiene juntando estos lagrangianos:

Acción de Wess-Zumino (tratamiento preliminar)

${\displaystyle I_{\text{WZ}}=\int d^{4}x\ ({\mathcal {L}}_{\text{kin}}+{\mathcal {L}}_{\text{m}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}})}$

Expresión alternativa

Existe una forma alternativa de organizar los campos. Los campos reales y se combinan en un único campo escalar complejo , mientras que el espinor de Majorana se escribe en términos de dos espinores de Weyl: . Definiendo el superpotencial ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \phi :={\frac {1}{2}}(S+iP),}$ ${\displaystyle \psi =(\chi ^{\alpha },{\bar {\chi }}_{\dot {\alpha }})}$

${\displaystyle W(\phi ):={\frac {1}{2}}m\phi ^{2}+{\frac {1}{3}}\lambda \phi ^{3},}$

la acción de Wess-Zumino también se puede escribir (posiblemente después de volver a etiquetar algunos factores constantes)

Acción de Wess-Zumino (tratamiento preliminar, expresión alternativa)

${\displaystyle I_{\text{WZ}}=\int d^{4}x\left[\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -i\chi \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\bar {\chi }}-\left|{\frac {\partial W}{\partial \phi }}\right|^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \phi ^{2}}}\chi \chi -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}W^{\dagger }}{\partial \phi ^{\dagger 2}}}{\bar {\chi }}{\bar {\chi }}\right]}$

Al sustituir en , se encuentra que se trata de una teoría con un escalar complejo masivo y un espinor de Majorana masivo de la misma masa. Las interacciones son una interacción cúbica y cuártica , y una interacción de Yukawa entre y , todas ellas interacciones familiares de cursos de teoría cuántica de campos no supersimétrica. ${\displaystyle W(\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Usando superespacio y supercampos

Contenido de superespacio y supercampo

El superespacio consiste en la suma directa del espacio de Minkowski con el 'espacio de giro', un espacio de cuatro dimensiones con coordenadas , donde hay índices que toman valores en Más formalmente, el superespacio se construye como el espacio de clases laterales derechas del grupo de Lorentz en el grupo super-Poincaré. . ${\displaystyle (\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }})}$ ${\displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle 1,2.}$

El hecho de que solo haya 4 'coordenadas de giro' significa que se trata de una teoría con lo que se conoce como supersimetría, correspondiente a un álgebra con una única supercarga . El superespacio dimensional a veces se escribe y se llama superespacio de Minkowski . Las 'coordenadas de espín' se llaman así no debido a ninguna relación con el momento angular, sino porque se tratan como números anti-conmutación , una propiedad típica de los espinores en la teoría cuántica de campos debido al teorema de la estadística de espín . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle 8=4+4}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3|4}}$

Un supercampo es entonces una función en el superespacio . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi =\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

Definición de la derivada supercovariante

${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}={\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i({\bar {\sigma }}^{\mu })_{{\dot {\alpha }}\beta }\theta ^{\beta }\partial _{\mu },}$

un supercampo quiral satisface El contenido del campo es entonces simplemente un supercampo quiral único. ${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}\Phi =0.}$

Sin embargo, el supercampo quiral contiene campos, en el sentido de que admite la expansión

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (y)+\theta \chi (y)+\theta ^{2}F(y)}$

con Entonces se puede identificar como un escalar complejo, es un espinor de Weyl y es un escalar complejo auxiliar. ${\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }-i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}.}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle F}$

Estos campos admiten un nuevo reetiquetado, con y Esto permite recuperar las formas preliminares, tras eliminar las no dinámicas mediante su ecuación de movimiento. ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{2}}(S+iP)}$ ${\displaystyle \psi ^{a}=(\chi ^{\alpha },{\bar {\chi }}_{\dot {\alpha }}).}$ ${\displaystyle F}$

Acción libre y sin masas

Cuando se escribe en términos del supercampo quiral , la acción (para el modelo de Wess-Zumino libre y sin masa) toma la forma simple ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \int d^{4}xd^{2}\theta d^{2}{\bar {\theta }}\,\,2{\bar {\Phi }}\Phi }$

donde están las integrales sobre las dimensiones de espinor del superespacio . ${\displaystyle \int d^{2}\theta ,\int d^{2}{\bar {\theta }}}$

superpotencial

Las masas y las interacciones se añaden a través de un superpotencial . El superpotencial Wess-Zumino es

${\displaystyle W(\Phi )=m\Phi ^{2}+{\frac {4}{3}}\lambda \Phi ^{3}.}$

Como es complejo, para que la acción sea real también se debe añadir su conjugado. La acción completa de Wess-Zumino está escrita ${\displaystyle W(\Phi )}$

Acción de Wess-Zumino

${\displaystyle I_{\text{WZ}}=\int d^{4}x\left[\int d^{2}\theta d^{2}{\bar {\theta }}\,\,{\bar {\Phi }}\Phi \right]+\left[\int d^{2}\theta W(\Phi )+\int d^{2}{\bar {\theta }}{\bar {W}}({\bar {\Phi }})\right]}$

Supersimetría de la acción.

Tratamiento preliminar

La acción es invariante bajo las transformaciones de supersimetría, dadas en forma infinitesimal por

${\displaystyle \delta _{\epsilon }S={\bar {\epsilon }}\psi }$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }P={\bar {\epsilon }}\gamma _{5}\psi }$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi =[\partial \!\!\!/-m-\lambda (S+P\gamma _{5})](S+P\gamma _{5})\epsilon }$

donde es un parámetro de transformación valorado en espinor de Majorana y es el operador de quiralidad . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$

La forma alternativa es invariante bajo la transformación.

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi ={\sqrt {2}}\epsilon \chi }$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\chi ={\sqrt {2}}i\sigma ^{\mu }{\bar {\epsilon }}\partial _{\mu }\phi -{\sqrt {2}}\epsilon {\frac {\partial W^{\dagger }}{\partial \phi ^{\dagger }}}}$.

Sin desarrollar una teoría de las transformaciones superespaciales, estas simetrías parecen ad hoc.

Tratamiento de supercampo

Si la acción se puede escribir como donde hay un supercampo real, es decir, entonces la acción es invariante bajo supersimetría. ${\displaystyle S=\int d^{4}xd^{4}\theta K(x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{\dagger }=K}$

Entonces la realidad de los medios es invariante bajo supersimetría. ${\displaystyle K={\bar {\Phi }}\Phi }$

Simetrías extra clásicas

Simetría superconformal

El modelo sin masa de Wess-Zumino admite un conjunto mayor de simetrías, descritas a nivel de álgebra por el álgebra superconformal . Además de los generadores de simetría de Poincaré y los generadores de traducción de supersimetría, contiene el álgebra conforme y un generador de supersimetría conforme . ${\displaystyle S_{\alpha }}$

La simetría conforme se rompe a nivel cuántico por trazas y anomalías conformes, que rompen la invariancia bajo los generadores conformes para dilataciones y transformaciones conformes especiales , respectivamente. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

simetría R

La simetría R de la supersimetría se cumple cuando el superpotencial es un monomio. Esto significa que el supercampo es masivo pero libre (no interactúa), o que la teoría no tiene masa pero (posiblemente) interactúa. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle W(\Phi )}$ ${\displaystyle W(\phi )={\frac {1}{2}}m\phi ^{2}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle W(\Phi )={\frac {1}{3}}\lambda \phi ^{3}}$

Esto se ve interrumpido a nivel cuántico por anomalías.

Acción para múltiples supercampos quirales.

La acción se generaliza directamente a múltiples supercampos quirales con . La teoría renormalizable más general es ${\displaystyle \Phi ^{i}}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle I=\int d^{4}x\,d^{4}\theta \,K_{i{\bar {j}}}\Phi ^{i}\Phi ^{\dagger {\bar {j}}}+\int d^{4}x\left[\int d^{2}\theta \,W(\Phi )+{\text{h.c.}}\right]}$

donde está el superpotencial

${\displaystyle W(\Phi )=a_{i}\Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\Phi ^{i}\Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\Phi ^{i}\Phi ^{j}\Phi ^{k}}$,

donde se utiliza la suma implícita.

Mediante un cambio de coordenadas, bajo el cual se transforma bajo , se puede establecer sin pérdida de generalidad. Con esta elección, la expresión se conoce como potencial de Kähler canónico . Existe libertad residual para realizar una transformación unitaria con el fin de diagonalizar la matriz de masa . ${\displaystyle \Phi ^{i}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(N,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle K_{i{\bar {j}}}=\delta _{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle K=\delta _{i{\bar {j}}}\Phi ^{i}\Phi ^{\dagger {\bar {j}}}}$ ${\displaystyle m_{ij}}$

Cuando , si el multiplete es masivo entonces el fermión de Weyl tiene masa de Majorana. Pero para los dos fermiones de Weyl pueden tener una masa de Dirac, cuando se considera que el superpotencial es Esta teoría tiene una simetría, donde giran con cargas opuestas. ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N=2,}$ ${\displaystyle W(\Phi ,{\tilde {\Phi }})=m{\tilde {\Phi }}\Phi .}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \Phi ,{\tilde {\Phi }}}$

Súper QCD

En general , un superpotencial de la forma tiene una simetría cuando gira con cargas opuestas, es decir, bajo ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle W(\Phi _{a},{\tilde {\Phi }}_{a})=m{\tilde {\Phi }}_{a}\Phi _{a}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle \Phi _{a},{\tilde {\Phi }}_{a}}$ ${\displaystyle U\in {\text{SU}}(N)}$

${\displaystyle \Phi _{a}\mapsto U_{a}{}^{b}\Phi _{b}}$

${\displaystyle {\tilde {\Phi }}_{a}\mapsto (U^{-1})_{a}{}^{b}{\tilde {\Phi }}_{b}}$.

Esta simetría se puede medir y acoplar a Yang-Mills supersimétrico para formar un análogo supersimétrico de la cromodinámica cuántica , conocido como super QCD.

Modelos sigma supersimétricos

Si no se insiste en la renormalización, entonces hay dos posibles generalizaciones. El primero de ellos es considerar superpotenciales más generales. El segundo es considerar en el término cinético ${\displaystyle K}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,d^{2}\theta ^{2}\,d^{2}{\bar {\theta }}^{2}K(\Phi ,{\bar {\Phi }})}$

ser una función real de y . ${\displaystyle K=K(\Phi ,{\bar {\Phi }})}$ ${\displaystyle \Phi ^{i}}$ ${\displaystyle {\bar {\Phi }}^{\bar {j}}}$

La acción es invariante bajo transformaciones : éstas se conocen como transformaciones de Kähler. ${\displaystyle K(\Phi ,\Phi ^{\dagger })+\Lambda (\Phi )+{\bar {\Lambda }}({\bar {\Phi }})}$

La consideración de esta teoría da una intersección de la geometría de Kähler con la teoría de campos supersimétricos.

Expandiendo el potencial de Kähler en términos de derivadas de y los supercampos constituyentes de y luego eliminando los campos auxiliares usando las ecuaciones de movimiento, se obtiene la siguiente expresión: ${\displaystyle K(\Phi ,{\bar {\Phi }})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Phi ,{\bar {\Phi }}}$ ${\displaystyle F,{\bar {F}}}$

${\displaystyle S_{K}=\int d^{4}x\left[g_{i{\bar {j}}}(\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial ^{\mu }{\bar {\phi }}^{\bar {j}})+g_{i{\bar {j}}}{\frac {i}{2}}(\nabla _{\mu }\psi ^{i}\sigma ^{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}}-\psi ^{i}\sigma ^{\mu }\nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}})+{\frac {1}{4}}R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}(\psi ^{i}\psi ^{k})({\bar {\psi }}^{\bar {j}}{\bar {\psi }}^{\bar {l}})\right]}$

dónde

• ${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}}$es la métrica de Kähler . Es invariante bajo transformaciones de Kähler. Si el término cinético es definido positivo, entonces es invertible, lo que permite definir la métrica inversa. ${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle g^{i{\bar {j}}}}$

• Los símbolos de Christoffel (adaptados para una métrica de Kähler) son y ${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=g^{i{\bar {l}}}\partial _{j}g_{k{\bar {l}}}}$ ${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{\bar {i}}{}_{{\bar {j}}{\bar {k}}}=g^{l{\bar {i}}}\partial _{\bar {j}}g_{l{\bar {k}}}.}$

• Las derivadas covariantes y se definen ${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi ^{i}}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}}}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi ^{i}=\partial _{\mu }\psi ^{i}+\Gamma ^{i}{}_{jk}\psi ^{j}\partial _{\mu }\phi ^{k}}$

y

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {i}}=\partial _{\mu }\psi ^{\bar {i}}+{\bar {\Gamma }}^{\bar {i}}{}_{{\bar {j}}{\bar {k}}}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}\partial _{\mu }{\bar {\phi }}^{\bar {k}}}$

• Se define el tensor de curvatura de Riemann (adaptado para una métrica de Kähler) . ${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g_{m{\bar {j}}}\partial _{\bar {l}}\Gamma ^{m}{}_{ik}=\partial _{k}\partial _{\bar {l}}g_{i{\bar {j}}}-g^{m{\bar {n}}}(\partial _{k}g_{i{\bar {n}}})(\partial _{\bar {l}}g_{m{\bar {j}}})}$

Añadiendo un superpotencial

Se puede agregar un superpotencial para formar la acción más general. ${\displaystyle W(\Phi )}$

${\displaystyle S=S_{K}-\int d^{4}x\left[g^{i{\bar {j}}}\partial _{i}W\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}+{\frac {1}{4}}\psi ^{i}\psi ^{j}H_{ij}(W)+{\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}^{\bar {i}}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}H_{{\bar {i}}{\bar {j}}}({\bar {W}})\right]}$

donde se definen los hessianos de ${\displaystyle W}$

${\displaystyle H_{ij}(W)=\nabla _{i}\partial _{j}W=\partial _{i}\partial _{j}W-\Gamma ^{k}{}_{ij}\partial _{k}W}$

${\displaystyle {\bar {H}}_{{\bar {i}}{\bar {j}}}({\bar {W}})=\nabla _{\bar {i}}\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}=\partial _{\bar {i}}\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}-\Gamma ^{\bar {k}}{}_{{\bar {i}}{\bar {j}}}\partial _{\bar {k}}{\bar {W}}}$.

Ver también

• N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills
• supermultiplete

Referencias

1. Wess, J.; Zumino, B. (1974). "Transformaciones de supercalibre en cuatro dimensiones". Física Nuclear B. 70 (1): 39–50. Código bibliográfico : 1974NuPhB..70...39W. doi :10.1016/0550-3213(74)90355-1.
2. Figueroa-O'Farrill, JM (2001). "Conferencias Busstepp sobre supersimetría". arXiv : hep-th/0109172 .
3. Pinzas, David. "Conferencias sobre supersimetría". Conferencias de Física Teórica . Consultado el 19 de julio de 2022 .