En matemáticas , la teoría de representación del grupo de Poincaré es un ejemplo de la teoría de representación de un grupo de Lie que no es un grupo compacto ni un grupo semisimple . Es fundamental en física teórica .
En una teoría física que tiene el espacio de Minkowski como el espacio-tiempo subyacente , el espacio de estados físicos es típicamente una representación del grupo de Poincaré. (De manera más general, puede ser una representación proyectiva , que equivale a una representación de la doble cobertura del grupo).
En una teoría clásica de campos , los estados físicos son secciones de un fibrado vectorial Poincaré-equivariante sobre el espacio de Minkowski. La condición de equivariancia significa que el grupo actúa sobre el espacio total del fibrado vectorial, y la proyección al espacio de Minkowski es una función equivariante . Por lo tanto, el grupo de Poincaré también actúa sobre el espacio de secciones. Las representaciones que surgen de esta manera (y sus subcocientes) se denominan representaciones de campos covariantes, y no suelen ser unitarias.
Para una discusión de tales representaciones unitarias , véase la clasificación de Wigner .
En mecánica cuántica, el estado del sistema está determinado por la ecuación de Schrödinger, que es invariante ante las transformaciones galileanas. La teoría cuántica de campos es la extensión relativista de la mecánica cuántica, donde las ecuaciones de onda relativistas (invariantes de Lorentz/Poincaré) se resuelven, se "cuantifican" y actúan sobre un espacio de Hilbert compuesto por estados de Fock .
No existen representaciones unitarias finitas de las transformaciones completas de Lorentz (y, por lo tanto, de Poincaré) debido a la naturaleza no compacta de los impulsos de Lorentz (rotaciones en el espacio de Minkowski a lo largo de un eje de espacio y tiempo). Sin embargo, existen representaciones indecomponibles no unitarias finitas del álgebra de Poincaré, que pueden usarse para modelar partículas inestables. [1] [2]
En el caso de partículas de espín 1/2, es posible encontrar una construcción que incluya tanto una representación de dimensión finita como un producto escalar preservado por esta representación al asociar un espinor de Dirac de 4 componentes con cada partícula. Estos espinores se transforman bajo transformaciones de Lorentz generadas por las matrices gamma ( ). Se puede demostrar que el producto escalar
se conserva. Sin embargo, no es definida positiva, por lo que la representación no es unitaria.
