Elemento Casimir

Elemento distinguido del centro de un álgebra de Lie

En matemáticas , un elemento de Casimir (también conocido como invariante de Casimir u operador de Casimir ) es un elemento distinguido del centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie . Un ejemplo prototípico es el operador de momento angular al cuadrado, que es un elemento de Casimir del grupo de rotación tridimensional .

En términos más generales, los elementos de Casimir se pueden utilizar para referirse a cualquier elemento del centro del álgebra envolvente universal. Se sabe que el álgebra de estos elementos es isomorfa a un álgebra polinómica a través del isomorfismo de Harish-Chandra .

El elemento Casimir recibe su nombre de Hendrik Casimir , quien los identificó en su descripción de la dinámica del cuerpo rígido en 1931. ^[1]

Definición

El invariante de Casimir más utilizado es el invariante cuadrático. Es el más sencillo de definir y, por lo tanto, se da en primer lugar. Sin embargo, también pueden existir invariantes de Casimir de orden superior, que corresponden a polinomios simétricos homogéneos de orden superior.

Elemento Casimir cuadrático

Supóngase que es un álgebra de Lie -dimensional . Sea B una forma bilineal no degenerada en que es invariante bajo la acción adjunta de sobre sí misma, lo que significa que para todo X , Y , Z en . (La opción más típica de B es la forma de Killing si es semisimple ). Sea ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

ser cualquier base de , y ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

sea ​​la base dual de con respecto a B . El elemento de Casimir para B es el elemento del álgebra envolvente universal dado por la fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

Aunque la definición se basa en la elección de una base para el álgebra de Lie, es fácil demostrar que Ω es independiente de esta elección. Por otra parte, Ω depende de la forma bilineal B . La invariancia de B implica que el elemento de Casimir conmuta con todos los elementos del álgebra de Lie , y por lo tanto se encuentra en el centro del álgebra envolvente universal . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Invariante de Casimir cuadrático de una representación lineal y de una acción suave

Dada una representación ρ de en un espacio vectorial V , posiblemente de dimensión infinita, el invariante de Casimir de ρ se define como ρ (Ω), el operador lineal en V dado por la fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

Una forma específica de esta construcción juega un papel importante en la geometría diferencial y el análisis global. Supóngase que un grupo de Lie conexo G con álgebra de Lie actúa sobre una variedad diferenciable M . Considérese la representación correspondiente ρ de G en el espacio de funciones suaves en M. Entonces los elementos de están representados por operadores diferenciales de primer orden en M. En esta situación, el invariante de Casimir de ρ es el operador diferencial de segundo orden invariante G en M definido por la fórmula anterior. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Especializando más, si sucede que M tiene una métrica riemanniana sobre la que G actúa transitivamente por isometrías, y el subgrupo estabilizador G _x de un punto actúa irreduciblemente sobre el espacio tangente de M en x , entonces el invariante de Casimir de ρ es un múltiplo escalar del operador laplaciano que proviene de la métrica.

También se pueden definir invariantes de Casimir más generales, que aparecen comúnmente en el estudio de operadores pseudodiferenciales en la teoría de Fredholm .

Elementos de Casimir de orden superior

El artículo sobre álgebras envolventes universales ofrece una definición detallada y precisa de los operadores de Casimir y una exposición de algunas de sus propiedades. Todos los operadores de Casimir corresponden a polinomios homogéneos simétricos en el álgebra simétrica de representación adjunta : ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}$

donde m es el orden del tensor simétrico y la forma una base de espacio vectorial de Esto corresponde a un polinomio homogéneo simétrico ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$

en m variables indeterminadas en el álgebra polinómica sobre un cuerpo K. La razón de la simetría se desprende del teorema PBW y se analiza con mucho más detalle en el artículo sobre álgebras envolventes universales . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$

Además, un elemento de Casimir debe pertenecer al centro del álgebra envolvente universal, es decir, debe obedecer

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

para todos los elementos base En términos del tensor simétrico correspondiente , esta condición es equivalente a que el tensor sea invariante: ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

¿Dónde están las constantes de estructura del álgebra de Lie , es decir? ${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}$

Propiedades

Unicidad del elemento cuadrático de Casimir

Dado que para un álgebra de Lie simple cada forma bilineal invariante es un múltiplo de la forma de Killing , el elemento de Casimir correspondiente está definido de forma única hasta una constante. Para un álgebra de Lie semisimple general, el espacio de formas bilineales invariantes tiene un vector base para cada componente simple y, por lo tanto, lo mismo es cierto para el espacio de operadores de Casimir correspondientes.

Relación con el Laplaciano enGRAMO

Si es un grupo de Lie compacto con álgebra de Lie , la elección de una forma bilineal invariante no degenerada en corresponde a una elección de métrica riemanniana biinvariante en . Entonces, bajo la identificación del álgebra envolvente universal de con los operadores diferenciales invariantes por la izquierda en , el elemento de Casimir de la forma bilineal en se aplica al laplaciano de (con respecto a la métrica biinvariante correspondiente). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Elementos de Casimir y teoría de la representación

Por el teorema de Racah , ^[3] para un álgebra de Lie semisimple la dimensión del centro del álgebra envolvente universal es igual a su rango . El operador de Casimir da el concepto de laplaciano en un grupo de Lie semisimple general ; pero no existe un análogo único del laplaciano, para rango > 1.

Por definición, cualquier miembro del centro del álgebra envolvente universal conmuta con todos los demás elementos del álgebra. Por el lema de Schur , en cualquier representación irreducible del álgebra de Lie, cualquier elemento de Casimir es proporcional a la identidad. Los valores propios de todos los elementos de Casimir se pueden utilizar para clasificar las representaciones del álgebra de Lie (y, por lo tanto, también de su grupo de Lie ). ^{[4] [ aclaración necesaria ]}

La masa física y el espín son ejemplos de estos valores propios, al igual que muchos otros números cuánticos que se encuentran en la mecánica cuántica . Superficialmente, los números cuánticos topológicos constituyen una excepción a este patrón; aunque teorías más profundas insinúan que se trata de dos facetas del mismo fenómeno. ^{[ ¿según quién? ] [ cita requerida ]} .

Sea el módulo de peso más alto de dimensión finita de peso . Entonces el elemento de Casimir cuadrático actúa sobre por la constante ${\displaystyle L(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L(\lambda )}$

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$

donde es el peso definido por la mitad de la suma de las raíces positivas. ^[5] Si no es trivial (es decir, si ), entonces esta constante es distinta de cero. Después de todo, dado que es dominante, si , entonces y , lo que demuestra que . Esta observación juega un papel importante en la prueba del teorema de Weyl sobre reducibilidad completa . También es posible demostrar la no desaparición del valor propio de una manera más abstracta (sin usar una fórmula explícita para el valor propio) utilizando el criterio de Cartan; consulte las Secciones 4.3 y 6.2 en el libro de Humphreys. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$

Tensores invariantes simétricos de álgebras de Lie simples

Un elemento de Casimir de orden corresponde a un tensor invariante simétrico del mismo orden mediante . Construir y relacionar elementos de Casimir es equivalente a hacer lo mismo para tensores invariantes simétricos. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}}$

Construcción de tensores invariantes simétricos

Los tensores invariantes simétricos pueden construirse como trazos simetrizados en la representación definitoria ^[6]

${\displaystyle k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)}$

donde los índices se elevan y bajan según la forma Killing , y se simetrizan bajo todas las permutaciones.

También es posible construir tensores invariantes simétricos a partir de tensores invariantes antisimétricos del tipo

${\displaystyle \Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}[i_{2}}^{j_{1}}\cdots f_{i_{2m-3}i_{2m-2}]}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}}$

El tensor invariante simétrico ^[7]

${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}}$

no tiene traza para . Dichos tensores invariantes son ortogonales entre sí en el sentido de que si . ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0}$ ${\displaystyle n>m}$

En el caso del álgebra de Lie simple , introduzcamos el tensor completamente simétrico de orden tres tal que, en la representación definitoria, ${\displaystyle A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}}$ ${\displaystyle d_{ijk}}$

${\displaystyle X_{i}X_{j}={\frac {2}{\ell +1}}\delta _{ij}+f_{ij}^{k}X_{k}+d_{ij}^{k}X_{k}}$

Entonces los tensores invariantes simétricos de Sudbery son ^[6]

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}}$

Relaciones entre tensores invariantes simétricos

Para un álgebra de Lie simple de rango , existen tensores invariantes simétricos algebraicamente independientes. Por lo tanto, cualquier tensor de este tipo puede expresarse en términos de tensores dados. Existe un método sistemático para derivar conjuntos completos de identidades entre tensores invariantes simétricos. ^[6] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

En el caso del álgebra de Lie , los tensores invariantes simétricos obedecen a . ^[7] Reexpresar estos tensores en términos de otras familias como o da lugar a relaciones no triviales dentro de estas otras familias. Por ejemplo, los tensores de Sudbery pueden expresarse en términos de , con relaciones del tipo ^[7] ${\displaystyle A_{l}}$ ${\displaystyle t^{(m)}}$ ${\displaystyle t^{(m>l+1)}=0}$ ${\displaystyle d^{(m)}}$ ${\displaystyle k^{(m)}}$ ${\displaystyle d^{(m>l+1)}}$ ${\displaystyle d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

Las constantes de estructura también obedecen a identidades que no están directamente relacionadas con tensores invariantes simétricos, por ejemplo ^[8]

${\displaystyle 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}}$

Ejemplos

Caso desl(2)

El álgebra de Lie consta de matrices complejas de dos por dos con traza cero. Hay tres elementos de base estándar, , , y , con ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los conmutadores son

${\displaystyle {\begin{aligned}[][e,f]&=h,&[h,f]&=-2f,&[h,e]&=2e.\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que el elemento Casimir es

$${\displaystyle \Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe={\frac {3}{2}}I_{2}.}$$

Caso deentonces(3)

El álgebra de Lie es el álgebra de Lie de SO(3) , el grupo de rotación para el espacio euclidiano tridimensional . Es simple de rango 1, y por lo tanto tiene un único Casimir independiente. La forma de Killing para el grupo de rotación es simplemente el delta de Kronecker , y por lo tanto el invariante de Casimir es simplemente la suma de los cuadrados de los generadores del álgebra. Es decir, el invariante de Casimir está dado por ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

Consideremos la representación irreducible de en la que el valor propio más grande de es , donde los valores posibles de son . La invariancia del operador de Casimir implica que es un múltiplo del operador identidad . Esta constante se puede calcular explícitamente, dando el siguiente resultado ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$

En mecánica cuántica , el valor escalar se denomina momento angular total . Para las representaciones matriciales de dimensión finita del grupo de rotación, siempre toma valores enteros (para representaciones bosónicas ) o valores semienteros (para representaciones fermiónicas ). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

Para un valor dado de , la representación matricial es -dimensional. Así, por ejemplo, la representación tridimensional de corresponde a , y viene dada por los generadores ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \ell =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

donde los factores de son necesarios para el acuerdo con la convención de física (utilizada aquí) de que los generadores deben ser operadores autoadjuntos sesgados. ^[10] ${\displaystyle i}$

El invariante cuadrático de Casimir se puede calcular fácilmente a mano, con el resultado de que

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

como cuando . ${\displaystyle \ell (\ell +1)=2}$ ${\displaystyle \ell =1}$

Esto es lo que queremos decir cuando decimos que los valores propios del operador de Casimir se utilizan para clasificar las representaciones irreducibles de un álgebra de Lie (y de un grupo de Lie asociado): dos representaciones irreducibles de un álgebra de Lie son equivalentes si y solo si su elemento de Casimir tiene el mismo valor propio. En este caso, las irreductibles de están completamente determinadas por el valor de , o equivalentemente, por el valor de . De manera similar, la representación bidimensional tiene una base dada por las matrices de Pauli , que corresponden al espín 1 ⁄ 2 , y nuevamente se puede verificar la fórmula para el Casimir mediante cálculo directo. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$

Véase también

• Isomorfismo Harish-Chandra
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Coeficientes de Clebsch-Gordan

Referencias

1. Oliver, David (2004). El corcel peludo de la física: belleza matemática en el mundo físico . Springer. pág. 81. ISBN 978-0-387-40307-6.
2. Propuesta 10.5 del Salón 2015
3. Racah, Giulio (1965). Teoría de grupos y espectroscopia . Springer Berlin Heidelberg.
4. Xavier Bekaert, "Álgebras envolventes universales y algunas aplicaciones en física" (2005) Conferencia, Modave Summer School in Mathematical Physics .
5. Propuesta 10.6 del Salón 2015
6. Mountain, Arthur J. (1998). "Tensores invariantes y operadores de Casimir para grupos de Lie compactos simples". Revista de física matemática . 39 (10): 5601–5607. arXiv : physics/9802012 . Código Bibliográfico :1998JMP....39.5601M. doi :10.1063/1.532552. ISSN  0022-2488. S2CID  16436468.
7. Azcarraga, de; Macfarlane, AJ; Mountain, AJ; Bueno, JC Perez (1997-06-03). "Tensores invariantes para grupos simples". Física nuclear B . 510 (3): 657–687. arXiv : physics/9706006 . doi :10.1016/S0550-3213(97)00609-3. S2CID  14665950.
8. Haber, Howard E. (31 de diciembre de 2019). "Relaciones útiles entre los generadores en las representaciones definitorias y adjuntas de SU(N)". SciPost Physics Lecture Notes . arXiv : 1912.13302v2 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.21 . S2CID  42081451.
9. Propuesta 17.8 de Hall 2013
10. Proposición 17.3 de Hall 2013

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H, ISBN 9781461471165
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666

Lectura adicional

• Humphreys, James E. (1978). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 9 (segunda edición, edición revisada). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de Lie . Dover Publications. Págs. 243–249. ISBN. 0-486-63832-4.
• https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element