Renormalización

En teoría cuántica de campos y otras áreas, la renormalización se refiere a un conjunto de técnicas usadas para obtener términos finitos en un desarrollo perturbativo.Por lo tanto, la renormalización es necesaria ya que hoy en día no se conoce cómo hacer los cálculos sin series perturbativas.Es decir, sobre un espacio-tiempo definido como una retícula de puntos numerable, la teoría da resultados finitos pero al hacer disminuir la distancia mínima entre puntos hacia cero, algunos términos se disparan a infinito.Cuánticamente no resulta posible medir el valor del campo con infinita precisión en un punto del espacio, sino solo en una región muy pequeña pero no de volumen nulo.En el caso de teorías de campo libre (sin autointeracciones) este hecho no causa problemas serios y se puede construir un formalismo no perturbativo.[1]​ Y en ese caso, resulta inevitable considerar productos de operadores de campo en el mismo punto del espacio, lo cual es una operación que matemáticamente no está bien definida en todos los casos.La renormalización fue desarrollada inicialmente para la electrodinámica cuántica (QED) con el objetivo de dar sentido a los valores infinitos de ciertas integrales obtenidas mediante teoría de perturbaciones a partir del caso del campo libre.Asumiendo que la partícula es una cáscara esférica cargada de radio re, la masa energía del campo es:Esto implicaría que una partícula perfectamente puntual tendría una inercia infinita y por tanto no podría ser acelerada.El radio clásico del electrón es precisamente el valor de re para el cual la masa anterior coincide con la masa de un electrón, escogiendo ademásSi se permite que la masa de la cáscara esférica sea negativa, sería posible desarrollar un punto límite consistente.H. Lorentz y M. Abraham intentaron desarrollar una teoría clásica de campos para el electrón, usando esa idea.Si se asume que el electrón es una partícula perfectamente puntual, el valor de la retrorreacción resulta infinito, y por la misma razón su masa electromagnética no es finita, porque el campo sigue una ley de la inversa del cuadrado.La teoría de Abraham-Lorentz tiene consecuencias no causales conocidas como "preaceleración".El problema es peor en la electrodinámica clásica que en la electrodinámica cuántica, debido a que en el caso cuántico una partícula cargada experimenta un Zitterbewegung debido a la autointeracción con pares de partícula-antipartícula.Cuando se desarrolló la electrodinámica cuántica durante los años 1930, Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan y Paul Dirac descubrieron que los cálculos perturbativos daban lugar a integrales que divergían a infinito.La manera de describir esas divergencias se basó en el trabajo de Ernst Stueckelberg (ya en los años 1930), y casi una década más tarde por Julian Schwinger, Richard Feynman, y Shin'ichiro Tomonaga.Aunque estas partículas virtuales obedecen las leyes de conservación de la energía y la cantidad de movimiento, pueden asumir cualquier energía y momento, incluso un valor que no está permitido por la relación relativista momento-energía (es decir,no es exactamente igual a la masa de la partícula que participa en dicho proceso.Así por ejemplo, para un fotón virtual la cantidad anterior podría no ser cero, lo cual equivale a que tuviera masa.Cuando existe un ciclo cerrado o loop, el momento de las partículas que participan en dicho ciclo cerrado no viene unívocamente determinada por las energías y los momentos de las partículas reales entrantes y salientes (se supone que la interacción está localizada en una región compacta del espacio tiempo, y las partículas entrantes son las que llegan a ella y las salientes las que emergen de ella).Estas integrales frecuentemente son divergentes, es decir, no dan lugar a un valor finito en un cálculo directo.Una divergencia ultravioleta puede describirse como una que es resultado de: Por tanto, estas divergencias implican fenómenos que se dan a lo largo de distancias muy pequeñas y tiempos muy cortos.La divergencia infrarroja del diagrama de vértice se elimina incluyendo un diagrama similar al diagrama de vértice con la siguiente diferencia importante: el fotón que conecta las dos patas del electrón se corta y se sustituye por dos fotones on shell (es decir, reales) cuyas longitudes de onda tienden a infinito; este diagrama es equivalente al proceso de bremsstrahlung.Desde un punto de vista matemático las divergencias IR se pueden regularizar asumiendo una diferenciación fraccionaria con respecto a un parámetro, por ejemplo está bien definido en p = a pero es una divergencia ultravioleta, si se toma la derivada fraccional de orden 3/2 con respecto aEmite un fotón virtual que lleva rμ − pμ para transferir energía y momento al otro electrón.Pero en este diagrama, antes de que eso suceda, emite otro fotón virtual que lleva cuatro momentos qμ, y reabsorbe este después de emitir el otro fotón virtual.La conservación de la energía y el momento no determina el cuatro momentos qμ de forma única, por lo que todas las posibilidades contribuyen por igual y debemos integrarnos.en la parte superior que domina en valores grandes de qμ (Pokorski 1987, p. 122): Esta integral es divergente e infinita a menos que la cortemos a energía finita y momento de alguna manera.La solución a los problemas anteriores consiste en apreciar que las cantidades que inicialmente aparecían en las fórmulas de la teoría (como en la fórmula del langrangiano), representan cosas como la carga y la masa del electrón, así como las normalizaciones de los propios campos cuánticos, no son de hecho las constantes físicas medidas en el laboratorio.