Representación adjunta

término matemático

En matemáticas , la representación adjunta (o acción adjunta ) de un grupo de Lie G es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo , considerado como un espacio vectorial . Por ejemplo, si G es el grupo de Lie de matrices invertibles reales de n por n , entonces la representación adjunta es el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible de n por n a un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de definido por: . ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de G sobre sí mismo mediante conjugación . La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios .

Definición

Sea G un grupo de Lie y sea

${\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$

sea ​​el mapeo g ↦ Ψ _g , con Aut( G ) el grupo de automorfismo de G y Ψ _g : G → G dado por el automorfismo interno (conjugación)

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}$

Este Ψ es un homomorfismo de grupo de Lie .

Para cada g en G , defina Ad _g como la derivada de Ψ _g en el origen:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

donde d es el diferencial y es el espacio tangente en el origen e ( siendo e el elemento identidad del grupo G ). Dado que es un automorfismo de grupo de Lie, Ad _g es un automorfismo de álgebra de Lie ; es decir, una transformación lineal invertible de sí mismo que conserva el corchete de Lie . Además, como es un homomorfismo de grupo, también lo es. ^[1] Por lo tanto, el mapa ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$ ${\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}$

es una representación de grupo llamada representación adjunta de G .

Si G es un subgrupo de Lie inmerso del grupo lineal general (llamado grupo de Lie inmerso lineal), entonces el álgebra de Lie consta de matrices y el mapa exponencial es la matriz exponencial para matrices X con normas de operador pequeñas. Calcularemos la derivada de at . Para g en G y X pequeño en , la curva tiene derivada en t = 0, entonces se obtiene: ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\to \exp(tX)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}$

donde a la derecha tenemos los productos de matrices. Si es un subgrupo cerrado (es decir, G es un grupo matricial de Lie), entonces esta fórmula es válida para todo g en G y todo X en . ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sucintamente, una representación adjunta es una representación de isotropía asociada a la acción de conjugación de G alrededor del elemento identidad de G.

Derivado de anuncio

Siempre se puede pasar de una representación de un grupo de Lie G a una representación de su álgebra de Lie tomando la derivada en la identidad.

Tomando la derivada del mapa adjunto

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

en el elemento identidad da la representación adjunta del álgebra de Lie de G : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}}$

¿Dónde está el álgebra de Lie que puede identificarse con el álgebra de derivación de ? Uno puede demostrar que ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}$

para todos , donde el lado derecho está dado (inducido) por el corchete de Lie de los campos vectoriales . De hecho, ^[2] recuerda que, visto como el álgebra de Lie de campos vectoriales invariantes a la izquierda en G , el corchete en se da como: ^[3] para campos vectoriales invariantes a la izquierda X , Y , ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}$

donde denota el flujo generado por X . Resulta que, aproximadamente, porque ambos lados satisfacen la misma EDO que define el flujo. Es decir, donde denota la multiplicación correcta por . Por otro lado, dado que , por la regla de la cadena , ${\displaystyle \varphi _{t}:G\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}$ ${\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}$ ${\displaystyle R_{h}}$ ${\displaystyle h\in G}$ ${\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)}$

ya que Y es invariante a la izquierda. Por eso,

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}$,

que es lo que había que mostrar.

Por tanto, coincide con el mismo definido en el § Representación adjunta de un álgebra de Lie a continuación. Ad y ad están relacionados a través del mapa exponencial : específicamente, Ad _{exp( x )} = exp(ad _x ) para todo x en el álgebra de Lie. ^[4] Es una consecuencia del resultado general que relaciona los homomorfismos del grupo de Lie y del álgebra de Lie a través del mapa exponencial. ^[5] ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$

Si G es un grupo de Lie inmersamente lineal, entonces el cálculo anterior se simplifica: de hecho, como se señaló anteriormente, y por lo tanto con , ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}}$ ${\displaystyle g=e^{tX}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}}$.

Tomando la derivada de esto en , tenemos: ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}$.

El caso general también se puede deducir del caso lineal: de hecho, sea un grupo de Lie inmersamente lineal que tenga el mismo álgebra de Lie que el de G. Entonces la derivada de Ad en el elemento identidad para G y el de G ' coinciden; por tanto, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que G es G ' . ${\displaystyle G'}$

La notación mayúscula/minúscula se utiliza ampliamente en la literatura. Así, por ejemplo, un vector x en el álgebra genera un campo vectorial X en el grupo G. De manera similar, el mapa adjunto ad _x y = [ x , y ] de vectores en es homomórfico ^{[ aclaración necesaria ]} a la derivada de Lie L _X Y = [ X , Y ] de campos vectoriales en el grupo G considerado como una variedad . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Véase más adelante la derivada del mapa exponencial .

Representación adjunta de un álgebra de Lie

Sea un álgebra de Lie sobre algún campo. Dado un elemento x de un álgebra de Lie , se define la acción adjunta de x en como el mapa ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

para todos y en . Se llama endomorfismo adjunto o acción adjunta . ( también suele denotarse como ). Dado que un corchete es bilineal, esto determina el mapeo lineal ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}$

dado por x ↦ anuncio _x . Dentro de End , el corchete viene, por definición, dado por el conmutador de los dos operadores: ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}$

donde denota la composición de mapas lineales. Usando la definición anterior del paréntesis, la identidad de Jacobi ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

toma la forma

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

donde x , y y z son elementos arbitrarios de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Esta última identidad dice que ad es un homomorfismo del álgebra de Lie; es decir, un mapeo lineal que lleva paréntesis a paréntesis. Por lo tanto, ad es una representación de un álgebra de Lie y se denomina representación adjunta del álgebra . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si es de dimensión finita y se elige una base para ello, entonces es el álgebra de Lie de matrices cuadradas y la composición corresponde a la multiplicación de matrices . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

En un lenguaje más teórico de módulos, la construcción dice que es un módulo sobre sí mismo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El núcleo del anuncio es el centro de (eso es simplemente reformular la definición). Por otro lado, para cada elemento z en , la aplicación lineal obedece a la ley de Leibniz : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}$

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

para todo x e y en el álgebra (la reformulación de la identidad de Jacobi). Es decir, ad _z es una derivación y la imagen de bajo ad es una subálgebra de Der , el espacio de todas las derivaciones de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Cuando es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G , ad es el diferencial de Ad en el elemento identidad de G. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

Existe la siguiente fórmula similar a la fórmula de Leibniz : para escalares y elementos del álgebra de Lie , ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}$

Constantes de estructura

Los elementos matriciales explícitos de la representación adjunta están dados por las constantes de estructura del álgebra. Es decir, sea {e ⁱ } un conjunto de vectores base para el álgebra, con

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

Entonces los elementos de la matriz para ad _{e ⁱ} están dados por

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}$

Así, por ejemplo, la representación adjunta de su(2) es la representación definitoria de so(3) .

Ejemplos

• Si G es abeliano de dimensión n , la representación adjunta de G es la representación trivial n -dimensional.
• Si G es un grupo de Lie matricial (es decir, un subgrupo cerrado de ), entonces su álgebra de Lie es un álgebra de matrices n × n con el conmutador para un corchete de Lie (es decir, una subálgebra de ). En este caso, el mapa adjunto viene dado por Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹ . ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$
• Si G es SL(2, R ) (matrices reales de 2×2 con determinante 1), el álgebra de Lie de G consta de matrices reales de 2×2 con traza 0. La representación es equivalente a la dada por la acción de G por lineal sustitución en el espacio de formas cuadráticas binarias (es decir, 2 variables) .

Propiedades

La siguiente tabla resume las propiedades de los distintos mapas mencionados en la definición.

La imagen de G bajo la representación adjunta se denota por Ad( G ). Si G es conexo , el núcleo de la representación adjunta coincide con el núcleo de Ψ que es justo el centro de G. Por lo tanto, la representación adjunta de un grupo de Lie conectado G es fiel si y sólo si G no tiene centros. De manera más general, si G no es conexo, entonces el núcleo del mapa adjunto es el centralizador del componente de identidad G ₀ de G . Por el primer teorema del isomorfismo tenemos

${\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

Dada un álgebra de Lie real de dimensión finita , según el tercer teorema de Lie , existe un grupo de Lie conexo cuyo álgebra de Lie es la imagen de la representación adjunta de (es decir, ). Se llama grupo adjunto de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ahora, si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie conexo G , entonces es la imagen de la representación adjunta de G :. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$

Raíces de un grupo de Lie semisimple

Si G es semisimple , los pesos distintos de cero de la representación adjunta forman un sistema de raíces . ^[6] (En general, es necesario pasar a la complejización del álgebra de Lie antes de continuar). Para ver cómo funciona esto, considere el caso G = SL( n , R ). Podemos tomar el grupo de matrices diagonales diag( t ₁ , ...,  t _n ) como nuestro toro máximo T . Conjugación por un elemento de T envía

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$

Por tanto, T actúa trivialmente sobre la parte diagonal del álgebra de Lie de G y con vectores propios t _i t _j ⁻¹ sobre las diversas entradas fuera de la diagonal. Las raíces de G son los pesos diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j ⁻¹ . Esto explica la descripción estándar del sistema de raíces de G  = SL _n ( R ) como el conjunto de vectores de la forma e _i − e _j .

Ejemplo SL(2, R)

Al calcular el sistema de raíces para uno de los casos más simples de grupos de Lie, el grupo SL(2, R ) de matrices bidimensionales con determinante 1 consta del conjunto de matrices de la forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$

con a , b , c , d real y ad  −  bc  = 1.

Un subgrupo de Lie abeliano conectado compacto máximo, o toro máximo T , viene dado por el subconjunto de todas las matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}$

con . El álgebra de Lie del toro máximo es la subálgebra de Cartan que consta de las matrices ${\displaystyle t_{1}t_{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}$

Si conjugamos un elemento de SL(2, R ) por un elemento del toro máximo obtenemos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}}$

las matrices

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

son entonces 'vectores propios' de la operación de conjugación con valores propios . La función Λ que da es un carácter multiplicativo u homomorfismo del toro del grupo al campo subyacente R. La función λ que da θ es un peso del álgebra de Lie con un espacio de peso dado por el intervalo de las matrices. ${\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}}$ ${\displaystyle t_{1}^{2}}$

Es satisfactorio mostrar la multiplicatividad del carácter y la linealidad del peso. Además, se puede demostrar que el diferencial de Λ se puede utilizar para crear un peso. También es educativo considerar el caso de SL(3, R ).

Variantes y análogos.

La representación adjunta también se puede definir para grupos algebraicos en cualquier campo. ^{[ se necesita aclaración ]}

La representación coadjunta es la representación contragrediente de la representación adjunta. Alexandre Kirillov observó que la órbita de cualquier vector en una representación coadjunta es una variedad simpléctica . Según la filosofía de la teoría de la representación conocida como método de la órbita (ver también la fórmula de los caracteres de Kirillov ), las representaciones irreductibles de un grupo de Lie G deben indexarse ​​de alguna manera por sus órbitas coadjuntas. Esta relación es más estrecha en el caso de grupos de Lie nilpotentes .

Ver también

• Paquete adjunto  : paquete de álgebra de Lie asociado a cualquier paquete principal mediante la representación adjuntaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. De hecho, según la regla de la cadena , ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.}$
2. Kobayashi y Nomizu 1996, página 41
3. Kobayashi y Nomizu 1996, Proposición 1.9.
4. Propuesta 3.35 del Salón 2015
5. Teorema 3.28 de Hall 2015
6. Salón 2015 Sección 7.3

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 1 (Nueva edición). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.