Simetría en mecánica cuántica

Propiedades subyacentes a la física moderna

Las simetrías en mecánica cuántica describen características del espacio-tiempo y partículas que no cambian bajo alguna transformación, en el contexto de la mecánica cuántica , la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos , y con aplicaciones en la formulación matemática del modelo estándar y la física de la materia condensada . En general, la simetría en física , la invariancia y las leyes de conservación son restricciones fundamentalmente importantes para formular teorías y modelos físicos. En la práctica, son métodos poderosos para resolver problemas y predecir lo que puede suceder. Si bien las leyes de conservación no siempre dan la respuesta al problema directamente, forman las restricciones correctas y los primeros pasos para resolver una multitud de problemas. En la aplicación, la comprensión de las simetrías también puede proporcionar información sobre los estados propios que se pueden esperar. Por ejemplo, la existencia de estados degenerados se puede inferir por la presencia de operadores de simetría no conmutativos o que los estados no degenerados también son vectores propios de operadores de simetría.

Este artículo describe la conexión entre la forma clásica de las simetrías continuas así como sus operadores cuánticos , y los relaciona con los grupos de Lie y las transformaciones relativistas en el grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré .

Notación

Las convenciones de notación utilizadas en este artículo son las siguientes. Las letras en negrita indican vectores , cuatro vectores , matrices y operadores vectoriales , mientras que los estados cuánticos utilizan la notación corchete . Los sombreros anchos son para operadores , los sombreros angostos son para vectores unitarios (incluidos sus componentes en la notación de índice tensorial ). Se utiliza la convención de suma sobre los índices tensoriales repetidos , a menos que se indique lo contrario. La signatura métrica de Minkowski es (+−−−).

Transformaciones de simetría en la función de onda en mecánica cuántica no relativista

Simetrías continuas

Generalmente, la correspondencia entre simetrías continuas y leyes de conservación viene dada por el teorema de Noether .

La forma de los operadores cuánticos fundamentales, por ejemplo la energía como una derivada parcial del tiempo y el momento como un gradiente espacial , se hace evidente cuando se considera el estado inicial y luego se cambia ligeramente un parámetro del mismo. Esto se puede hacer para desplazamientos (longitudes), duraciones (tiempo) y ángulos (rotaciones). Además, la invariancia de ciertas cantidades se puede ver al realizar dichos cambios en las longitudes y los ángulos, lo que ilustra la conservación de estas cantidades.

A continuación se presentan transformaciones en funciones de onda de una sola partícula en la forma:

$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')}$$

se consideran, donde denota un operador unitario . La unitaridad generalmente se requiere para los operadores que representan transformaciones de espacio, tiempo y espín, ya que la norma de un estado (que representa la probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar con algún espín) debe ser invariante bajo estas transformaciones. La inversa es el conjugado hermítico . Los resultados se pueden extender a funciones de onda de muchas partículas. Escritas en notación de Dirac como estándar, las transformaciones en vectores de estado cuántico son: ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$

$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle }$$

Ahora, la acción de cambia ψ ( r , t ) a ψ ( r ′, t ′) , por lo que la inversa cambia ψ ( r ′, t ′) nuevamente a ψ ( r , t ) , por lo que un operador invariante bajo satisface: ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$

$${\displaystyle {\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi }$$

y por lo tanto:

$${\displaystyle [{\widehat {\Omega }},{\widehat {A}}]\psi =0}$$

para cualquier estado ψ . También se requiere que los operadores cuánticos que representan observables sean hermíticos para que sus valores propios sean números reales , es decir, el operador sea igual a su conjugado hermítico , . ${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }}$

Descripción general de la teoría de grupos de Lie

A continuación se presentan los puntos clave de la teoría de grupos relevantes para la teoría cuántica; se dan ejemplos a lo largo del artículo. Para un enfoque alternativo que utilice grupos matriciales, consulte los libros de Hall ^{[1] [2]}

Sea G un grupo de Lie , que es un grupo que localmente está parametrizado por un número finito N de parámetros reales que varían continuamente ξ ₁ , ξ ₂ , ..., ξ _N . En un lenguaje más matemático, esto significa que G es una variedad suave que también es un grupo, para el cual las operaciones de grupo son suaves.

• La dimensión del grupo , N , es el número de parámetros que tiene.
• Los elementos del grupo , g , en G son funciones de los parámetros: y todos los parámetros establecidos en cero devuelven el elemento identidad del grupo: Los elementos del grupo a menudo son matrices que actúan sobre vectores o transformaciones que actúan sobre funciones. $${\displaystyle g=G(\xi _{1},\xi _{2},\dots )}$$ $${\displaystyle I=G(0,0,\dots )}$$
• Los generadores del grupo son las derivadas parciales de los elementos del grupo con respecto a los parámetros del grupo, y el resultado se evalúa cuando el parámetro se establece en cero: En el lenguaje de las variedades, los generadores son los elementos del espacio tangente a G en la identidad. Los generadores también se conocen como elementos infinitesimales del grupo o como los elementos del álgebra de Lie de G. (Véase la discusión a continuación sobre el conmutador). $${\displaystyle X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$$
  Un aspecto de los generadores en física teórica es que pueden construirse como operadores correspondientes a simetrías, que pueden escribirse como matrices, o como operadores diferenciales. En teoría cuántica, para representaciones unitarias del grupo, los generadores requieren un factor de i : Los generadores del grupo forman un espacio vectorial , lo que significa que las combinaciones lineales de generadores también forman un generador. $${\displaystyle X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$$
• Los generadores (ya sean matrices u operadores diferenciales) satisfacen las relaciones de conmutación : donde f _abc son las constantes de estructura (dependientes de la base) del grupo. Esto hace que, junto con la propiedad del espacio vectorial, el conjunto de todos los generadores de un grupo sea un álgebra de Lie . Debido a la antisimetría del corchete, las constantes de estructura del grupo son antisimétricas en los dos primeros índices. $${\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}}$$
• Las representaciones del grupo describen entonces las formas en que el grupo G (o su álgebra de Lie) puede actuar sobre un espacio vectorial. (El espacio vectorial podría ser, por ejemplo, el espacio de vectores propios para un hamiltoniano que tiene a G como su grupo de simetría). Denotamos las representaciones utilizando una D mayúscula . Uno puede entonces derivar D para obtener una representación del álgebra de Lie, a menudo también denotada por D . Estas dos representaciones están relacionadas de la siguiente manera: sin suma sobre el índice repetido j . Las representaciones son operadores lineales que toman elementos del grupo y preservan la regla de composición: $${\displaystyle D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j})}}$$ $${\displaystyle D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).}$$

Una representación que no se puede descomponer en una suma directa de otras representaciones se llama irreducible . Es convencional etiquetar las representaciones irreducibles con un número superíndice n entre paréntesis, como en D ^{( n )} , o si hay más de un número, escribimos D ^{( n , m , ...)} .

Existe una sutileza adicional que surge en la teoría cuántica, donde dos vectores que difieren al multiplicarse por un escalar representan el mismo estado físico. Aquí, la noción pertinente de representación es una representación proyectiva , una que solo satisface la ley de composición hasta un escalar. En el contexto del espín mecánico cuántico, tales representaciones se denominan espinoriales .

El momento y la energía como generadores de traslación y evolución temporal, y rotación

El operador de traslación espacial actúa sobre una función de onda para desplazar las coordenadas espaciales mediante un desplazamiento infinitesimal Δ r . La expresión explícita se puede determinar rápidamente mediante una expansión de Taylor de ψ ( r + Δ r , t ) alrededor de r , luego (manteniendo el término de primer orden y descuidando los términos de segundo orden y superiores), se reemplazan las derivadas espaciales por el operador de momento . De manera similar, para el operador de traslación temporal que actúa sobre el parámetro temporal, la expansión de Taylor de ψ ( r , t + Δ t ) es alrededor de t , y la derivada temporal se reemplaza por el operador de energía . ${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {E}}}$

Las funciones exponenciales surgen por definición como aquellos límites, debido a Euler , y pueden entenderse física y matemáticamente de la siguiente manera. Una traslación neta puede estar compuesta de muchas traslaciones pequeñas, por lo que para obtener el operador de traslación para un incremento finito, reemplace Δ r por Δ r / N y Δ t por Δ t / N , donde N es un entero positivo distinto de cero. Luego, a medida que N aumenta, la magnitud de Δ r y Δ t se vuelve aún más pequeña, mientras que las direcciones permanecen sin cambios. Actuando los operadores infinitesimales en la función de onda N veces y tomando el límite cuando N tiende a infinito, se obtienen los operadores finitos.

Las traducciones de espacio y tiempo conmutan, lo que significa que los operadores y los generadores conmutan.

Para un hamiltoniano independiente del tiempo, la energía se conserva en el tiempo y los estados cuánticos son estados estacionarios : los estados propios del hamiltoniano son los valores propios de energía E :

$${\displaystyle {\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)}$$

y todos los estados estacionarios tienen la forma

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})}$$

donde t ₀ es el tiempo inicial, generalmente establecido en cero ya que no hay pérdida de continuidad cuando se establece el tiempo inicial.

Una notación alternativa es . ${\displaystyle {\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})}$

El momento angular como generador de rotaciones

Momento angular orbital

El operador de rotación, , actúa sobre una función de onda para rotar las coordenadas espaciales de una partícula en un ángulo constante Δ θ : ${\displaystyle {\widehat {R}}}$

$${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t)}$$

donde r′ son las coordenadas rotadas alrededor de un eje definido por un vector unitario a través de un incremento angular Δ θ , dado por: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$

$${\displaystyle \mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.}$$

donde es una matriz de rotación que depende del eje y del ángulo. En el lenguaje de la teoría de grupos, las matrices de rotación son elementos del grupo, y los ángulos y el eje son los parámetros del grupo ortogonal especial tridimensional SO(3). Las matrices de rotación sobre el vector base cartesiano estándar a través del ángulo Δ θ , y los correspondientes generadores de rotaciones J = ( J _x , J _y , J _z ) , son: ${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})}$ ${\displaystyle \Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$

De manera más general, para rotaciones sobre un eje definido por , los elementos de la matriz de rotación son: ^[3] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$

$${\displaystyle [{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}}$$

donde δ _ij es el delta de Kronecker y ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita .

No es tan obvio cómo determinar el operador rotacional en comparación con las traslaciones de espacio y tiempo. Podemos considerar un caso especial (rotaciones sobre el eje x , y o z ) y luego inferir el resultado general, o usar la matriz de rotación general directamente y la notación de índice tensorial con δ _ij y ε _ijk . Para derivar el operador de rotación infinitesimal, que corresponde a Δ θ pequeño , usamos las aproximaciones de ángulo pequeño sin(Δ θ ) ≈ Δ θ y cos(Δ θ ) ≈ 1 , luego desarrollamos Taylor sobre r o r _i , mantenemos el término de primer orden y sustituimos los componentes del operador de momento angular .

El componente z del momento angular se puede reemplazar por el componente a lo largo del eje definido por , utilizando el producto escalar . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}}$

Nuevamente, una rotación finita se puede realizar a partir de muchas rotaciones pequeñas, reemplazando Δ θ por Δ θ / N y tomando el límite cuando N tiende a infinito se obtiene el operador de rotación para una rotación finita.

Las rotaciones sobre el mismo eje conmutan, por ejemplo, una rotación a través de los ángulos θ ₁ y θ ₂ alrededor del eje i se puede escribir

$${\displaystyle R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})]=0\,.}$$

Sin embargo, las rotaciones sobre ejes diferentes no conmutan. Las reglas generales de conmutación se resumen en

$${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.}$$

En este sentido, el momento angular orbital tiene las propiedades de sentido común de las rotaciones. Cada uno de los conmutadores anteriores se puede demostrar fácilmente sosteniendo un objeto cotidiano y girándolo en el mismo ángulo sobre dos ejes diferentes en ambos ordenamientos posibles; las configuraciones finales son diferentes.

En mecánica cuántica, hay otra forma de rotación que matemáticamente parece similar al caso orbital, pero tiene propiedades diferentes, que se describen a continuación.

Momento angular de giro

Todas las magnitudes anteriores tienen definiciones clásicas. El espín es una magnitud que poseen las partículas en la mecánica cuántica sin ningún análogo clásico, y que tiene como unidades el momento angular. El operador del vector de espín se denota por . Los valores propios de sus componentes son los resultados posibles (en unidades de ) de una medición del espín proyectada sobre una de las direcciones base. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}},{\widehat {S_{y}}},{\widehat {S_{z}}})}$ ${\displaystyle \hbar }$

Las rotaciones (del espacio ordinario) alrededor de un eje que pasa por un ángulo θ alrededor del vector unitario en el espacio que actúa sobre una función de onda multicomponente (espinor) en un punto en el espacio se representan mediante: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$

Operador de rotación de espín ( finito )

${\displaystyle {\widehat {S}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}\right)}$

Sin embargo, a diferencia del momento angular orbital, en el que el número cuántico de proyección z ℓ solo puede tomar valores enteros positivos o negativos (incluido el cero), el número cuántico de espín s de proyección z puede tomar todos los valores semienteros positivos y negativos. Existen matrices rotacionales para cada número cuántico de espín.

La evaluación de la exponencial para un número cuántico de espín de proyección z dado s da como resultado una matriz de espín de (2 s + 1) dimensiones. Esto se puede utilizar para definir un espinor como un vector columna de 2 s + 1 componentes que se transforma en un sistema de coordenadas rotado según la matriz de espín en un punto fijo en el espacio.

Para el caso no trivial más simple de s = 1/2, el operador de espín está dado por

$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$$

donde las matrices de Pauli en la representación estándar son:

$${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

Momento angular total

El operador de momento angular total es la suma del orbital y el espín.

$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}}$$

y es una cantidad importante para sistemas multipartículas, especialmente en física nuclear y la química cuántica de átomos y moléculas multielectrónicos.

Tenemos una matriz de rotación similar:

$${\displaystyle {\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\right)}$$

Cantidades conservadas en el oscilador armónico cuántico

El grupo de simetría dinámica del oscilador armónico cuántico de n dimensiones es el grupo unitario especial SU( n ). Como ejemplo, el número de generadores infinitesimales de las álgebras de Lie correspondientes de SU(2) y SU(3) son tres y ocho respectivamente. Esto conduce a exactamente tres y ocho cantidades conservadas independientes (aparte del hamiltoniano) en estos sistemas.

El oscilador armónico cuántico bidimensional tiene las cantidades conservadas esperadas del hamiltoniano y del momento angular, pero tiene cantidades conservadas ocultas adicionales de diferencia de nivel de energía y otra forma de momento angular.

Grupo de Lorentz en mecánica cuántica relativista

A continuación se presenta una descripción general del grupo de Lorentz y un tratamiento de los impulsos y rotaciones en el espacio-tiempo. A lo largo de esta sección, véase (por ejemplo) T. Ohlsson (2011) ^[4] y E. Abers (2004). ^[5]

Las transformaciones de Lorentz se pueden parametrizar mediante la rapidez φ para un impulso en la dirección de un vector unitario tridimensional y un ángulo de rotación θ alrededor de un vector unitario tridimensional que define un eje, por lo que y son juntos seis parámetros del grupo de Lorentz (tres para rotaciones y tres para impulsos). El grupo de Lorentz es hexadimensional. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ ${\displaystyle \varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})}$ ${\displaystyle \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$

Rotaciones puras en el espacio-tiempo

Las matrices de rotación y los generadores de rotación considerados anteriormente forman la parte espacial de una matriz de cuatro dimensiones, que representa transformaciones de Lorentz de rotación pura. Tres de los elementos y generadores del grupo de Lorentz J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) para rotaciones puras son: ${\displaystyle {\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}}$

Las matrices de rotación actúan sobre cuatro vectores cualesquiera A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) y rotan los componentes espaciales de acuerdo con

$${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$$

dejando la coordenada temporal sin cambios. En expresiones matriciales, A se trata como un vector columna .

Aumentos puros en el espacio-tiempo

Un impulso con velocidad c tanh φ en las direcciones x , y o z dadas por el vector base cartesiano estándar , son las matrices de transformación de impulso. Estas matrices y los generadores correspondientes K = ( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) son los tres elementos de grupo y generadores restantes del grupo de Lorentz: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$ ${\displaystyle {\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}}$

Las matrices de refuerzo actúan sobre cuatro vectores cualesquiera A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) y mezclan los componentes temporales y espaciales, de acuerdo con:

$${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$$

El término "impulso" se refiere a la velocidad relativa entre dos cuadros, y no debe confundirse con el momento como generador de traslaciones , como se explica a continuación.

Combinando mejoras y rotaciones

Los productos de rotaciones dan otra rotación (una ejemplificación frecuente de un subgrupo), mientras que los productos de impulsos y impulsos o de rotaciones y impulsos no pueden expresarse como impulsos puros o rotaciones puras. En general, cualquier transformación de Lorentz puede expresarse como un producto de una rotación pura y un impulso puro. Para obtener más información, consulte (por ejemplo) BR Durney (2011) ^[6] y HL Berk et al. ^[7] y las referencias allí citadas.

Los generadores de impulso y rotación tienen representaciones denotadas D ( K ) y D ( J ) respectivamente, la D mayúscula en este contexto indica una representación de grupo .

Para el grupo de Lorentz, las representaciones D ( K ) y D ( J ) de los generadores K y J cumplen las siguientes reglas de conmutación.

En todos los conmutadores, las entidades de impulso se mezclan con aquellas para rotaciones, aunque las rotaciones por sí solas simplemente dan otra rotación. Al exponenciar los generadores se obtienen los operadores de impulso y rotación que se combinan en la transformación general de Lorentz, bajo la cual las coordenadas del espacio-tiempo se transforman de un sistema en reposo a otro sistema de impulso y/o rotatorio. De la misma manera, al exponenciar las representaciones de los generadores se obtienen las representaciones de los operadores de impulso y rotación, bajo las cuales se transforma el campo de espinor de una partícula.

En la literatura, los generadores de impulso K y los generadores de rotación J a veces se combinan en un generador para las transformaciones de Lorentz M , una matriz tetradimensional antisimétrica con entradas:

$${\displaystyle M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.}$$

y, correspondientemente, los parámetros de impulso y rotación se recogen en otra matriz tetradimensional antisimétrica ω , con entradas:

$${\displaystyle \omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\,,}$$

La transformación general de Lorentz es entonces:

$${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2}}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$$

con suma sobre índices matriciales repetidos α y β . Las matrices Λ actúan sobre cuatro vectores cualesquiera A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) y mezclan los componentes temporales y espaciales, de acuerdo con:

$${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A} }$$

Transformaciones de funciones de onda de espinor en mecánica cuántica relativista

En la mecánica cuántica relativista , las funciones de onda ya no son campos escalares de un solo componente, sino campos de espinores de 2(2 s + 1) componentes, donde s es el espín de la partícula. Las transformaciones de estas funciones en el espacio-tiempo se muestran a continuación.

Bajo una transformación de Lorentz ortócrona adecuada ( r , t ) → Λ( r , t ) en el espacio de Minkowski , todos los estados cuánticos de una partícula ψ _σ se transforman localmente bajo alguna representación D del grupo de Lorentz : ^{[8] [9]}

$${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$$

donde D (Λ) es una representación de dimensión finita, en otras palabras, una matriz cuadrada de dimensión (2 s + 1)×(2 s + 1) , y ψ se considera un vector columna que contiene componentes con los valores permitidos de σ (2 s + 1) :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$$

Representaciones reales irreducibles y espín

Las representaciones irreducibles de D ( K ) y D ( J ) , abreviadas como "irreps", se pueden utilizar para construir representaciones de espín del grupo de Lorentz. Definición de nuevos operadores:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,}$$

Entonces A y B son simplemente conjugados complejos entre sí, se deduce que satisfacen los conmutadores formados simétricamente:

$${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,}$$

y estos son esencialmente los conmutadores que satisfacen los operadores de momento angular orbital y de espín. Por lo tanto, A y B forman álgebras de operadores análogas al momento angular; los mismos operadores de escalera , proyecciones z , etc., independientemente uno del otro ya que cada uno de sus componentes conmutan mutuamente. Por analogía con el número cuántico de espín, podemos introducir números enteros positivos o medios enteros, a, b , con conjuntos de valores correspondientes m = a , a − 1, ... − a + 1, − a y n = b , b − 1, ... − b + 1, − b . Las matrices que satisfacen las relaciones de conmutación anteriores son las mismas que para los espines a y b tienen componentes dados al multiplicar los valores delta de Kronecker con elementos de la matriz de momento angular:

$${\displaystyle \left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right)_{n'n}}$$ $${\displaystyle \left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right)_{n'n}}$$ $${\displaystyle \left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right)_{n'n}}$$

donde en cada caso el número de fila m′n′ y el número de columna mn están separados por una coma, y ​​a su vez:

$${\displaystyle \left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m)}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\pm m+1)}}}$$

y de manera similar para J ^{( n )} . ^{[nota 1]} Las tres matrices J ^{( m )} son cada una matrices cuadradas (2 m + 1)×(2 m + 1) , y las tres J ^{( n )} son cada una matrices cuadradas (2 n + 1)×(2 n + 1) . Los enteros o semienteros m y n numeran todas las representaciones irreducibles mediante, en notaciones equivalentes utilizadas por los autores: D ^{( m , n )} ≡ ( m , n ) ≡ D ^{( m )} ⊗ D ^{( n )} , que son cada una matrices cuadradas [(2 m + 1)(2 n + 1)]×[(2 m + 1)(2 n + 1)] .

Aplicando esto a partículas con espín s ;

• Los espinores de componentes zurdos (2 s + 1) se transforman bajo la irreps real D ^{( s , 0)} ,
• Los espinores de componentes diestros (2 s + 1) se transforman bajo la irreps real D ^{(0, s )} ,
• Tomando sumas directas simbolizadas por ⊕ (ver suma directa de matrices para el concepto de matriz más simple), se obtienen las representaciones bajo las cuales los espinores de 2(2 s + 1) componentes se transforman: D ^{( m , n )} ⊕ D ^{( n , m )} donde m + n = s . Estas también son irreps reales, pero como se muestra arriba, se dividen en conjugados complejos.

En estos casos, D se refiere a cualquiera de D ( J ) , D ( K ) o una transformación de Lorentz completa D (Λ) .

Ecuaciones de onda relativistas

En el contexto de la ecuación de Dirac y la ecuación de Weyl , los espinores de Weyl que satisfacen la ecuación de Weyl se transforman bajo las representaciones de espín irreducibles más simples del grupo de Lorentz, ya que el número cuántico de espín en este caso es el número distinto de cero más pequeño permitido: 1/2. El espinor de Weyl zurdo de 2 componentes se transforma bajo D ^{(1/2, 0)} y el espinor de Weyl dextrógiro de 2 componentes se transforma bajo D ^{(0, 1/2)} . Los espinores de Dirac que satisfacen la ecuación de Dirac se transforman bajo la representación D ^{(1/2, 0)} ⊕ D ^{(0, 1/2)} , la suma directa de las irreps para los espinores de Weyl.

El grupo de Poincaré en mecánica cuántica relativista y teoría de campos

Las traslaciones espaciales , las traslaciones temporales , las rotaciones y los impulsos , todos tomados en conjunto, constituyen el grupo de Poincaré . Los elementos del grupo son las tres matrices de rotación y las tres matrices de impulso (como en el grupo de Lorentz), y una para las traslaciones temporales y tres para las traslaciones espaciales en el espacio-tiempo. Hay un generador para cada una. Por lo tanto, el grupo de Poincaré es de 10 dimensiones.

En la relatividad especial , el espacio y el tiempo se pueden reunir en un vector de cuatro posiciones X = ( ct , − r ) , y en paralelo también se pueden reunir la energía y el momento, que se combinan en un vector de cuatro momentos P = ( E / c , − p ) . Teniendo en cuenta la mecánica cuántica relativista, los parámetros de duración temporal y desplazamiento espacial (cuatro en total, uno para el tiempo y tres para el espacio) se combinan en un desplazamiento espaciotemporal Δ X = ( c Δ t , −Δ r ) , y los operadores de energía y momento se insertan en el cuatro momentos para obtener un operador de cuatro momentos,

$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\,,}$$

cuales son los generadores de traducciones espacio-temporales (cuatro en total, una temporal y tres espaciales):

$${\displaystyle {\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat {\mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.}$$

Existen relaciones de conmutación entre los componentes cuatrimomento P (generadores de traslaciones espacio-temporales) y momento angular M (generadores de transformaciones de Lorentz), que definen el álgebra de Poincaré: ^{[10] [11]}

• ${\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,}$

donde η es el tensor métrico de Minkowski . (Es común dejar de lado los operadores de cuatro momentos en las relaciones de conmutación). Estas ecuaciones son una expresión de las propiedades fundamentales del espacio y el tiempo en la medida en que se las conoce hoy en día. Tienen una contraparte clásica donde los conmutadores se reemplazan por corchetes de Poisson .

Para describir el espín en la mecánica cuántica relativista, se utiliza el pseudovector de Pauli-Lubanski

$${\displaystyle W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$$

un operador de Casimir , es la contribución de espín constante al momento angular total, y existen relaciones de conmutación entre P y W y entre M y W :

$${\displaystyle \left[P^{\mu },W^{\nu }\right]=0\,,}$$ $${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu }W^{\mu }-\eta ^{\rho \mu }W^{\nu }\right)\,,}$$ $${\displaystyle \left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }\,.}$$

Los invariantes construidos a partir de W , instancias de invariantes de Casimir, se pueden utilizar para clasificar representaciones irreducibles del grupo de Lorentz.

Simetrías en la teoría cuántica de campos y la física de partículas

Grupos unitarios en la teoría cuántica de campos

La teoría de grupos es una forma abstracta de analizar matemáticamente las simetrías. Los operadores unitarios son fundamentales para la teoría cuántica, por lo que los grupos unitarios son importantes en la física de partículas. El grupo de matrices cuadradas unitarias de dimensión N se denota U( N ). Los operadores unitarios preservan los productos internos, lo que significa que las probabilidades también se preservan, por lo que la mecánica cuántica del sistema es invariante bajo transformaciones unitarias. Sea un operador unitario, por lo que el inverso es el adjunto hermítico , que conmuta con el hamiltoniano: ${\displaystyle {\widehat {U}}}$ ${\displaystyle {\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\dagger }}$

$${\displaystyle \left[{\widehat {U}},{\widehat {H}}\right]=0}$$

entonces el observable correspondiente al operador se conserva, y el hamiltoniano es invariante bajo la transformación . ${\displaystyle {\widehat {U}}}$ ${\displaystyle {\widehat {U}}}$

Dado que las predicciones de la mecánica cuántica deberían ser invariantes bajo la acción de un grupo, los físicos buscan transformaciones unitarias para representar al grupo.

Los subgrupos importantes de cada U( N ) son aquellas matrices unitarias que tienen determinante unitario (o son "unimodulares"): éstas se denominan grupos unitarios especiales y se denotan SU( N ).

Tu(1)

El grupo unitario más simple es U(1), que son simplemente los números complejos de módulo 1. Esta entrada de matriz unidimensional tiene la forma:

$${\displaystyle U=e^{-i\theta }}$$

donde θ es el parámetro del grupo, y el grupo es abeliano, ya que las matrices unidimensionales siempre conmutan bajo la multiplicación de matrices. Los lagrangianos en la teoría cuántica de campos para campos escalares complejos suelen ser invariantes bajo transformaciones U(1). Si hay un número cuántico a asociado con la simetría U(1), por ejemplo, el barión y los tres números leptónicos en interacciones electromagnéticas, tenemos:

$${\displaystyle U=e^{-ia\theta }}$$

U(2) y SU(2)

La forma general de un elemento de un elemento U(2) está parametrizada por dos números complejos a y b :

$${\displaystyle U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{\star }&a^{\star }\\\end{pmatrix}}}$$

y para SU(2), el determinante está restringido a 1:

$${\displaystyle \det(U)=aa^{\star }+bb^{\star }={|a|}^{2}+{|b|}^{2}=1}$$

En el lenguaje de la teoría de grupos, las matrices de Pauli son los generadores del grupo unitario especial en dos dimensiones, denominado SU(2). Su relación de conmutación es la misma que para el momento angular orbital, excepto por un factor de 2:

$${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{abc}\sigma _{c}}$$

Un elemento de grupo de SU(2) se puede escribir:

$${\displaystyle U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=e^{i\theta \sigma _{j}/2}}$$

donde σ _j es una matriz de Pauli, y los parámetros del grupo son los ángulos girados alrededor de un eje.

El oscilador armónico cuántico isótropo bidimensional tiene un grupo de simetría SU(2), mientras que el álgebra de simetría del oscilador anisotrópico racional es una extensión no lineal de u(2). ^[12]

U(3) y SU(3)

Las ocho matrices de Gell-Mann λ _n (ver artículo sobre ellas y las constantes de estructura) son importantes para la cromodinámica cuántica . Surgieron originalmente en la teoría SU(3) del sabor, que todavía tiene importancia práctica en la física nuclear. Son los generadores del grupo SU(3), por lo que un elemento de SU(3) se puede escribir de forma análoga a un elemento de SU(2):

$${\displaystyle U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^{8}\theta _{n}\lambda _{n}\right)}$$

donde θ _n son ocho parámetros independientes. Las matrices λ _n satisfacen el conmutador:

$${\displaystyle \left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]=2if_{abc}\lambda _{c}}$$

donde los índices a , b , c toman los valores 1, 2, 3, ..., 8. Las constantes de estructura f _abc son totalmente antisimétricas en todos los índices análogos a los de SU(2). En la base de carga de color estándar ( r para rojo, g para verde, b para azul):

$${\displaystyle |r\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |g\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |b\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$

Los estados de color son estados propios de las matrices λ ₃ y λ ₈ , mientras que las otras matrices mezclan estados de color entre sí.

Los ocho estados de gluones (vectores columna de 8 dimensiones) son estados propios simultáneos de la representación adjunta de SU(3) , la representación de 8 dimensiones que actúa sobre su propia álgebra de Lie su(3) , para las matrices λ ₃ y λ _8. Al formar productos tensoriales de representaciones (la representación estándar y su dual) y tomar los cocientes apropiados, los protones y neutrones, y otros hadrones son estados propios de varias representaciones de SU(3) de color. Las representaciones de SU(3) pueden describirse mediante un "teorema del peso más alto". ^[13]

Materia y antimateria

En la mecánica cuántica relativista, las ecuaciones de onda relativistas predicen una notable simetría de la naturaleza: cada partícula tiene una antipartícula correspondiente . Esto está matemáticamente contenido en los campos de espinores que son las soluciones de las ecuaciones de onda relativistas.

La conjugación de cargas cambia las partículas y las antipartículas. Las leyes físicas y las interacciones que no se modifican con esta operación tienen simetría C.

Simetrías del espacio-tiempo discretas

• La paridad refleja la orientación de las coordenadas espaciales de zurdo a diestro. De manera informal, el espacio se "refleja" en su imagen especular. Las leyes físicas y las interacciones que no se modifican con esta operación tienen simetría P.
• La inversión del tiempo invierte las coordenadas temporales, lo que equivale a que el tiempo transcurra del futuro al pasado. Una propiedad curiosa del tiempo, que el espacio no tiene, es que es unidireccional: las partículas que viajan hacia adelante en el tiempo son equivalentes a las antipartículas que viajan hacia atrás en el tiempo. Las leyes físicas y las interacciones que no se modifican con esta operación tienen simetría T.

do,PAG,yosimetrías

• Paridad (física) § Moléculas
• Teorema CPT
• Violación de CP
• Simetría PT
• Violación de Lorentz

Teoría de calibre

En electrodinámica cuántica , el grupo de simetría local es U(1) y es abeliano . En cromodinámica cuántica , el grupo de simetría local es SU(3) y no es abeliano .

La interacción electromagnética está mediada por fotones , que no tienen carga eléctrica. El tensor electromagnético tiene un campo electromagnético de cuatro potenciales que posee simetría de calibre.

La interacción fuerte (de color) está mediada por gluones , que pueden tener ocho cargas de color . Hay ocho tensores de intensidad de campo de gluones con campos de cuatro potenciales de gluones correspondientes , cada uno de los cuales posee simetría de calibre.

La fuerte interacción (de color)

Carga de color

De manera análoga al operador de espín, existen operadores de carga de color en términos de las matrices de Gell-Mann λ _j :

$${\displaystyle {\hat {F}}_{j}={\frac {1}{2}}\lambda _{j}}$$

y como la carga de color es una carga conservada, todos los operadores de carga de color deben conmutar con el hamiltoniano:

$${\displaystyle \left[{\hat {F}}_{j},{\hat {H}}\right]=0}$$

Isospín

El isospín se conserva en interacciones fuertes.

Las interacciones débiles y electromagnéticas

Transformación de dualidad

Los monopolos magnéticos pueden ser realizados teóricamente, aunque las observaciones y teorías actuales son compatibles con su existencia o no. Las cargas eléctricas y magnéticas pueden efectivamente "rotarse unas en otras" mediante una transformación de dualidad .

Simetría electrodébil

• Simetría electrodébil
• Ruptura de simetría electrodébil

Supersimetría

Una superálgebra de Lie es un álgebra en la que los elementos base (adecuados) tienen una relación de conmutación o una relación de anticonmutación. Se han propuesto simetrías en el sentido de que todas las partículas fermiónicas tienen análogos bosónicos, y viceversa. Estas simetrías tienen atractivo teórico en el sentido de que no se hacen suposiciones adicionales (como la existencia de cuerdas) que excluyan las simetrías. Además, al suponer la supersimetría, se pueden resolver una serie de cuestiones desconcertantes. Estas simetrías, que están representadas por las superálgebras de Lie, no se han confirmado experimentalmente. Ahora se cree que son simetrías rotas, si es que existen. Pero se ha especulado que la materia oscura está constituida por gravitinos , una partícula de espín 3/2 con masa, siendo su pareja supersimétrica el gravitón .

Simetría de intercambio

El concepto de simetría de intercambio se deriva de un postulado fundamental de la estadística cuántica , que establece que ninguna cantidad física observable debería cambiar después de intercambiar dos partículas idénticas . Afirma que debido a que todos los observables son proporcionales a para un sistema de partículas idénticas, la función de onda debe permanecer igual o cambiar de signo tras dicho intercambio. De manera más general, para un sistema de n partículas idénticas, la función de onda debe transformarse en una representación irreducible del grupo simétrico finito S _n . Resulta que, según el teorema de estadística de espín , los estados fermiónicos se transforman en la representación irreducible antisimétrica de S _n y los estados bosónicos en la representación irreducible simétrica. ${\displaystyle \left|\psi \right|^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Debido a que el intercambio de dos partículas idénticas es matemáticamente equivalente a la rotación de cada partícula en 180 grados (y por lo tanto a la rotación del marco de una partícula en 360 grados), ^[14] la naturaleza simétrica de la función de onda depende del espín de la partícula después de que se le aplica el operador de rotación . Las partículas de espín entero no cambian el signo de su función de onda tras una rotación de 360 ​​grados; por lo tanto, el signo de la función de onda de todo el sistema no cambia. Las partículas de espín semienteras cambian el signo de su función de onda tras una rotación de 360 ​​grados (ver más en el teorema de estadística de espín ).

Las partículas cuya función de onda no cambia de signo al intercambiarse se denominan bosones o partículas con una función de onda simétrica . Las partículas cuya función de onda del sistema cambia de signo se denominan fermiones o partículas con una función de onda antisimétrica .

Por lo tanto, los fermiones obedecen a diferentes estadísticas (llamadas estadísticas de Fermi-Dirac ) que los bosones (que obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein ). Una de las consecuencias de las estadísticas de Fermi-Dirac es el principio de exclusión para los fermiones: no hay dos fermiones idénticos que puedan compartir el mismo estado cuántico (en otras palabras, la función de onda de dos fermiones idénticos en el mismo estado es cero). Esto, a su vez, da lugar a una presión de degeneración para los fermiones: la fuerte resistencia de los fermiones a la compresión en un volumen más pequeño. Esta resistencia da lugar a la “rigidez” de la materia atómica ordinaria (ya que los átomos contienen electrones que son fermiones).

Véase también

• Grupo simétrico
• Teorema de estadística de espín
• Representación proyectiva
• Operador Casimir
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Simetrías en la relatividad general
• Grupo de renormalización
• Representación de un grupo de Lie
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Teoría de la representación del grupo de Lorentz

Notas al pie

1. A veces se utilizan las abreviaturas de tuplas : $${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)_{m'n',mn}\equiv \left[\left(A_{x}\right)_{m'n',mn},\left(A_{y}\right)_{m'n',mn},\left(A_{z}\right)_{m'n',mn}\right]}$$ $${\displaystyle \left(\mathbf {B} \right)_{m'n',mn}\equiv \left[\left(B_{x}\right)_{m'n',mn},\left(B_{y}\right)_{m'n',mn},\left(B_{z}\right)_{m'n',mn}\right]}$$ $${\displaystyle \left(\mathbf {J} ^{(m)}\right)_{m'm}\equiv \left[\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm},\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm},\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\right]}$$

Referencias

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14. Feynman, Richard (13 de julio de 1999). The 1986 Dirac Memorial Lectures . Cambridge University Press. pág. 57. ISBN 978-0-521-65862-1.

Lectura adicional

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• Chaichian, M.; Hagedorn, R. (1998). Simetría en mecánica cuántica: del momento angular a la supersimetría . Serie de estudiantes de posgrado en física. Instituto de Física (Bristol y Filadelfia). ISBN 0-7503-0408-1.
• Hall, Brian C. (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 267. Springer. Bibcode :2013qtm..book.....H. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. Número de identificación del sujeto  117837329.
• Hall, Brian C. (2015). Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 222 (2.ª ed.). Springer. doi :10.1007/978-3-319-13467-3. ISBN. 978-3-319-13466-6.
• Haywood, S. (2011). Simetrías y leyes de conservación en física de partículas: Introducción a la teoría de grupos para físicos de partículas. World Scientific. ISBN 978-184-816-703-2.
• Ladd, MFC (1989). Simetría en moléculas y cristales. Ciencia del estado sólido. Serie de química física de Ellis Horwood. ISBN 0-85312-255-5.
• Ludwig, W.; Falter, C. (1996). Simetrías en física . Ciencia del estado sólido (2.ª ed.). Springer. ISBN 3-540-60284-4.
• Martin, BR; Shaw, G. (2013). Física de partículas. Manchester Physics Series (3.ª ed.). Wiley. pág. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• McMahon, D. (2008). Teoría cuántica de campos . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
• Moretti, V. (2017). Teoría espectral y mecánica cuántica; Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica. Unitext. Vol. 110 (2.ª ed.). Springer. Bibcode :2017stqm.book.....M. doi :10.1007/978-3-319-70706-8. ISBN 978-3-319-70705-1.S2CID125121522  .​

Enlaces externos

• (2010) Operadores tensoriales irreducibles y el teorema de Wigner-Eckart Archivado el 20 de julio de 2014 en Wayback Machine.
• Reece, RD (2006). "Una derivación del operador de momento mecánico cuántico en la representación de la posición".
• Soper, DE (2011). "Posición y momento en mecánica cuántica" (PDF) .
• Grupos de mentiras
• Porter, F. (2009). «Grupos de Lie y álgebras de Lie» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de marzo de 2017. Consultado el 5 de junio de 2013 .
• Grupos continuos, grupos de Lie y álgebras de Lie Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine
• Mulders, PJ (noviembre de 2011). "Teoría cuántica de campos" (PDF) . Departamento de Física Teórica, Universidad VU. 6.04.
• Hall, BC (2000). "Introducción elemental a grupos y representaciones". arXiv : math-ph/0005032 .