Derivada covariante

Especificación de una derivada a lo largo de un vector tangente de una variedad

En matemáticas , la derivada covariante es una forma de especificar una derivada a lo largo de vectores tangentes de una variedad . Alternativamente, la derivada covariante es una forma de introducir y trabajar con una conexión en una variedad mediante un operador diferencial , que se contrasta con el enfoque dado por una conexión principal en el haz de marcos (ver conexión afín) . En el caso especial de una variedad incrustada isométricamente en un espacio euclidiano de dimensiones superiores , la derivada covariante puede verse como la proyección ortogonal de la derivada direccional euclidiana sobre el espacio tangente de la variedad. En este caso, la derivada euclidiana se divide en dos partes, el componente normal extrínseco (dependiente de la incrustación) y el componente derivado covariante intrínseco.

El nombre está motivado por la importancia de los cambios de coordenadas en física : la derivada covariante se transforma covariantemente bajo una transformación de coordenadas general, es decir, linealmente a través de la matriz jacobiana de la transformación. ^[1]

Este artículo presenta una introducción a la derivada covariante de un campo vectorial con respecto a un campo vectorial, tanto en un lenguaje libre de coordenadas como utilizando un sistema de coordenadas local y la notación de índice tradicional. La derivada covariante de un campo tensor se presenta como una extensión del mismo concepto. La derivada covariante se generaliza directamente a una noción de diferenciación asociada a una conexión en un haz de vectores , también conocida como conexión de Koszul .

Historia

Históricamente, a principios del siglo XX, la derivada covariante fue introducida por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita en la teoría de la geometría riemanniana y pseudoriemanniana . ^[2] Ricci y Levi-Civita (siguiendo las ideas de Elwin Bruno Christoffel ) observaron que los símbolos de Christoffel utilizados para definir la curvatura también podrían proporcionar una noción de diferenciación que generalizara la derivada direccional clásica de campos vectoriales en una variedad. ^{[3] [4]} Esta nueva derivada, la conexión Levi-Civita , era covariante en el sentido de que satisfacía el requisito de Riemann de que los objetos en geometría deberían ser independientes de su descripción en un sistema de coordenadas particular.

Pronto otros matemáticos, entre los que se destacan Hermann Weyl , Jan Arnoldus Schouten y Élie Cartan , ^[5] notaron que una derivada covariante podía definirse de manera abstracta sin la presencia de una métrica . La característica crucial no fue una dependencia particular de la métrica, sino que los símbolos de Christoffel cumplían una cierta ley precisa de transformación de segundo orden. Esta ley de transformación podría servir como punto de partida para definir la derivada de forma covariante. Así, la teoría de la diferenciación covariante se separó del contexto estrictamente riemanniano para incluir una gama más amplia de geometrías posibles.

En la década de 1940, los practicantes de la geometría diferencial comenzaron a introducir otras nociones de diferenciación covariante en paquetes de vectores generales que, a diferencia de los paquetes clásicos de interés para los geómetras, no formaban parte del análisis tensorial de la variedad. En general, estas derivadas covariantes generalizadas tuvieron que ser especificadas ad hoc mediante alguna versión del concepto de conexión. En 1950, Jean-Louis Koszul unificó estas nuevas ideas de diferenciación covariante en un fibrado vectorial mediante lo que hoy se conoce como conexión de Koszul o conexión sobre un fibrado vectorial. ^[6] Utilizando ideas de la cohomología del álgebra de Lie , Koszul convirtió con éxito muchas de las características analíticas de la diferenciación covariante en características algebraicas. En particular, las conexiones de Koszul eliminaron la necesidad de manipulaciones incómodas de los símbolos de Christoffel (y otros objetos no tensoriales análogos ) en geometría diferencial. Así, rápidamente suplantaron la noción clásica de derivada covariante en muchos tratamientos del tema posteriores a 1950.

Motivación

La derivada covariante es una generalización de la derivada direccional del cálculo vectorial . Al igual que con la derivada direccional, la derivada covariante es una regla, que toma como entradas: (1) un vector, u , definido en un punto P , y (2) un campo vectorial v definido en una vecindad de P. ^[7] La ​​salida es el vector , también en el punto P . La principal diferencia con la derivada direccional habitual es que debe, en cierto sentido preciso, ser independiente de la manera en que se expresa en un sistema de coordenadas . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}$

Un vector puede describirse como una lista de números en términos de una base , pero como objeto geométrico el vector conserva su identidad independientemente de cómo se describa. Para un vector geométrico escrito en componentes con respecto a una base, cuando se cambia la base, los componentes se transforman de acuerdo con una fórmula de cambio de base , y las coordenadas sufren una transformación covariante . La derivada covariante debe transformarse, ante un cambio de coordenadas, mediante una transformación covariante de la misma manera que lo hace una base (de ahí el nombre).

En el caso del espacio euclidiano , normalmente se define la derivada direccional de un campo vectorial en términos de la diferencia entre dos vectores en dos puntos cercanos. En tal sistema uno traslada uno de los vectores al origen del otro, manteniéndolo paralelo y luego tomando su diferencia dentro del mismo espacio vectorial. Con un sistema de coordenadas cartesiano ( ortonormal fijo ), "mantenerlo paralelo" equivale a mantener constantes los componentes. Esta derivada direccional ordinaria en el espacio euclidiano es el primer ejemplo de derivada covariante.

A continuación, hay que tener en cuenta los cambios del sistema de coordenadas. Por ejemplo, si el plano euclidiano se describe mediante coordenadas polares, "mantenerlo paralelo" no equivale a mantener constantes los componentes polares bajo traslación, ya que la propia cuadrícula de coordenadas "gira". Por lo tanto, la misma derivada covariante escrita en coordenadas polares contiene términos adicionales que describen cómo gira la cuadrícula de coordenadas, o cómo, en coordenadas más generales, la cuadrícula se expande, contrae, gira, se entrelaza, etc.

Considere el ejemplo de una partícula que se mueve a lo largo de una curva γ ( t ) en el plano euclidiano. En coordenadas polares, γ puede escribirse en términos de sus coordenadas radiales y angulares por γ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t )) . Un vector en un tiempo particular t ^[8] (por ejemplo, una aceleración constante de la partícula) se expresa en términos de , donde y son vectores unitarios tangentes para las coordenadas polares, que sirven como base para descomponer un vector en términos de radiales. y componentes tangenciales . Un poco más tarde, la nueva base en coordenadas polares aparece ligeramente rotada con respecto al primer conjunto. La derivada covariante de los vectores base (los símbolos de Christoffel ) sirven para expresar este cambio. ${\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }}$

En un espacio curvo, como la superficie de la Tierra (considerada como una esfera), la traslación de vectores tangentes entre diferentes puntos no está bien definida, y su transporte analógico, paralelo , depende del camino por el que se traslada el vector. Un vector de un globo situado en el ecuador en el punto Q está dirigido hacia el norte. Supongamos que transportamos el vector (manteniéndolo paralelo) primero a lo largo del ecuador hasta el punto P, luego lo arrastramos a lo largo de un meridiano hasta el polo N y finalmente lo transportamos a lo largo de otro meridiano de regreso a Q. Luego notamos que el vector transportado en paralelo a lo largo de un circuito cerrado no regresa como el mismo vector; en cambio, tiene otra orientación. Esto no sucedería en el espacio euclidiano y se debe a la curvatura de la superficie del globo. El mismo efecto ocurre si arrastramos el vector a lo largo de una superficie cerrada infinitamente pequeña, luego en dos direcciones y luego de regreso. Este cambio infinitesimal del vector es una medida de la curvatura y puede definirse en términos de la derivada covariante.

Observaciones

• La definición de derivada covariante no utiliza la métrica en el espacio. Sin embargo, para cada métrica existe una derivada covariante libre de torsión única llamada conexión de Levi-Civita, tal que la derivada covariante de la métrica es cero.
• Las propiedades de una derivada implican que depende de los valores de u en una vecindad arbitrariamente pequeña de un punto p de la misma manera que, por ejemplo, la derivada de una función escalar f a lo largo de una curva en un punto p dado depende de los valores de f en una vecindad arbitrariamente pequeña de p . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }$
• La información sobre la vecindad de un punto p en la derivada covariante se puede utilizar para definir el transporte paralelo de un vector. Además, la curvatura , la torsión y las geodésicas pueden definirse sólo en términos de la derivada covariante u otra variación relacionada de la idea de una conexión lineal .

Definición informal utilizando una incrustación en el espacio euclidiano

Supongamos que un subconjunto abierto de una variedad de Riemann de dimensión está incrustado en el espacio euclidiano a través de un mapeo dos veces continuamente diferenciable (C ² ) de modo que el espacio tangente en está atravesado por los vectores ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle {\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\vec {\Psi }}(p)}$

$${\displaystyle \left\{\left.{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}}\right|_{p}:i\in \{1,\dots ,d\}\right\}}$$

M ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right\rangle .}$$

(Dado que siempre se supone que la métrica múltiple es regular, la condición de compatibilidad implica independencia lineal de los vectores tangentes de derivada parcial).

Para un campo vectorial tangente, se tiene ${\displaystyle {\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right)={\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}+v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}.}$$

El último término no es tangencial a M , pero se puede expresar como una combinación lineal de los vectores base del espacio tangente usando los símbolos de Christoffel como factores lineales más un vector ortogonal al espacio tangente:

$${\displaystyle v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}}.}$$

En el caso de la conexión Levi-Civita , la derivada covariante , también escrita , se define como la proyección ortogonal de la derivada habitual sobre el espacio tangente: ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}{\vec {V}}}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}:={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}-{\vec {n}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{i}}}+v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}.}$$

Para obtener la relación entre los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita y la métrica, primero debemos tener en cuenta que, como en la ecuación anterior es ortogonal al espacio tangente: ${\displaystyle {\vec {n}}}$

$${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle ={\Gamma ^{k}}_{ij}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle ={\Gamma ^{k}}_{ij}\,g_{kl}.}$$

En segundo lugar, la derivada parcial de un componente de la métrica es:

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}={\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{b}}}\right\rangle }$$

implica para una base , usando la simetría del producto escalar e intercambiando el orden de derivación parcial: ${\displaystyle x^{i},x^{j},x^{k}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}\\{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}\\{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}\right\rangle \\\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\,\partial x^{i}}}\right\rangle \\\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle \end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=2\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle }$$

y produce los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita en términos de métrica:

$${\displaystyle g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}$$

Para ver un ejemplo muy sencillo que capta la esencia de la descripción anterior, dibuje un círculo en una hoja de papel plana. Viaja alrededor del círculo a una velocidad constante. La derivada de tu velocidad, tu vector de aceleración, siempre apunta radialmente hacia adentro. Enrolle esta hoja de papel hasta formar un cilindro. Ahora, la derivada (euclidiana) de tu velocidad tiene un componente que a veces apunta hacia adentro, hacia el eje del cilindro, dependiendo de si estás cerca de un solsticio o de un equinoccio. (En el punto del círculo cuando te mueves paralelo al eje, no hay aceleración hacia adentro. Por el contrario, en un punto (1/4 de círculo más tarde) cuando la velocidad está a lo largo de la curvatura del cilindro, la aceleración hacia adentro es máxima. .) Este es el componente normal (euclidiano). El componente derivado covariante es el componente paralelo a la superficie del cilindro y es el mismo que antes de enrollar la hoja en un cilindro.

Definicion formal

Una derivada covariante es una conexión (Koszul) en el paquete tangente y otros paquetes tensoriales : diferencia campos vectoriales de una manera análoga a la diferencial habitual en funciones. La definición se extiende a una diferenciación en el dual de campos vectoriales (es decir, campos covectores ) y campos tensoriales arbitrarios , de una manera única que garantiza la compatibilidad con el producto tensorial y las operaciones de traza (contracción tensorial).

Funciones

Dado un punto de la variedad , una función real sobre la variedad y un vector tangente , la derivada covariante de f en p a lo largo de v es el escalar en p , denotado , que representa la parte principal del cambio en el valor de f cuando la variedad El argumento de f es cambiado por el vector de desplazamiento infinitesimal v . (Este es el diferencial de f evaluado contra el vector v .) Formalmente, existe una curva diferenciable tal que y , y la derivada covariante de f en p está definida por ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in T_{p}M}$ ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}}$ ${\displaystyle \phi :[-1,1]\to M}$ ${\displaystyle \phi (0)=p}$ ${\displaystyle \phi '(0)=\mathbf {v} }$

$${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}=\left(f\circ \phi \right)'\left(0\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\phi \left(t\right))-f(p)}{t}}.}$$

Cuando un campo vectorial está activado , la derivada covariante es la función que asocia cada punto p en el dominio común de f y v del escalar . ${\displaystyle \mathbf {v} :M\to T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}}$

Para una función escalar f y campo vectorial v , la derivada covariante coincide con la derivada de Lie , y con la derivada exterior . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$ ${\displaystyle L_{v}(f)}$ ${\displaystyle df(v)}$

Campos vectoriales

Dado un punto de la variedad , un campo vectorial definido en una vecindad de p y un vector tangente , la derivada covariante de u en p a lo largo de v es el vector tangente en p , denotado , tal que se cumplen las siguientes propiedades (para cualquier vector tangente v , x e y en p , campos vectoriales u y w definidos en una vecindad de p , valores escalares g y h en p , y función escalar f definida en una vecindad de p ): ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {u} :M\to T_{p}M}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in T_{p}M}$ ${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}}$

1. ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}$es lineal en modo ${\displaystyle \mathbf {v} }$
   $${\displaystyle \left(\nabla _{g\mathbf {x} +h\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}=g(p)\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)_{p}+h(p)\left(\nabla _{\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}}$$
2. ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}$es aditivo en así: ${\displaystyle \mathbf {u} }$
   $${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[\mathbf {u} +\mathbf {w} \right]\right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}+\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {w} \right)_{p}}$$
3. ${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}}$obedece la regla del producto ; es decir, donde se define arriba, ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$
   $${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[f\mathbf {u} \right]\right)_{p}=f(p)\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}\mathbf {u} _{p}.}$$

Tenga en cuenta que depende no sólo del valor de u en p sino también de los valores de u en una vecindad infinitesimal de p debido a la última propiedad, la regla del producto. ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}$

Si u y v son ambos campos vectoriales definidos sobre un dominio común, entonces denota el campo vectorial cuyo valor en cada punto p del dominio es el vector tangente . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}$

Campos covectores

Dado un campo de covectores (o una forma ) definido en una vecindad de p , su derivada covariante se define de manera que la operación resultante sea compatible con la contracción tensorial y la regla del producto. Es decir, se define como la única forma en p tal que se satisface la siguiente identidad para todos los campos vectoriales u en una vecindad de p ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}}$ ${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}}$

$${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u} _{p}\right)=\nabla _{\mathbf {v} }\left[\alpha \left(\mathbf {u} \right)\right]_{p}-\alpha _{p}\left[\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}\right].}$$

La derivada covariante de un campo covector a lo largo de un campo vectorial v es nuevamente un campo covector.

Campos tensoriales

Una vez definida la derivada covariante para campos de vectores y covectores, se puede definir para campos tensoriales arbitrarios imponiendo las siguientes identidades para cada par de campos tensoriales y en una vecindad del punto p : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\left(\varphi \otimes \psi \right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi \right)_{p}\otimes \psi (p)+\varphi (p)\otimes \left(\nabla _{\mathbf {v} }\psi \right)_{p},}$$

${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )_{p}=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }\psi )_{p}.}$$

v

Explícitamente, sea T un campo tensorial de tipo ( p , q ) . Considere T como un mapa multilineal diferenciable de secciones suaves α ¹ , α ² , ..., α ^q del paquete cotangente T ^∗ M y de secciones X ₁ , X ₂ , ..., X _p del paquete tangente TM , escrito T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) en R . La derivada covariante de T a lo largo de Y viene dada por la fórmula

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla _{Y}T)\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)=&{}\nabla _{Y}\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)\right)\\&{}-T\left(\nabla _{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\nabla _{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\cdots \\&{}-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\nabla _{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},\nabla _{Y}X_{2},\ldots \right)-\cdots \end{aligned}}}$$

Descripción de coordenadas

Funciones de coordenadas dadas

$${\displaystyle x^{i},\ i=0,1,2,\dots ,}$$

vector tangente

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.}$$

La derivada covariante de un vector base a lo largo de un vector base es nuevamente un vector y, por lo tanto, puede expresarse como una combinación lineal . Para especificar la derivada covariante es suficiente especificar la derivada covariante de cada campo vectorial base a lo largo de . ${\displaystyle \Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k},}$$

los coeficientes son los componentes de la conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales. En la teoría de las variedades riemannianas y pseudoriemannianas, los componentes de la conexión Levi-Civita con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$

Luego, usando las reglas de la definición, encontramos que para campos vectoriales generales y obtenemos ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} &=\nabla _{v^{j}\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}u^{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}+v^{j}\mathbf {e} _{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\\&=v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}+v^{j}{\partial u^{i} \over \partial x^{j}}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}}$$

entonces

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} =\left(v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j}{\partial u^{k} \over \partial x^{j}}\right)\mathbf {e} _{k}.}$$

El primer término de esta fórmula se encarga de "torcer" el sistema de coordenadas con respecto a la derivada covariante y el segundo de los cambios de componentes del campo vectorial u . En particular

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {u} =\nabla _{j}\mathbf {u} =\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}\right)\mathbf {e} _{i}}$$

En palabras: la derivada covariante es la derivada habitual a lo largo de las coordenadas con términos de corrección que indican cómo cambian las coordenadas.

Para covectores de manera similar tenemos

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}{\mathbf {\theta } }=\left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial x^{j}}}-\theta _{k}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\mathbf {e} ^{*}}^{i}}$$

dónde . ${\displaystyle {\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}}$

La derivada covariante de un campo tensorial de tipo ( r , s ) viene dada por la expresión: ${\displaystyle e_{c}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{(\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+\,{\Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\cdots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&-\,{\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{db_{2}\ldots b_{s}}-\cdots -{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d}.\end{aligned}}}$$

O, en palabras: toma la derivada parcial del tensor y suma: para cada índice superior y para cada índice inferior . ${\displaystyle +{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

Si en lugar de un tensor se intenta diferenciar una densidad tensor (de peso +1), entonces también se añade un término

$${\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.}$$

,W. ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$

$${\displaystyle \left({\sqrt {-g}}\right)_{;c}=\left({\sqrt {-g}}\right)_{,c}-{\sqrt {-g}}\,{\Gamma ^{d}}_{dc}}$$

donde punto y coma ";" indica diferenciación covariante y coma "," indica diferenciación parcial. Por cierto, esta expresión particular es igual a cero, porque la derivada covariante de una función únicamente de la métrica es siempre cero.

Notación

En los libros de texto de física, la derivada covariante a veces se expresa simplemente en términos de sus componentes en esta ecuación.

A menudo se utiliza una notación en la que la derivada covariante se indica con punto y coma , mientras que una derivada parcial normal se indica con una coma . En esta notación escribimos lo mismo que:

$${\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;j}\mathbf {e} _{s}\;\;\;\;\;\;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}}$$

$${\displaystyle \nabla _{e_{k}}\left(\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;jk}\mathbf {e} _{s}}$$

En algunos textos más antiguos (en particular, Adler, Bazin y Schiffer, Introducción a la relatividad general ), la derivada covariante se denota por una tubería doble y la derivada parcial por una tubería única:

$${\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{i}}_{||j}={v^{i}}_{|j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}}$$

Derivada covariante por tipo de campo

Para un campo escalar , la diferenciación covariante es simplemente una diferenciación parcial: ${\displaystyle \phi \,}$

$${\displaystyle \phi _{;a}\equiv \partial _{a}\phi }$$

Para un campo vectorial contravariante , tenemos: ${\displaystyle \lambda ^{a}}$

$${\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;b}\equiv \partial _{b}\lambda ^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\lambda ^{c}}$$

Para un campo vectorial covariante , tenemos: ${\displaystyle \lambda _{a}}$

$${\displaystyle \lambda _{a;c}\equiv \partial _{c}\lambda _{a}-{\Gamma ^{b}}_{ca}\lambda _{b}}$$

Para un campo tensor de tipo (2,0) , tenemos: ${\displaystyle \tau ^{ab}}$

$${\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \partial _{c}\tau ^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{cd}\tau ^{db}+{\Gamma ^{b}}_{cd}\tau ^{ad}}$$

Para un campo tensor de tipo (0,2) , tenemos: ${\displaystyle \tau _{ab}}$

$${\displaystyle \tau _{ab;c}\equiv \partial _{c}\tau _{ab}-{\Gamma ^{d}}_{ca}\tau _{db}-{\Gamma ^{d}}_{cb}\tau _{ad}}$$

Para un campo tensor de tipo (1,1) , tenemos: ${\displaystyle {\tau ^{a}}_{b}}$

$${\displaystyle {\tau ^{a}}_{b;c}\equiv \partial _{c}{\tau ^{a}}_{b}+{\Gamma ^{a}}_{cd}{\tau ^{d}}_{b}-{\Gamma ^{d}}_{cb}{\tau ^{a}}_{d}}$$

La notación anterior tiene el sentido

$${\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \left(\nabla _{\mathbf {e} _{c}}\tau \right)^{ab}}$$

Propiedades

En general, las derivadas covariantes no conmutan. Por ejemplo, las derivadas covariantes del campo vectorial . El tensor de Riemann se define tal que: ${\displaystyle \lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}}$ ${\displaystyle {R^{d}}_{abc}}$

$${\displaystyle \lambda _{a;bc}-\lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}\lambda _{d}}$$

o equivalente,

$${\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;bc}-{\lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}\lambda ^{d}}$$

La derivada covariante de un campo tensor (2,0) cumple:

$${\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;cd}-{\tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}\tau ^{eb}-{R^{b}}_{ecd}\tau ^{ae}}$$

Esto último puede demostrarse tomando (sin pérdida de generalidad) que . ${\displaystyle \tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}}$

Derivada a lo largo de una curva

Dado que la derivada covariante de un campo tensorial en un punto depende sólo del valor del campo vectorial en uno, se puede definir la derivada covariante a lo largo de una curva suave en una variedad: ${\displaystyle \nabla _{X}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

$${\displaystyle D_{t}T=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T.}$$

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

En particular, es un campo vectorial a lo largo de la propia curva. Si desaparece, entonces la curva se llama geodésica de la derivada covariante. Si la derivada covariante es la conexión Levi-Civita de una métrica definida positiva, entonces las geodésicas para la conexión son precisamente las geodésicas de la métrica que están parametrizadas por la longitud del arco . ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$

La derivada a lo largo de una curva también se utiliza para definir el transporte paralelo a lo largo de la curva.

En ocasiones, la derivada covariante a lo largo de una curva se denomina derivada absoluta o intrínseca .

Relación con la derivada de mentira

Una derivada covariante introduce una estructura geométrica adicional en una variedad que permite comparar vectores en espacios tangentes vecinos: no existe una forma canónica de comparar vectores de diferentes espacios tangentes porque no existe un sistema de coordenadas canónico.

Sin embargo, existe otra generalización de las derivadas direccionales que es canónica: la derivada de Lie , que evalúa el cambio de un campo vectorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial. Por lo tanto, se deben conocer ambos campos vectoriales en una vecindad abierta, no simplemente en un solo punto. La derivada covariante, por otro lado, introduce su propio cambio para los vectores en una dirección dada, y solo depende de la dirección del vector en un único punto, en lugar de un campo vectorial en una vecindad abierta de un punto. En otras palabras, la derivada covariante es lineal (sobre C ^∞ ( M ) ) en el argumento de dirección, mientras que la derivada de Lie no es lineal en ninguno de los argumentos.

Tenga en cuenta que la derivada covariante antisimetrizada ∇ _u v − ∇ _v u y la derivada de Lie L _u v difieren por la torsión de la conexión , de modo que si una conexión está libre de torsión, entonces su antisimetrización es la derivada de Lie.

Ver también

• conexión afín
• Símbolos de Christoffel
• Conexión (marco algebraico)
• Conexión (matemáticas)
• Conexión (paquete de vectores)
• Formulario de conexión
• Derivada covariante exterior
• Derivada covariante de calibre
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
• Conexión Levi-Civita
• Transporte paralelo
• cálculo de ricci
• Derivada tensorial (mecánica continua)
• Lista de fórmulas en geometría de Riemann

Notas

1. Einstein, Alberto (1922). "La Teoría General de la Relatividad". El significado de la relatividad.
2. Ricci, G.; Levi-Civita, T. (1901). "Métodos de cálculo diferencial absoluto y aplicaciones de lecturas". Annalen Matemáticas . 54 (1–2): 125–201. doi :10.1007/bf01454201. S2CID  120009332.
3. Riemann, GFB (1866). "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Gesammelte Mathematische Werke .; reimpresión, ed. Weber, H. (1953), Nueva York: Dover.
4. Christoffel, EB (1869). "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 70 : 46–70.
5. cf. con Cartan, É (1923). "Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée". Annales, Escuela Normal . 40 : 325–412. doi : 10.24033/asens.751 .
6. Koszul, JL (1950). "Homología y cohomología de los álgebres de mentira". Boletín de la Sociedad Matemática . 78 : 65-127. doi : 10.24033/bsmf.1410 .
7. La derivada covariante también se denota de diversas formas mediante _v u , D _v u u otras notaciones. ${\displaystyle \partial }$
8. En muchas aplicaciones, puede ser mejor no pensar en t como correspondiente al tiempo, al menos para aplicaciones en relatividad general . Simplemente se lo considera como un parámetro abstracto que varía suave y monótonamente a lo largo del camino.

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 1 (Nueva edición). Wiley Interciencia . ISBN 0-471-15733-3.
• I.kh. Sabitov (2001) [1994], "Diferenciación covariante", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sternberg, Shlomo (1964). Conferencias sobre Geometría Diferencial . Prentice Hall.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (volumen dos) . Publicar o perecer, Inc.