Pseudovector de Pauli-Lubanski

Operador en la teoría cuántica de campos

En física , el pseudovector de Pauli-Lubanski es un operador definido a partir del momento y el momento angular , utilizado en la descripción cuántico-relativista del momento angular. Recibe su nombre en honor a Wolfgang Pauli y Józef Lubański , ^[1]

Describe los estados de espín de partículas en movimiento. ^[2] Es el generador del pequeño grupo del grupo de Poincaré , es decir, el subgrupo máximo (con cuatro generadores) que deja invariantes los valores propios del vector de cuatro momentos P _μ . ^[3]

Definición

Generalmente se denota por W (o con menor frecuencia por S ) y se define por: ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle W_{\mu }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\tfrac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$

dónde

• ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$es el símbolo de Levi-Civita totalmente antisimétrico de cuatro dimensiones ;
• ${\displaystyle J^{\nu \rho }}$es el operador tensor del momento angular relativista ( ); ${\displaystyle M^{\nu \rho }}$
• ${\displaystyle P^{\sigma }}$es el operador de cuatro momentos .

En el lenguaje del álgebra exterior , se puede escribir como el dual de Hodge de un trivector , ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {W} =\star (\mathbf {J} \wedge \mathbf {p} ).}$$

Nota , y donde es el generador de rotaciones y es el generador de boosts. ${\displaystyle W_{0}={\vec {J}}\cdot {\vec {P}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}=E{\vec {J}}-{\vec {P}}\times {\vec {K}}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {K}}}$

W _μ evidentemente satisface $${\displaystyle P^{\mu }W_{\mu }=0,}$$

así como las siguientes relaciones de conmutador , $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[P^{\mu },W^{\nu }\right]&=0,\\\left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]&=i\left(g^{\rho \nu }W^{\mu }-g^{\rho \mu }W^{\nu }\right),\end{aligned}}}$$

Como consecuencia, $${\displaystyle \left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }.}$$

El escalar W _μ W ^μ es un operador invariante de Lorentz y conmuta con el cuadrimpulso, por lo que puede servir como etiqueta para representaciones unitarias irreducibles del grupo de Poincaré . Es decir, puede servir como etiqueta para el espín , una característica de la estructura espaciotemporal de la representación, además de la etiqueta invariante relativista P _μ P ^μ para la masa de todos los estados en una representación.

Pequeño grupo

En un espacio propio del operador de 4 momentos con valor propio de 4 momentos del espacio de Hilbert de un sistema cuántico (o en realidad la representación estándar con ℝ ⁴ interpretado como espacio de momento sobre el que actúan matrices de 5×5 con el bloque 4×4 superior izquierdo como una transformación de Lorentz ordinaria, la última columna reservada para las traslaciones y la acción efectuada sobre elementos (vectores de columna) del espacio de momento con 1 añadido como una quinta fila, véanse los textos estándar ^{[8] [9]} ) se cumple lo siguiente: ^[10] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$

• Los componentes de con reemplazados por forman un álgebra de Lie. Es el álgebra de Lie del grupo de Little de , es decir, el subgrupo del grupo homogéneo de Lorentz que deja invariante. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P^{\mu }}$ ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle L_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• Para cada representación unitaria irreducible de existe una representación unitaria irreducible del grupo de Poincaré completo llamada representación inducida . ${\displaystyle L_{k}}$
• Se puede obtener un espacio de representación de la representación inducida mediante la aplicación sucesiva de elementos del grupo de Poincaré completo a un elemento distinto de cero de y extendiéndose por linealidad. ${\displaystyle S}$

La representación unitaria irreducible del grupo de Poincaré se caracteriza por los valores propios de los dos operadores de Casimir y . La mejor manera de ver que realmente se obtiene una representación unitaria irreducible es exhibir su acción sobre un elemento con valor propio de 4-momento arbitrario en el espacio de representación así obtenido. ^{[11] : 62–74} La irreducibilidad se desprende de la construcción del espacio de representación. ${\displaystyle P^{2}}$ ${\displaystyle W^{2}}$ ${\displaystyle p}$

Campos masivos

En la teoría cuántica de campos , en el caso de un campo masivo, el invariante de Casimir W _μ W ^μ describe el espín total de la partícula, con valores propios donde s es el número cuántico de espín de la partícula y m es su masa en reposo . $${\displaystyle W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}s(s+1),}$$

Es fácil ver esto en el marco de reposo de la partícula, el conmutador anterior que actúa sobre el estado de la partícula equivale a [ W _j , W _k ] = i ε _jkl W _l m ; por lo tanto, W → = mJ → y W ⁰ = 0 , de modo que el pequeño grupo equivale al grupo de rotación. Dado que esta es una cantidad invariante de Lorentz , será la misma en todos los demás marcos de referencia . $${\displaystyle W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}.}$$

También se acostumbra tomar W ³ para describir la proyección de giro a lo largo de la tercera dirección en el marco de reposo.

En sistemas móviles, al descomponer W = ( W ₀ , W → ) en componentes ( W ₁ , W ₂ , W ₃ ) , con W ₁ y W ₂ ortogonales a P → , y W ₃ paralelo a P → , el vector de Pauli–Lubanski puede expresarse en términos del vector de espín S → = ( ​​S ₁ , S ₂ , S ₃ ) (descompuesto de manera similar) como $${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}&=PS_{3},&W_{1}&=mS_{1},&W_{2}&=mS_{2},&W_{3}&={\frac {E}{c^{2}}}S_{3},\end{aligned}}}$$

¿Dónde está la relación energía-momento ? $${\displaystyle E^{2}=P^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$$

Los componentes transversales W ₁ , W ₂ , junto con S ₃ , satisfacen las siguientes relaciones de conmutador (que se aplican de forma general, no solo a representaciones de masa distinta de cero), $${\displaystyle {\begin{aligned}[][W_{1},W_{2}]&={\frac {ih}{2\pi }}\left(\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {P}{c}}\right)^{2}\right)S_{3},&[W_{2},S_{3}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{1},&[S_{3},W_{1}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{2}.\end{aligned}}}$$

Para partículas con masa distinta de cero y los campos asociados con dichas partículas, $${\displaystyle [W_{1},W_{2}]={\frac {ih}{2\pi }}m^{2}S_{3}.}$$

Campos sin masa

En general, en el caso de representaciones no masivas, se pueden distinguir dos casos. Para partículas sin masa, ^{[11] : 71–72} donde K → es el vector de momento dinámico de masa . Por lo tanto, matemáticamente, P ² = 0 no implica W ² = 0. $${\displaystyle W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-E^{2}\left((K_{2}-J_{1})^{2}+(K_{1}+J_{2})^{2}\right)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} -E^{2}\left(A^{2}+B^{2}\right),}$$

Representaciones de espín continuo

En el caso más general, los componentes de W → transversales a P → pueden ser distintos de cero, lo que da lugar a la familia de representaciones denominadas luxones cilíndricos ("luxón" es otro término para "partícula sin masa"), cuya propiedad identificativa es que los componentes de W → forman una subálgebra de Lie isomorfa al grupo euclidiano bidimensional ISO(2) , con el componente longitudinal de W → desempeñando el papel de generador de rotación y los componentes transversales el papel de generadores de traslación. Esto equivale a una contracción de grupo de SO(3) , y conduce a lo que se conoce como representaciones de espín continuo . Sin embargo, no se conocen casos físicos de partículas o campos fundamentales en esta familia. Se puede argumentar que los estados de espín continuo poseen un grado interno de libertad que no se observa en las partículas sin masa observadas. ^{[11] : 69–74}

Representaciones de helicidad

En un caso especial, es paralelo a o equivalentemente Para valores distintos de cero, esta restricción solo se puede imponer de manera consistente para luxones ( partículas sin masa ), ya que el conmutador de los dos componentes transversales de es proporcional a Para esta familia, y el invariante es, en cambio, dado por donde, por lo que el invariante está representado por el operador de helicidad . ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\vec {P}};}$ ${\displaystyle {\vec {W}}\times {\vec {P}}={\vec {\boldsymbol {0}}}.}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {P}}\,.}$ ${\displaystyle W^{2}=0}$ ${\displaystyle W^{\mu }=\lambda \,P^{\mu }}$ $${\displaystyle \left(W^{0}\right)^{2}=\left(W^{3}\right)^{2},}$$ $${\displaystyle W^{0}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {P}},}$$ $${\displaystyle W^{0}/P.}$$

Todas las partículas que interactúan con la fuerza nuclear débil , por ejemplo, caen en esta familia, ya que la definición de carga nuclear débil ( isospín débil ) implica helicidad, que, como se ha dicho anteriormente, debe ser invariante. La aparición de masa no nula en tales casos debe explicarse por otros medios, como el mecanismo de Higgs . Sin embargo, incluso después de tener en cuenta estos mecanismos de generación de masa, el fotón (y, por lo tanto, el campo electromagnético) sigue cayendo en esta clase, aunque los otros estados propios de masa de los portadores de la fuerza electrodébil (la Yo± bosón y antibosón y O0 bosón ) adquieren masa distinta de cero.

Anteriormente se consideraba que los neutrinos también pertenecían a esta clase. Sin embargo, como se ha observado que los neutrinos oscilan en su estado , ahora se sabe que al menos dos de los tres estados propios de masa de los neutrinos de helicidad izquierda y los antineutrinos de helicidad derecha deben tener una masa distinta de cero.

Véase también

• Centro de masas (relativista)
• Clasificación de Wigner
• Operador de momento angular
• Operador Casimir
• Quiralidad
• Pseudovector
• Pseudotensor
• Representación inducida

Notas

1. Lubański 1942a, págs. 310–324, Lubański 1942b, págs. 325–338
2. Brown 1994, págs. 180-181
3. Wigner 1939, págs. 149-204
4. Ryder 1996, pág. 62
5. Bogolyubov 1989, pág. 273
6. Ohlsson 2011, pág. 11
7. Penrose 2005, pág. 568
8. Pabellón 2015, Fórmula 1.12.
9. Rossmann 2002, Capítulo 2.
10. Tung 1985, Teorema 10.13, Capítulo 10.
11. Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos . Vol. 1. Cambridge University Press . ISBN 978-0521550017.

Referencias

• Bogolyubov, NN (1989). Principios generales de la teoría cuántica de campos (2ª ed.). Springer Verlag . ISBN 0-7923-0540-X.
• Brown, LS (1994). Teoría cuántica de campos . Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-46946-3.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, doi : 10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666, ISSN  0072-5285
• Lubanski, JK (1942a). "Sobre la teoría de las partículas élémentaires de spin quelconque. I". Física (en francés). 9 (3): 310–324. Código bibliográfico : 1942Phy......9..310L. doi :10.1016/S0031-8914(42)90113-7.
• Lubanski, JK (1942b). "Sobre la teoría de las partículas élémentaires de spin quelconque. II". Física (en francés). 9 (3): 325–338. Código bibliográfico : 1942Phy......9..325L. doi :10.1016/S0031-8914(42)90114-9.
• Ohlsson, T. (2011). Física cuántica relativista: de la mecánica cuántica avanzada a la teoría cuántica de campos introductoria. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50432-4.
• Penrose, R. (2005). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-09-944068-0.
• Rossmann, Wulf (2002), Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Ryder, LH (1996). Teoría cuántica de campos (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-47814-6.
• Tung, Wu-Ki (1985). Teoría de grupos en física (1.ª ed.). Nueva Jersey·Londres·Singapur·Hong Kong: World Scientific . ISBN 978-9971966577.
• Weinberg, S. (2002) [1995], Fundamentos , La teoría cuántica de campos, vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Wigner, EP (1939). "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo". Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Bibcode :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. MR  1503456. S2CID  121773411.