Base estándar

Vectores cuyos componentes son todos 0 excepto uno que es 1

Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores base estándar i , j y k .

En matemáticas , la base estándar (también llamada base natural o base canónica ) de un espacio vectorial de coordenadas (como o ) es el conjunto de vectores, cada uno de cuyos componentes son todos cero, excepto uno que es igual a 1. ^[1] Por ejemplo , en el caso del plano euclidiano formado por los pares ( x , y ) de números reales , la base estándar está formada por los vectores ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}$

De manera similar, la base estándar para el espacio tridimensional está formada por vectores ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$

Aquí el vector e _x apunta en la dirección x , el vector e _y apunta en la dirección y y el vector e _z apunta en la dirección z . Hay varias notaciones comunes para vectores de base estándar, incluidas { e _x ,  e _y ,  e _z }, { e ₁ ,  e ₂ ,  e ₃ }, { i ,  j ,  k } y { x ,  y ,  z } . Estos vectores a veces se escriben con un sombrero para enfatizar su condición de vectores unitarios ( vectores unitarios estándar ).

Estos vectores son una base en el sentido de que cualquier otro vector puede expresarse de forma única como una combinación lineal de estos. ^[2] Por ejemplo, cada vector v en el espacio tridimensional se puede escribir de forma única como

${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$

los escalares ,  siendo  los componentes escalares del vector v . ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$

En el espacio euclidiano de n dimensiones , la base estándar consta de n vectores distintos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$

donde e _i denota el vector con un 1 en la iésima coordenada y 0 en otros lugares.

Se pueden definir bases estándar para otros espacios vectoriales , cuya definición involucra coeficientes , como polinomios y matrices . En ambos casos, la base estándar consta de elementos del espacio tales que todos los coeficientes menos uno son 0 y el distinto de cero es 1. Para los polinomios, la base estándar consta de monomios y comúnmente se denomina base monomial . Para las matrices , la base estándar consta de m × n -matrices con exactamente una entrada distinta de cero, que es 1. Por ejemplo, la base estándar para matrices 2×2 está formada por las 4 matrices ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Propiedades

Por definición, la base estándar es una secuencia de vectores unitarios ortogonales . En otras palabras, es una base ordenada y ortonormal .

Sin embargo, una base ortonormal ordenada no es necesariamente una base estándar. Por ejemplo, los dos vectores que representan una rotación de 30° de la base estándar 2D descrita anteriormente, es decir

${\displaystyle v_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\,}$

${\displaystyle v_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\,}$

También son vectores unitarios ortogonales, pero no están alineados con los ejes del sistema de coordenadas cartesiano , por lo que la base con estos vectores no cumple con la definición de base estándar.

Generalizaciones

También existe una base estándar para el anillo de polinomios en n indeterminados sobre un cuerpo , a saber, los monomios .

Todos los anteriores son casos especiales de la familia indexada.

${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$

donde es cualquier conjunto y es el delta de Kronecker , igual a cero siempre que i ≠ j e igual a 1 si i = j . Esta familia es la base canónica del módulo R ( módulo gratuito ) ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle R^{(I)}}$

de todas las familias

${\displaystyle f=(f_{i})}$

de I a un anillo R , que son cero excepto por un número finito de índices , si interpretamos 1 como 1 _R , la unidad en R. ^[3]

Otros usos

La existencia de otras bases "estándar" se ha convertido en un tema de interés en la geometría algebraica , comenzando con el trabajo de Hodge de 1943 sobre los Grassmannianos . Ahora es parte de la teoría de la representación llamada teoría monomial estándar . La idea de base estándar en el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie está establecida por el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .

Las bases de Gröbner también se denominan a veces bases estándar.

En física , los vectores de base estándar para un espacio euclidiano dado a veces se denominan versores de los ejes del sistema de coordenadas cartesiano correspondiente.

Ver también

• Unidades canónicas
• Ejemplos de espacios vectoriales § Espacio de coordenadas generalizado

Citas

1. Romano 2008, pag. 47, cap. 1.
2. Axler (2015) pág. 39-40, §2.29
3. Romano 2008, pag. 131, cap. 5.

Referencias

• Axler, Sheldon (2015) [18 de diciembre de 2014]. Álgebra lineal bien hecha . Textos de Pregrado en Matemáticas (3ª ed.). Publicación Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Romano, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas (Tercera ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-72828-5.(página 47)

• Ryan, Patrick J. (2000). Geometría euclidiana y no euclidiana: un enfoque analítico . Cambridge; Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27635-7.(página 198)

• Schneider, Philip J.; Eberly, David H. (2003). Herramientas geométricas para gráficos por computadora . Ámsterdam; Boston: Editores Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-594-0.(página 112)