Representación proyectiva

En el campo de la teoría de la representación en matemáticas , una representación proyectiva de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un cuerpo F es un homomorfismo de grupo de G al grupo lineal proyectivo donde GL( V ) es el grupo lineal general de transformaciones lineales invertibles de V sobre F , y F ^∗ es el subgrupo normal que consiste en múltiplos escalares distintos de cero de la transformación identidad (ver Transformación escalar ). ^[1] $${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},}$$

En términos más concretos, una representación proyectiva de es una colección de operadores que satisfacen la propiedad de homomorfismo hasta una constante: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh),}$

para alguna constante . De manera equivalente, una representación proyectiva de es una colección de operadores , tales que . Nótese que, en esta notación, es un conjunto de operadores lineales relacionados por multiplicación con algún escalar distinto de cero. ${\displaystyle c(g,h)\in F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)\in \mathrm {PGL} (V),g\in G}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(gh)={\tilde {\rho }}(g){\tilde {\rho }}(h)}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)}$

Si es posible elegir un representante particular en cada familia de operadores de tal manera que la propiedad de homomorfismo se cumpla en la nariz , en lugar de solo hasta una constante, entonces decimos que se puede "desproyectar", o que se puede "elevar a una representación ordinaria". Más concretamente, decimos que se puede desproyectar si hay para cada tal que . Esta posibilidad se analiza más adelante. ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=\rho (gh)}$

Representaciones lineales y representaciones proyectivas

Una forma en la que puede surgir una representación proyectiva es tomando una representación de grupo lineal de G en V y aplicando el mapa cociente

${\displaystyle \operatorname {GL} (V,F)\rightarrow \operatorname {PGL} (V,F)}$

que es el cociente por el subgrupo F ^∗ de transformaciones escalares ( matrices diagonales con todas las entradas diagonales iguales). El interés para el álgebra está en el proceso en la otra dirección: dada una representación proyectiva , tratar de 'elevarla' a una representación lineal ordinaria . Una representación proyectiva general ρ : G → PGL( V ) no puede elevarse a una representación lineal G → GL( V ) , y la obstrucción a esta elevación puede entenderse a través de la cohomología de grupos , como se describe a continuación.

Sin embargo, se puede elevar una representación proyectiva de G a una representación lineal de un grupo diferente H , que será una extensión central de G . El grupo es el subgrupo de definido de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$

${\displaystyle H=\{(g,A)\in G\times \mathrm {GL} (V)\mid \pi (A)=\rho (g)\}}$,

donde es la función cociente de sobre . Puesto que es un homomorfismo, es fácil comprobar que es, en efecto, un subgrupo de . Si la representación proyectiva original es fiel, entonces es isomorfo a la preimagen en de . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho (G)\subseteq \mathrm {PGL} (V)}$

Podemos definir un homomorfismo estableciendo . El núcleo de es: ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \phi ((g,A))=g}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathrm {ker} (\phi )=\{(e,cI)\mid c\in F^{*}\}}$,

que está contenido en el centro de . También está claro que es sobreyectiva, por lo que es una extensión central de . También podemos definir una representación ordinaria de estableciendo . La representación ordinaria de es una elevación de la representación proyectiva de en el sentido de que: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma ((g,A))=A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi (\sigma ((g,A)))=\rho (g)=\rho (\phi ((g,A)))}$.

Si G es un grupo perfecto, existe una única extensión central perfecta universal de G que puede utilizarse.

Cohomología de grupos

El análisis de la cuestión del levantamiento implica cohomología de grupos . De hecho, si se fija para cada g en G un elemento levantado L ( g ) en el levantamiento desde PGL( V ) de vuelta a GL( V ) , los levantamientos satisfacen

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)}$

para algún escalar c ( g , h ) en F ^∗ . Se deduce que el 2-cociclo o multiplicador de Schur c satisface la ecuación del cociclo

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)}$

para todos los g , h , k en G. Este c depende de la elección del ascensor L ; una elección diferente de ascensor L′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) dará como resultado un cociclo diferente

${\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

cohomólogo a c . Por lo tanto, L define una clase única en H ² ( G , F ^∗ ) . Esta clase podría no ser trivial. Por ejemplo, en el caso del grupo simétrico y el grupo alternante , Schur estableció que hay exactamente una clase no trivial de multiplicador de Schur y determinó completamente todas las representaciones irreducibles correspondientes. ^[2]

En general, una clase no trivial conduce a un problema de extensión para G . Si G se extiende correctamente, obtenemos una representación lineal del grupo extendido, que induce la representación proyectiva original cuando se empuja hacia abajo hasta G . La solución es siempre una extensión central . Del lema de Schur , se deduce que las representaciones irreducibles de las extensiones centrales de G , y las representaciones proyectivas irreducibles de G , son esencialmente los mismos objetos.

Primer ejemplo: transformada de Fourier discreta

Consideremos el campo de números enteros mod , donde es primo, y sea el espacio de dimensión 1 de funciones en con valores en . Para cada en , definamos dos operadores, y en como sigue: ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b).\end{aligned}}}$

Escribimos la fórmula para como si y fueran números enteros, pero se ve fácilmente que el resultado solo depende del valor de y mod . El operador es una traslación, mientras que es un desplazamiento en el espacio de frecuencias (es decir, tiene el efecto de trasladar la transformada de Fourier discreta de ). ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle f}$

Se puede verificar fácilmente que para cualquier y en , los operadores y conmutan hasta la multiplicación por una constante: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$

${\displaystyle T_{a}S_{b}=e^{-2\pi iab/p}S_{b}T_{a}}$.

Por lo tanto, podemos definir una representación proyectiva de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]}$,

donde denota la imagen de un operador en el grupo de cocientes . Dado que y conmutan hasta una constante, se ve fácilmente que es una representación proyectiva. Por otro lado, dado que y en realidad no conmutan (y ningún múltiplo distinto de cero de ellos conmutará), no se puede elevar a una representación ordinaria (lineal) de . ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

Puesto que la representación proyectiva es fiel, la extensión central de obtenida por la construcción en la sección anterior es simplemente la preimagen en de la imagen de . Explícitamente, esto significa que es el grupo de todos los operadores de la forma ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}}$

para . Este grupo es una versión discreta del grupo de Heisenberg y es isomorfo al grupo de matrices de la forma ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

con . ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

Representaciones proyectivas de grupos de Lie

El estudio de las representaciones proyectivas de los grupos de Lie lleva a considerar representaciones verdaderas de sus extensiones centrales (véase Extensión de grupo § Grupos de Lie ). En muchos casos de interés, basta con considerar representaciones de grupos de recubrimiento . En concreto, supongamos que es un recubrimiento conexo de un grupo de Lie conexo , de modo que para un subgrupo central discreto de . (Obsérvese que es un tipo especial de extensión central de .) Supongamos también que es una representación unitaria irreducible de (posiblemente de dimensión infinita). Entonces, por el lema de Schur , el subgrupo central actuará por múltiplos escalares de la identidad. Por tanto, a nivel proyectivo, descenderá a . Es decir, para cada , podemos elegir una preimagen de en , y definir una representación proyectiva de estableciendo ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\hat {G}}/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$,

donde denota la imagen en de un operador . Dado que está contenido en el centro de y el centro de actúa como escalar , el valor de no depende de la elección de . ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

La construcción precedente es una fuente importante de ejemplos de representaciones proyectivas. El teorema de Bargmann (que se analiza más adelante) proporciona un criterio según el cual toda representación unitaria proyectiva irreducible de surge de esta manera. ${\displaystyle G}$

Representaciones proyectivas de SO(3)

Un ejemplo físicamente importante de la construcción anterior proviene del caso del grupo de rotación SO(3) , cuya cubierta universal es SU(2) . Según la teoría de representación de SU(2) , hay exactamente una representación irreducible de SU(2) en cada dimensión. Cuando la dimensión es impar (el caso de "espín entero"), la representación desciende a una representación ordinaria de SO(3). ^[3] Cuando la dimensión es par (el caso de "espín fraccionario"), la representación no desciende a una representación ordinaria de SO(3) sino que (por el resultado discutido anteriormente) desciende a una representación proyectiva de SO(3). Tales representaciones proyectivas de SO(3) (las que no provienen de representaciones ordinarias) se denominan "representaciones espinoriales", cuyos elementos (vectores) se denominan espinores .

Según un argumento que se analiza a continuación, toda representación proyectiva irreducible y de dimensión finita de SO(3) proviene de una representación ordinaria irreducible y de dimensión finita de SU(2).

Ejemplos de cubiertas que dan lugar a representaciones proyectivas

Casos notables de grupos de cobertura que dan representaciones proyectivas interesantes:

• El grupo ortogonal especial SO( n , F ) está doblemente cubierto por el grupo Spin ( n , F ).
• En particular, el grupo SO(3) (el grupo de rotación en 3 dimensiones) está doblemente cubierto por SU(2) . Esto tiene importantes aplicaciones en mecánica cuántica, ya que el estudio de las representaciones de SU(2) conduce a una teoría no relativista (de baja velocidad) del espín .
• El grupo SO ⁺ (3;1) , isomorfo al grupo de Möbius , está igualmente doblemente cubierto por SL2 ( C ). Ambos son supergrupos de los mencionados SO(3) y SU(2) respectivamente y forman una teoría de espín _relativista .
• La cobertura universal del grupo de Poincaré es una cobertura doble (el producto semidirecto de SL ₂ ( C ) por R ⁴ ). Las representaciones unitarias irreducibles de esta cobertura dan lugar a representaciones proyectivas del grupo de Poincaré, como en la clasificación de Wigner . Pasar a la cobertura es esencial para incluir el caso de espín fraccionario.
• El grupo ortogonal O( n ) está doblemente cubierto por el grupo Pin Pin _± ( n ).
• El grupo simpléctico Sp(2 n )=Sp(2 n , R ) (que no debe confundirse con la forma real compacta del grupo simpléctico, a veces también denotada por Sp( m )) está doblemente cubierto por el grupo metapléctico Mp(2 n ). Una representación proyectiva importante de Sp(2 n ) proviene de la representación metapléctica de Mp(2 n ).

Representaciones unitarias proyectivas de dimensión finita

En física cuántica, la simetría de un sistema físico se implementa típicamente por medio de una representación unitaria proyectiva de un grupo de Lie en el espacio cuántico de Hilbert, es decir, un homomorfismo continuo. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),}$

donde es el cociente del grupo unitario por los operadores de la forma . La razón para tomar el cociente es que físicamente, dos vectores en el espacio de Hilbert que son proporcionales representan el mismo estado físico. [Es decir, el espacio de estados (puros) es el conjunto de clases de equivalencia de vectores unitarios , donde dos vectores unitarios se consideran equivalentes si son proporcionales.] Por lo tanto, un operador unitario que es múltiplo de la identidad en realidad actúa como la identidad en el nivel de estados físicos. ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle cI,\,|c|=1}$

Una representación proyectiva de dimensión finita de da lugar entonces a una representación unitaria proyectiva del álgebra de Lie de . En el caso de dimensión finita, siempre es posible "desproyectizar" la representación del álgebra de Lie simplemente eligiendo un representante para cada uno que tenga traza cero. ^[4] A la luz del teorema de homomorfismos , es posible entonces desproyectizarse a sí misma, pero a costa de pasar a la cobertura universal de . ^[5] Es decir, toda representación unitaria proyectiva de dimensión finita de surge de una representación unitaria ordinaria de mediante el procedimiento mencionado al principio de esta sección. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

En concreto, puesto que la representación del álgebra de Lie se desproyectivizó eligiendo un representante de traza cero, cada representación unitaria proyectiva de dimensión finita de surge de una representación unitaria ordinaria de determinante uno de (es decir, una en la que cada elemento de actúa como un operador con determinante uno). Si es semisimple, entonces cada elemento de es una combinación lineal de conmutadores, en cuyo caso cada representación de es por operadores con traza cero. En el caso semisimple, entonces, la representación lineal asociada de es única. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

Por el contrario, si es una representación unitaria irreducible de la cobertura universal de , entonces, por el lema de Schur , el centro de actúa como múltiplos escalares de la identidad. Por lo tanto, en el nivel proyectivo, desciende a una representación proyectiva del grupo original . Por lo tanto, existe una correspondencia natural biunívoca entre las representaciones proyectivas irreducibles de y las representaciones ordinarias irreducibles, determinante-uno, de . (En el caso semisimple, se puede omitir el calificador "determinante-uno", porque en ese caso, cada representación de es automáticamente determinante uno). ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

Un ejemplo importante es el caso de SO(3) , cuya cobertura universal es SU(2) . Ahora bien, el álgebra de Lie es semisimple. Además, dado que SU(2) es un grupo compacto , toda representación de dimensión finita de éste admite un producto interno con respecto al cual la representación es unitaria. ^[6] Por tanto, las representaciones proyectivas irreducibles de SO(3) están en correspondencia biunívoca con las representaciones ordinarias irreducibles de SU(2). ${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$

Representaciones unitarias proyectivas de dimensión infinita: el caso de Heisenberg

Los resultados de la subsección anterior no se cumplen en el caso de dimensión infinita, simplemente porque la traza de normalmente no está bien definida. De hecho, el resultado falla: considérese, por ejemplo, las traslaciones en el espacio de posición y en el espacio de momento para una partícula cuántica que se mueve en , actuando sobre el espacio de Hilbert . ^[7] Estos operadores se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}}$

para todos . Estos operadores son simplemente versiones continuas de los operadores descritos en la sección "Primer ejemplo" anterior. Como en esa sección, podemos definir una representación unitaria proyectiva de : ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

porque los operadores conmutan hasta un factor de fase. Pero ninguna elección de los factores de fase conducirá a una representación unitaria ordinaria, ya que las traslaciones en posición no conmutan con las traslaciones en momento (y multiplicar por una constante distinta de cero no cambiará esto). Sin embargo, estos operadores provienen de una representación unitaria ordinaria del grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional de . ^[8] (Véase también el teorema de Stone–von Neumann .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Representaciones unitarias proyectivas de dimensión infinita: teorema de Bargmann

Por otra parte, el teorema de Bargmann establece que si el segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie de es trivial, entonces cada representación unitaria proyectiva de puede desproyectivizarse después de pasar a la cobertura universal. ^{[9] [10]} Más precisamente, supongamos que empezamos con una representación unitaria proyectiva de un grupo de Lie . Entonces el teorema establece que puede elevarse a una representación unitaria ordinaria de la cobertura universal de . Esto significa que asigna cada elemento del núcleo de la función de cobertura a un múltiplo escalar de la identidad—de modo que en el nivel proyectivo, desciende a —y que la representación proyectiva asociada de es igual a . ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

El teorema no se aplica al grupo —como lo demuestra el ejemplo anterior— porque el segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie conmutativa asociada no es trivial. Entre los ejemplos en los que se aplica el resultado se incluyen los grupos semisimples (por ejemplo, SL(2,R) ) y el grupo de Poincaré . Este último resultado es importante para la clasificación de Wigner de las representaciones unitarias proyectivas del grupo de Poincaré . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

La demostración del teorema de Bargmann pasa por considerar una extensión central de , construida de manera similar a la sección anterior sobre representaciones lineales y representaciones proyectivas, como un subgrupo del grupo de producto directo , donde es el espacio de Hilbert sobre el que actúa y es el grupo de operadores unitarios sobre . El grupo se define como ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.}$

Como en la sección anterior, la función dada por es un homomorfismo sobreyectivo cuyo núcleo es de modo que es una extensión central de . Nuevamente como en la sección anterior, podemos definir una representación lineal de al establecer . Entonces es una elevación de en el sentido de que , donde es la función cociente de a . ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \phi (g,U)=g}$ ${\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

Un punto técnico clave es demostrar que es un grupo de Lie . (Esta afirmación no es tan obvia, porque si es de dimensión infinita, el grupo es un grupo topológico de dimensión infinita.) Una vez establecido este resultado, vemos que es una extensión central de grupo de Lie unidimensional de , de modo que el álgebra de Lie de es también una extensión central unidimensional de (nótese aquí que el adjetivo "unidimensional" no se refiere a y , sino más bien al núcleo del mapa de proyección de esos objetos sobre y respectivamente). Pero el grupo de cohomología puede identificarse con el espacio de extensiones centrales unidimensionales (de nuevo, en el sentido antes mencionado) de ; si es trivial entonces cada extensión central unidimensional de es trivial. En ese caso, es simplemente la suma directa de con una copia de la línea real. De ello se deduce que la cobertura universal de debe ser simplemente un producto directo de la cobertura universal de con una copia de la línea real. Entonces podemos elevar de a (componiendo con la cobertura) y finalmente restringir esta elevación a la cobertura universal de . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

Véase también

• Representación afín
• Acción grupal
• Extensión central
• Física de partículas y teoría de la representación
• Girar-½
• Espinor
• Simetría en la mecánica cuántica
• Grupo de Heisenberg

Notas

1. Gannon 2006, págs. 176-179.
2. Schür 1911
3. Sala 2015 Sección 4.7
4. Proposición 16.46 del Salón 2013
5. Hall 2013 Teorema 16.47
6. Hall 2015 prueba del teorema 4.28
7. Hall 2013 Ejemplo 16,56
8. Hall 2013 Ejercicio 6 en el Capítulo 14
9. Bargman 1954
10. Simms 1971

Referencias

• Bargmann, Valentine (1954), "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos", Annals of Mathematics , 59 (1): 1–46, doi :10.2307/1969831, JSTOR  1969831
• Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: El puente que conecta el álgebra, las formas modulares y la física , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Schur, I. (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Crelle's Journal , 139 : 155-250
• Simms, DJ (1971), "Una breve prueba del criterio de Bargmann para el levantamiento de representaciones proyectivas de grupos de Lie", Reports on Mathematical Physics , 2 (4): 283–287, Bibcode :1971RpMP....2..283S, doi :10.1016/0034-4877(71)90011-5