Clasificación de Wigner

Clasificación de las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré

En matemáticas y física teórica , la clasificación de Wigner es una clasificación de las representaciones unitarias irreducibles de energía no negativa del grupo de Poincaré que tienen valores propios de masa finitos o nulos . (Estas representaciones unitarias son de dimensión infinita; el grupo no es semisimple y no satisface el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa ). Fue introducida por Eugene Wigner para clasificar partículas y campos en física (consulte el artículo física de partículas y teoría de la representación ) . Se basa en los subgrupos estabilizadores de ese grupo, denominados pequeños grupos de Wigner de varios estados de masa. ${\displaystyle ~(~E\geq 0~)~}$

Los invariantes de Casimir del grupo de Poincaré son ( notación de Einstein ) donde P es el operador de momento 4 y donde W es el pseudovector de Pauli–Lubanski . Los valores propios de estos operadores sirven para etiquetar las representaciones. El primero está asociado con la masa al cuadrado y el segundo con la helicidad o el espín . ${\displaystyle ~C_{1}=P^{\mu }\,P_{\mu }~,}$ ${\displaystyle ~C_{2}=W^{\alpha }\,W_{\alpha }~,}$

Las representaciones físicamente relevantes pueden clasificarse, por tanto, según sean:

• ${\displaystyle ~m>0~;}$
• ${\displaystyle ~m=0~}$pero o si ${\displaystyle ~P_{0}>0~;\quad }$
• ${\displaystyle ~m=0~}$con ${\displaystyle ~P^{\mu }=0~,{\text{ for }}\mu =0,1,2,3~.}$

Wigner descubrió que las partículas sin masa son fundamentalmente diferentes de las partículas masivas.

Para el primer caso

Nótese que el espacio propio (ver espacios propios generalizados de operadores ilimitados ) asociado con es una representación de SO(3) . ${\displaystyle ~P=(m,0,0,0)~}$

En la interpretación de rayos , se puede recurrir a Spin(3) . Por lo tanto, los estados masivos se clasifican mediante una representación unitaria irreducible Spin(3) que caracteriza su espín y una masa positiva, m .

Para el segundo caso

Mira el estabilizador de

${\displaystyle ~P=(k,0,0,-k)~.}$

Esta es la doble cobertura de SE(2) (ver representación proyectiva ). Tenemos dos casos, uno donde las irreps se describen por un múltiplo entero de ⁠1/2⁠ llamada helicidad , y la otra llamada representación de "espín continuo".

Para el tercer caso

La única solución unitaria de dimensión finita es la representación trivial llamada vacío .

Campos escalares masivos

A modo de ejemplo, visualicemos la representación unitaria irreducible con y Corresponde al espacio de campos escalares masivos . ${\displaystyle ~m>0~,}$ ${\displaystyle ~s=0~.}$

Sea M la lámina hiperboloide definida por:

${\displaystyle ~P_{0}^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$ ${\displaystyle ~P_{0}>0~.}$

La métrica de Minkowski se restringe a una métrica de Riemann sobre M , dando a M la estructura métrica de un espacio hiperbólico , en particular es el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico, véase la geometría del espacio de Minkowski para la prueba. El grupo de Poincaré P actúa sobre M porque (olvidando la acción del subgrupo de traslación ℝ ⁴ con adición dentro de P ) preserva el producto interno de Minkowski , y un elemento x del subgrupo de traslación ℝ ⁴ del grupo de Poincaré actúa sobre mediante la multiplicación por multiplicadores de fase adecuados donde Estas dos acciones se pueden combinar de una manera inteligente utilizando representaciones inducidas para obtener una acción de P actuando sobre que combina movimientos de M y multiplicación de fase. ${\displaystyle ~L^{2}(M)~}$ ${\displaystyle ~\exp \left(-i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)~,}$ ${\displaystyle ~p\in M~.}$ ${\displaystyle ~L^{2}(M)~,}$

Esto produce una acción del grupo de Poincaré sobre el espacio de funciones integrables al cuadrado definidas en la hipersuperficie M en el espacio de Minkowski. Estas pueden verse como medidas definidas en el espacio de Minkowski que se concentran en el conjunto M definido por

${\displaystyle E^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$ ${\displaystyle ~E~\equiv ~P_{0}>0~.}$

La transformada de Fourier (en las cuatro variables) de tales medidas produce soluciones de energía positiva y energía finita ^{[ aclaración necesaria ] de la} ecuación de Klein-Gordon definida en el espacio de Minkowski, a saber:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +m^{2}\psi =0,}$

Sin unidades físicas. De esta manera, la representación irreducible del grupo de Poincaré se realiza por su acción sobre un espacio adecuado de soluciones de una ecuación de onda lineal. ${\displaystyle ~m>0,\quad s=0~}$

La teoría de las representaciones proyectivas

Físicamente, lo que interesa son las representaciones unitarias proyectivas irreducibles del grupo de Poincaré. Después de todo, dos vectores en el espacio cuántico de Hilbert que difieren por la multiplicación por una constante representan el mismo estado físico. Por lo tanto, dos operadores unitarios que difieren por un múltiplo de la identidad tienen la misma acción sobre los estados físicos. Por lo tanto, los operadores unitarios que representan la simetría de Poincaré solo se definen hasta una constante y, por lo tanto, la ley de composición de grupos solo necesita ser válida hasta una constante.

Según el teorema de Bargmann , toda representación unitaria proyectiva del grupo de Poincaré proviene de una representación unitaria ordinaria de su recubrimiento universal, que es un recubrimiento doble. (El teorema de Bargmann se aplica porque el recubrimiento doble del grupo de Poincaré no admite extensiones centrales unidimensionales no triviales ).

El paso a la doble cobertura es importante porque permite casos de espín de números enteros semiimpares. En el caso de masa positiva, por ejemplo, el pequeño grupo es SU(2) en lugar de SO(3); las representaciones de SU(2) incluyen entonces casos de espín de números enteros y semiimpares.

Como el criterio general del teorema de Bargmann no se conocía cuando Wigner hizo su clasificación, necesitaba demostrar a mano (§5 del artículo) que las fases pueden elegirse en los operadores para reflejar la ley de composición en el grupo, hasta un signo, que luego se explica pasando a la doble cobertura del grupo de Poincaré.

Clasificación adicional

Se excluyen de esta clasificación las soluciones taquiónicas , las soluciones sin masa fija, las infrapartículas sin masa fija, etc. Tales soluciones son de importancia física, cuando se consideran estados virtuales. Un ejemplo célebre es el caso de la dispersión inelástica profunda , en la que un fotón virtual similar al espacio se intercambia entre el leptón entrante y el hadrón entrante . Esto justifica la introducción de fotones polarizados transversal y longitudinalmente, y del concepto relacionado de funciones de estructura transversal y longitudinal, cuando se consideran estos estados virtuales como sondas efectivas del contenido interno de quarks y gluones de los hadrones. Desde un punto de vista matemático, se considera el grupo SO(2,1) en lugar del grupo SO(3) habitual que se encuentra en el caso masivo habitual analizado anteriormente. Esto explica la aparición de dos vectores de polarización transversales y que satisfacen y que se deben comparar con el caso habitual de un bosón libre que tiene tres vectores de polarización, cada uno de ellos satisface ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda =1,2}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{L}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{L}^{2}=+1~,}$ ${\displaystyle ~Z_{0}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda }{\text{ for }}\lambda =1,2,3~;}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~.}$

Véase también

• Representación inducida
• Teoría de la representación del grupo de difeomorfismos
• Teoría de la representación del grupo galileano
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Sistema de imprimibilidad
• Pseudovector de Pauli-Lubanski

Referencias

• Bargmann, V. ; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 34 (5): 211–223. Bibcode :1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC  1079095 . PMID  16578292.

• Mackey, George (1978). Representaciones de grupos unitarios en física, probabilidad y teoría de números . Serie de apuntes de clases de matemáticas. Vol. 55. The Benjamin/Cummings Publishing Company . ISBN 978-0805367034.

• Sternberg, Shlomo (1994). "§3.9. Clasificación de Wigner". Teoría de grupos y física . Cambridge University Press . ISBN 978-0521248709.

• Tung, Wu-Ki (1985). "Capítulo 10. Representaciones del grupo de Lorentz y del grupo de Poincaré; clasificación de Wigner". Teoría de grupos en física . World Scientific Publishing Company . ISBN 978-9971966577.

• Weinberg, S. (2002). "Capítulo 2. Mecánica cuántica relativista". La teoría cuántica de campos . Vol. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.

• Wigner, EP (1939). "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo". Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Bibcode :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. MR  1503456. S2CID  121773411.