En física teórica , el superpotencial es una función de la mecánica cuántica supersimétrica . Dado un superpotencial, se derivan dos "potenciales asociados" que pueden servir cada uno como potencial en la ecuación de Schrödinger . Los potenciales asociados tienen el mismo espectro , aparte de un posible valor propio de cero, lo que significa que los sistemas físicos representados por los dos potenciales tienen las mismas energías características, aparte de un posible estado fundamental de energía cero.
Consideremos una partícula unidimensional no relativista con un grado de libertad interno de dos estados llamado " espín ". (Esta no es exactamente la noción habitual de espín que se encuentra en la mecánica cuántica no relativista, porque el espín "real" se aplica solo a partículas en el espacio tridimensional ). Sea b y su adjunto hermítico b † los operadores que transforman una partícula de "espín hacia arriba" en una partícula de "espín hacia abajo" y viceversa, respectivamente. Además, tomemos b y b † como normalizados de modo que el anticonmutador { b , b † } sea igual a 1, y tomemos que b 2 sea igual a 0. Sea p el momento de la partícula y x su posición con [ x , p ]=i, donde usamos unidades naturales de modo que . Sea W (el superpotencial) una función diferenciable arbitraria de x y definamos los operadores supersimétricos Q 1 y Q 2 como
Los operadores Q 1 y Q 2 son autoadjuntos. Sea el hamiltoniano
donde W' significa la derivada de W . Nótese también que { Q 1 , Q 2 }=0. En estas circunstancias, el sistema anterior es un modelo de juguete de supersimetría N = 2. Los estados de espín hacia abajo y hacia arriba se denominan a menudo estados " bosónicos " y " fermiónicos ", respectivamente, en una analogía con la teoría cuántica de campos . Con estas definiciones, Q 1 y Q 2 mapean los estados "bosónicos" en estados "fermiónicos" y viceversa. Restringiendo a los sectores bosónico o fermiónico se obtienen dos potenciales asociados determinados por
En las teorías de campos cuánticos supersimétricos con cuatro dimensiones espacio-temporales , que podrían tener alguna conexión con la naturaleza, resulta que los campos escalares surgen como el componente más bajo de un supercampo quiral , que tiende a tener automáticamente un valor complejo. Podemos identificar el conjugado complejo de un supercampo quiral como un supercampo antiquiral. Hay dos formas posibles de obtener una acción a partir de un conjunto de supercampos:
o
La segunda opción nos dice que una función holomorfa arbitraria de un conjunto de supercampos quirales puede aparecer como un término en un Lagrangiano que es invariante bajo supersimetría. En este contexto, holomorfa significa que la función solo puede depender de los supercampos quirales, no de sus conjugados complejos. Podemos llamar a dicha función W , el superpotencial. El hecho de que W sea holomorfa en los supercampos quirales ayuda a explicar por qué las teorías supersimétricas son relativamente manejables, ya que permite utilizar poderosas herramientas matemáticas del análisis complejo . De hecho, se sabe que W no recibe correcciones perturbativas, un resultado conocido como el teorema de no renormalización perturbativa . Nótese que los procesos no perturbativos pueden corregir esto, por ejemplo a través de contribuciones a las funciones beta debido a los instantones .