Teoría de la representación de los grupos difeomorfistas

Teoría de la representación de las simetrías de variedades

En matemáticas , una fuente para la teoría de representación del grupo de difeomorfismos de una variedad suave M es la observación inicial de que (para M conexo ) ese grupo actúa transitivamente sobre M.

Historia

Un artículo de investigación de 1975 sobre el tema escrito por Anatoly Vershik , Israel Gelfand y MI Graev atribuye el interés original en el tema a la investigación en física teórica del álgebra de corrientes locales, en los años anteriores. La investigación sobre las representaciones de configuración finita se encontraba en los artículos de RS Ismagilov (1971) y AA Kirillov (1974). Las representaciones de interés en física se describen como un producto vectorial C ^∞ ( M )·Diff( M ).

Construcciones

Sea, por tanto, M una variedad diferenciable conexa n -dimensional y x un punto cualquiera de ella. Sea Diff( M ) el grupo de difeomorfismos que preserva la orientación de M (sólo el componente identidad de las aplicaciones homotópicas al difeomorfismo identidad, si se desea) y Diff _x ¹ ( M ) el estabilizador de x . Entonces, M se identifica como un espacio homogéneo

Dif( M )/Dif _x ¹ ( M ).

Desde el punto de vista algebraico, en cambio, es el álgebra de funciones suaves sobre M y es el ideal de funciones suaves que se anulan en x . Sea el ideal de funciones suaves que se anulan hasta la n-1ª derivada parcial en x . es invariante bajo el grupo Diff _x ¹ ( M ) de difeomorfismos que fijan x. Para n > 0 el grupo Diff _x ⁿ ( M ) se define como el subgrupo de Diff _x ¹ ( M ) que actúa como identidad en . Por lo tanto, tenemos una cadena descendente ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle I_{x}(M)}$ ${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$ ${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$ ${\displaystyle I_{x}(M)/I_{x}^{n}(M)}$

Dif( M ) ⊃ Dif _x ¹ (M) ⊃ ... ⊃ Dif _x ⁿ ( M ) ⊃ ...

Aquí Diff _x ⁿ ( M ) es un subgrupo normal de Diff _x ¹ ( M ), lo que significa que podemos mirar el grupo cociente

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ⁿ ( M ).

Utilizando el análisis armónico , una función con valores reales o complejos (con algunas propiedades topológicas suficientemente agradables) en el grupo de difeomorfismos se puede descomponer en funciones con valores de representación Diff _x ¹ ( M ) sobre M .

La oferta de representaciones

Entonces, ¿cuáles son las representaciones de Diff _x ¹ ( M )? Usemos el hecho de que si tenemos un homomorfismo de grupo φ: G → H , entonces si tenemos una representación H , podemos obtener una representación G restringida . Entonces, si tenemos una representación de

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ⁿ ( M ),

podemos obtener una representación de Diff _x ¹ ( M ).

Veamos

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ² ( M )

Primero. Esto es isomorfo al grupo lineal general GL ⁺ ( n , R ) (y debido a que solo estamos considerando difeomorfismos que preservan la orientación y, por lo tanto, el determinante es positivo). ¿Cuáles son las repeticiones de GL ⁺ ( n , R )?

${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{+}\times SL(n,\mathbb {R} )}$.

Sabemos que las repeticiones de SL( n , R ) son simplemente tensores sobre n dimensiones. ¿Qué pasa con la parte R ^{+ ? Eso corresponde a la} densidad , o en otras palabras, cómo se reescala el tensor bajo el determinante del jacobiano del difeomorfismo en x . (Piense en ello como el peso conforme si quiere, excepto que no hay estructura conforme aquí). (Por cierto, no hay nada que nos impida tener una densidad compleja).

Así pues, acabamos de descubrir las repeticiones tensoriales (con densidad) del grupo de difeomorfismo.

Veamos

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ⁿ ( M ).

Este es un grupo de dimensión finita. Tenemos la cadena

Dif. _x ¹ ( M )/Dif. _x ¹ ( M ) ⊂ ... ⊂ Dif . _x ¹ ( M )/Dif. _x ⁿ ( M ) ⊂ ...

Aquí, los signos "⊂" deberían realmente leerse como un homomorfismo inyectivo, pero como es canónico, podemos pretender que estos grupos cocientes están incrustados uno dentro del otro.

Cualquier representante de

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ^m ( M )

se puede convertir automáticamente en un representante de

Diferencia _x ¹ / Diferencia _x ⁿ ( M )

Si n > m . Digamos que tenemos una representación de

Diferencia _x ¹ / Diferencia _x ^{p + 2}

que no surge de una repetición de

Diferencia _x ¹ / Diferencia _x ^{p + 1} .

Entonces, llamamos al haz de fibras con esa representación como la fibra (es decir, Diff _x ¹ /Diff _x ^{p + 2} es el grupo de estructura ) un haz de chorro de orden p .

Observación al margen: Este es realmente el método de representaciones inducidas con el grupo más pequeño siendo Diff _x ¹ (M) y el grupo más grande siendo Diff ( M ).

Estructura entrelazada

En general, el espacio de secciones de los fibrados tensoriales y jets sería una representación irreducible y a menudo observamos una subrepresentación de ellos. Podemos estudiar la estructura de estas repeticiones mediante el estudio de los entrelazadores entre ellas.

Si la fibra no es una representación irreducible de Diff _x ¹ ( M ), entonces podemos tener un entrelazador distinto de cero que mapea cada fibra puntualmente en una representación de cociente más pequeña . Además, la derivada exterior es un entrelazador del espacio de formas diferenciales a otro de orden superior. (Otras derivadas no lo son, porque las conexiones no son invariantes bajo difeomorfismos, aunque son covariantes ). La derivada parcial no es invariante ante difeomorfismos. Hay un entrelazador derivado que toma secciones de un fibrado jet de orden p en secciones de un fibrado jet de orden p  + 1.

Referencias