Cálculo fraccional

En matemáticas, el cálculo fraccional es una rama del análisis matemático que estudia la posibilidad de tomar potencias reales o complejas del operador diferencial D y el operador integral J[Nota 1]​ En este contexto potencias se refieren a la aplicación iterativa, en el mismo sentido que f2(x) = f(f(x)).Por ejemplo, uno podría presentar la pregunta de interpretar con algún sentido como una raíz cuadrada del operador diferencial (un operador medio iterado), es decir, una expresión para algún operador que al ser aplicada dos veces a una función tendrá el mismo efecto que la diferenciación.Los semigrupos continuos prevalecen en matemáticas, y tienen una teoría interesante.Nótese aquí que fracción es entonces una mala denominación para el exponente, ya que no necesita ser un número racional, pero el término cálculo fraccional se ha vuelto tradicional.Para usar una metáfora, la derivada fraccional requiere algo de visión periférica.Un detalle importante a recalcar respecto a las derivadas fraccionales es que el operador diferencial que se utiliza, encierra tanto a la derivación como la integración, de modo que algunos desarrollos en serie de Taylor, como por ejemplo, el de la función exponencial, al aplicarles el operador diferencial fraccional, conduce a resultados erróneos.Esto se debe a que al igual que la integración habitual, la derivación fraccional admite límites de derivación.tal que o para expresarlo de otra manera,está bien definida para todos los valores reales de n > 0., la cual se define tal que Asumiendo una función, podemos formar la integral definida desde 0 hasta x. Llamémos a esto Repitiendo este proceso se tiene y esto puede ser extendido arbitrariamente.La fórmula de Cauchy para integración repetida, es decir conduce a una manera sencilla para la generalización a todo n. Usando simplemente la función Gamma para eliminar la naturaleza discreta de la función factorial se obtiene un candidato natural para aplicaciones fraccionales del operador integral.Puede ser demostrado que el operador J es conmutativo y aditivo.Lamentablemente el proceso comparable para el operador derivada D es considerablemente más complejo, pero puede ser demostrado que D no es ni conmutativo, ni aditivo en general.es Repitiendo este proceso obtenemos el cual es realmente el resultado esperado de También se puede llegar a la cuestión mediante la transformada de Laplace.Es precisamente la inversa del operador integral de Riemann-Liouville.La forma clásica del cálculo fraccional nos es dada por la diferintegral de Riemann-Liouville, esencialmente lo que ha sido descrito arriba.Se define sobre series de Fourier y requiere el coeficiente constante de Fourier para desaparecer (entonces, se aplica a funciones en el círculo unidad integrando a 0).En el contexto del análisis funcional, las funciones f(D) más generales que potencias se estudian en el cálculo funcional de la teoría espectral.[5]​ El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.[6]​[7]​[8]​ Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional [9]​ y trabajos relacionados posteriores.[10]​[11]​[12]​ El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional.En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L'Hopital en una carta que «... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles».El nombre «cálculo fraccional» se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto ordenEn consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida quese define utilizando notación de Einstein:[13]​ Denotando, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:, es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionales: