difeomorfismo

Isomorfismo de variedades diferenciables

En matemáticas , un difeomorfismo es un isomorfismo de variedades diferenciables . Es una función invertible que asigna una variedad diferenciable a otra de modo que tanto la función como su inversa sean continuamente diferenciables .

La imagen de una cuadrícula rectangular sobre un cuadrado bajo un difeomorfismo del cuadrado sobre sí mismo.

Definición

Dadas dos variedades diferenciables y , un mapa diferenciable es un difeomorfismo si es una biyección y su inversa también es diferenciable. Si estas funciones son veces continuamente diferenciables, se llama -difeomorfismo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{r}}$

Dos variedades y son difeomorfas (generalmente denotadas ) si hay un difeomorfismo de a . Dos variedades diferenciables son difeomorfas si hay un mapa biyectivo diferenciable continuamente entre ellas cuyo inverso también es diferenciable continuamente. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\simeq N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Difeomorfismos de subconjuntos de variedades.

Dado un subconjunto de una variedad y un subconjunto de una variedad , se dice que una función es suave si para todo hay una vecindad de y una función suave tal que las restricciones concuerden: (tenga en cuenta que es una extensión de ). Se dice que la función es un difeomorfismo si es biyectiva, suave y su inversa es suave. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g:U\to N}$ ${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

descripción local

La prueba de si un mapa diferenciable es un difeomorfismo se puede realizar localmente bajo algunas restricciones leves. Este es el teorema de Hadamard-Caccioppoli: ^[1]

Si , son subconjuntos abiertos conexos de tal que es simplemente conexo , un mapa diferenciable es un difeomorfismo si es propio y si el diferencial es biyectivo (y por lo tanto un isomorfismo lineal ) en cada punto en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

Algunas observaciones:

Es esencial que sea simplemente conexo para que la función sea globalmente invertible (bajo la única condición de que su derivada sea una función biyectiva en cada punto). Por ejemplo, considere la "realización" de la función cuadrada compleja . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

Entonces es sobreyectivo y satisface ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

Así, aunque es biyectivo en cada punto, no es invertible porque no logra ser inyectivo (p. ej. ). ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$

Dado que el diferencial en un punto (para una función diferenciable)

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

es un mapa lineal , tiene una inversa bien definida si y solo si es una biyección. La representación matricial de es la matriz de derivadas parciales de primer orden cuya entrada en la -ésima fila y la -ésima columna es . Esta denominada matriz jacobiana se utiliza a menudo para cálculos explícitos. ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$

Los difeomorfismos son necesariamente entre variedades de la misma dimensión . Imagínese ir de dimensión en dimensión . Si entonces nunca podría ser sobreyectivo y si entonces nunca podría ser inyectivo. En ambos casos, por tanto, no se trata de una biyección. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n<k}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle n>k}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle Df_{x}}$

Si es una biyección en entonces se dice que es un difeomorfismo local (ya que, por continuidad, también será biyectiva para todo lo suficientemente cercano a ). ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Df_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Dado un mapa suave de dimensión a dimensión , si (o, localmente, ) es sobreyectivo, se dice que es una inmersión (o, localmente, una "inmersión local"); y si (o, localmente, ) es inyectivo, se dice que es una inmersión (o, localmente, una "inmersión local"). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$

Una biyección diferenciable no es necesariamente un difeomorfismo. , por ejemplo, no es un difeomorfismo de sí mismo porque su derivada desaparece en 0 (y por tanto su inversa no es diferenciable en 0). Este es un ejemplo de homeomorfismo que no es un difeomorfismo. ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cuando hay un mapa entre variedades diferenciables, un difeomorfo es una condición más fuerte que un homeomórfico . Para que un difeomorfismo y su inverso sean diferenciables ; para un homeomorfismo, y su inverso sólo necesita ser continuo . Todo difeomorfismo es un homeomorfismo, pero no todo homeomorfismo es un difeomorfismo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f:M\to N}$es un difeomorfismo si, en gráficos de coordenadas , satisface la definición anterior. Más precisamente: elija cualquier cobertura de gráficos de coordenadas compatibles y haga lo mismo con . Sean y gráficos en, respectivamente, y , con y como, respectivamente, las imágenes de y . El mapa es entonces un difeomorfismo como en la definición anterior, siempre que . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$ ${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$

Ejemplos

Dado que cualquier variedad puede parametrizarse localmente, podemos considerar algunos mapas explícitos desde dentro . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Dejar

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

Podemos calcular la matriz jacobiana:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

La matriz jacobiana tiene determinante cero si y sólo si . Vemos que eso sólo podría ser un difeomorfismo alejado del eje -y del eje -. Sin embargo, no es biyectivo ya que y por tanto no puede ser un difeomorfismo. ${\displaystyle xy=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$

• Dejar

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

donde y son números reales arbitrarios y los términos omitidos son de grado al menos dos en x e y . Podemos calcular la matriz jacobiana en 0 : ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

Vemos que g es un difeomorfismo local en 0 si, y sólo si,

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

es decir, los términos lineales en los componentes de g son linealmente independientes como polinomios .

• Dejar

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

Podemos calcular la matriz jacobiana:

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

¡La matriz jacobiana tiene determinante cero en todas partes! De hecho vemos que la imagen de h es el círculo unitario .

Deformaciones superficiales

En mecánica , una transformación inducida por tensión se llama deformación y puede describirse mediante un difeomorfismo. Un difeomorfismo entre dos superficies y tiene una matriz jacobiana que es una matriz invertible . De hecho, se requiere que para in haya una vecindad de en la que el jacobiano permanezca no singular . Supongamos que en un gráfico de la superficie, ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

El diferencial total de u es

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}$, y de manera similar para el v .

Entonces la imagen es una transformación lineal , que fija el origen y se expresa como la acción de un número complejo de un tipo particular. Cuando ( dx ,  dy ) también se interpreta como ese tipo de número complejo, la acción es de multiplicación compleja en el plano de números complejos apropiado. Como tal, hay un tipo de ángulo ( euclideo , hiperbólico o pendiente ) que se conserva en dicha multiplicación. Debido a que Df es invertible, el tipo de número complejo es uniforme en toda la superficie. En consecuencia, una deformación superficial o difeomorfismo de superficies tiene la propiedad conforme de preservar (el tipo apropiado de) ángulos. ${\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$

Grupo de difeomorfismo

Sea una variedad diferenciable que sea segunda contable y Hausdorff . El grupo de difeomorfismos de es el grupo de todos los difeomorfismos de hacia sí mismo, denotado por o, cuando se entiende, . Este es un grupo "grande", en el sentido de que, siempre que no sea de dimensión cero, no es localmente compacto . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Topología

El grupo de difeomorfismo tiene dos topologías naturales : débil y fuerte (Hirsch 1997). Cuando la variedad es compacta , estas dos topologías concuerdan. La topología débil siempre es metrizable . Cuando la variedad no es compacta, la topología fuerte captura el comportamiento de funciones "en el infinito" y no es metrizable. Sin embargo, sigue siendo Baire .

Fijando una métrica de Riemann en , la topología débil es la topología inducida por la familia de métricas ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

como varía en subconjuntos compactos de . De hecho, como es compacto, existe una secuencia de subconjuntos compactos cuya unión es . Entonces: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

El grupo de difeomorfismo equipado con su topología débil es localmente homeomorfo al espacio de campos vectoriales (Leslie 1967). Sobre un subconjunto compacto de , esto se logra fijando una métrica de Riemann y usando el mapa exponencial para esa métrica. Si es finito y la variedad es compacta, el espacio de campos vectoriales es un espacio de Banach . Además, los mapas de transición de un mapa de este atlas a otro son suaves, lo que convierte al grupo de difeomorfismo en una variedad de Banach con traducciones suaves a la derecha; Las traducciones a la izquierda y la inversión son solo continuas. Si , el espacio de campos vectoriales es un espacio de Fréchet . Además, los mapas de transición son suaves, lo que convierte al grupo de difeomorfismo en una variedad de Fréchet e incluso en un grupo de Fréchet Lie regular . Si la variedad es compacta y no compacta, el grupo de difeomorfismo completo no es localmente contraíble para ninguna de las dos topologías. Hay que restringir el grupo controlando la desviación de la identidad cerca del infinito para obtener un grupo de difeomorfismo que sea múltiple; ver (Michor y Mumford 2013). ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle \sigma }$

álgebra de mentiras

El álgebra de Lie del grupo de difeomorfismos consta de todos los campos vectoriales equipados con el soporte de Lie de campos vectoriales . De manera algo formal, esto se ve haciendo un pequeño cambio en las coordenadas en cada punto del espacio: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}$

entonces los generadores infinitesimales son los campos vectoriales

${\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

Ejemplos

• Cuando es un grupo de Lie , hay una inclusión natural de en su propio grupo de difeomorfismo mediante traducción a la izquierda. Denotemos el grupo de difeomorfismo de , luego hay una división , donde está el subgrupo de que fija el elemento de identidad del grupo. ${\displaystyle M=G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G,e)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$
• El grupo de difeomorfismos del espacio euclidiano consta de dos componentes: los difeomorfismos que preservan la orientación y los que invierten la orientación. De hecho, el grupo lineal general es una retracción de deformación del subgrupo de difeomorfismos que fijan el origen debajo del mapa . En particular, el grupo lineal general es también una retracción de deformación del grupo de difeomorfismo completo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)}$ ${\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]}$
• Para un conjunto finito de puntos, el grupo de difeomorfismo es simplemente el grupo simétrico . De manera similar, si hay alguna variedad, hay una extensión de grupo . Aquí está el subgrupo de que conserva todos los componentes de y es el grupo de permutación del conjunto (los componentes de ). Además, la imagen del mapa son las biyecciones de las clases que conservan el difeomorfismo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}_{0}(M)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(M)}$

Transitividad

Para una variedad conectada , el grupo de difeomorfismo actúa transitivamente . De manera más general, el grupo de difeomorfismo actúa transitivamente en el espacio de configuración . Si es al menos bidimensional, el grupo de difeomorfismo actúa transitivamente sobre el espacio de configuración y la acción es múltiplesmente transitiva (Banyaga 1997, p. 29). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{k}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{k}M}$ ${\displaystyle M}$

Extensiones de difeomorfismos

En 1926, Tibor Radó preguntó si la extensión armónica de cualquier homeomorfismo o difeomorfismo del círculo unitario al disco unitario produce un difeomorfismo en el disco abierto. Hellmuth Kneser proporcionó poco después una elegante prueba . En 1945, Gustave Choquet , aparentemente ignorante de este resultado, presentó una prueba completamente diferente.

El grupo de difeomorfismo (que preserva la orientación) del círculo está conectado en sentido transversal. Esto se puede ver observando que cualquier difeomorfismo de este tipo puede elevarse a un difeomorfismo de los reales satisfactorio ; este espacio es convexo y, por tanto, está conectado por caminos. Un camino suave y eventualmente constante hacia la identidad proporciona una segunda forma más elemental de extender un difeomorfismo desde el círculo al disco unitario abierto (un caso especial del truco de Alexander ). Además, el grupo de difeomorfismo del círculo tiene el tipo de homotopía del grupo ortogonal . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}$ ${\displaystyle O(2)}$

El correspondiente problema de extensión para difeomorfismos de esferas de dimensiones superiores fue muy estudiado en las décadas de 1950 y 1960, con notables contribuciones de René Thom , John Milnor y Stephen Smale . Una obstrucción a tales extensiones viene dada por el grupo abeliano finito , el " grupo de esferas retorcidas ", definido como el cociente del grupo componente abeliano del grupo de difeomorfismos por el subgrupo de clases que se extienden a los difeomorfismos de la pelota . ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle B^{n}}$

Conectividad

Para variedades, el grupo de difeomorfismo no suele estar conexo. Su grupo de componentes se denomina grupo de clases de mapeo . En la dimensión 2 (es decir, superficies ), el grupo de clases de mapeo es un grupo presentado de forma finita generado por giros de Dehn ; esto ha sido demostrado por Max Dehn , WBR Lickorish y Allen Hatcher ). ^{[ cita necesaria ]} Max Dehn y Jakob Nielsen demostraron que se puede identificar con el grupo de automorfismo externo del grupo fundamental de la superficie.

William Thurston refinó este análisis clasificando elementos del grupo de clases de mapeo en tres tipos: los equivalentes a un difeomorfismo periódico ; los equivalentes a un difeomorfismo dejando invariante una curva cerrada simple; y los equivalentes a difeomorfismos pseudo-Anosov . En el caso del toro , el grupo de clases de mapeo es simplemente el grupo modular y la clasificación se vuelve clásica en términos de matrices elípticas , parabólicas e hiperbólicas . Thurston logró su clasificación observando que el grupo de clases cartográficas actuaba naturalmente sobre una compactación del espacio de Teichmüller ; Como este espacio ampliado era homeomorfo a una bola cerrada, se volvió aplicable el teorema del punto fijo de Brouwer . Smale conjeturó que si es una variedad cerrada suave orientada , el componente de identidad del grupo de difeomorfismos que preservan la orientación es simple . Esto lo demostró por primera vez Michel Herman para un producto de círculos; Thurston lo demostró con total generalidad. ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$

Tipos de homotopía

• El grupo de difeomorfismo tiene el tipo de homotopía del subgrupo . Esto fue demostrado por Steve Smale. ^[2] ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle O(3)}$
• El grupo de difeomorfismo del toro tiene el tipo de homotopía de sus automorfismos lineales : . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )}$
• Los grupos de difeomorfismo de superficies orientables de género tienen el tipo de homotopía de sus grupos de clases de mapeo (es decir, los componentes son contráctiles). ${\displaystyle g>1}$
• El tipo de homotopía de los grupos de difeomorfismo de 3 variedades se comprende bastante bien a través del trabajo de Ivanov, Hatcher, Gabai y Rubinstein, aunque hay algunos casos abiertos destacados (principalmente 3 variedades con grupos fundamentales finitos ).
• El tipo de homotopía de los grupos de difeomorfismos de variedades para no se comprende bien. Por ejemplo, es un problema abierto si tiene o no más de dos componentes. Sin embargo, a través de Milnor, Kahn y Antonelli, se sabe que no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW finito . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{4})}$ ${\displaystyle n>6}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{n})}$

Homeomorfismo y difeomorfismo

Dado que todo difeomorfismo es un homeomorfismo, dado un par de variedades que son difeomorfas entre sí, son en particular homeomorfas entre sí. Lo contrario no es cierto en general.

Si bien es fácil encontrar homeomorfismos que no sean difeomorfismos, es más difícil encontrar un par de variedades homeomorfas que no sean difeomorfismos. En las dimensiones 1, 2 y 3, cualquier par de variedades lisas homeomórficas son difeomorfas. En dimensión 4 o mayor, existen ejemplos de pares homeomorfos pero no difeomorfos. El primer ejemplo de este tipo fue construido por John Milnor en la dimensión 7. Construyó una variedad suave de 7 dimensiones (llamada ahora esfera de Milnor ) que es homeomorfa a la 7-esfera estándar pero no difeomorfa con respecto a ella. De hecho, existen 28 clases de difeomorfismos orientados de variedades homeomorfas a las 7 esferas (cada una de ellas es el espacio total de un haz de fibras sobre las 4 esferas con las 3 esferas como fibra).

Fenómenos más inusuales ocurren para 4 variedades . A principios de la década de 1980, una combinación de resultados debidos a Simon Donaldson y Michael Freedman condujo al descubrimiento de lo exótico : hay incontables subconjuntos abiertos no difeomorfos por pares de cada uno de los cuales es homeomorfo a , y también hay incontables muchos no difeomorfos por pares de variedades diferenciables difeomorfas homeomorfas que no se incrustan suavemente en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Ver también

• Difeomorfismo de Anosov como el mapa del gato de Arnold
• Anomalía de Diffeo también conocida como anomalía gravitacional , un tipo de anomalía en mecánica cuántica
• Diffeología , parametrizaciones suaves en un conjunto, lo que crea un espacio difeológico.
• Difeomorfometría , estudio métrico de la figura y la forma en anatomía computacional
• Morfismo Étale
• Gran difeomorfismo
• Difomorfismo local
• superdiffeomorfismo

Notas

1. Steven G. Krantz; Harold R. Parques (2013). El teorema de la función implícita: historia, teoría y aplicaciones . Saltador. pag. Teorema 6.2.4. ISBN 978-1-4614-5980-4.
2. Pequeño (1959). "Difeomorfismos de las 2 esferas". Proc. América. Matemáticas. Soc . 10 (4): 621–626. doi : 10.1090/s0002-9939-1959-0112149-8 .

Referencias

• Krantz, Steven G.; Parques, Harold R. (2013). El teorema de la función implícita: historia, teoría y aplicaciones . Clásicos modernos de Birkhäuser. Bostón. ISBN 978-1-4614-5980-4.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
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