Grupo de Schrödinger

Grupo de simetría

El grupo de Schrödinger es el grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger de la partícula libre . Matemáticamente, el grupo SL(2,R) actúa sobre el grupo de Heisenberg mediante automorfismos externos y el grupo de Schrödinger es el producto semidirecto correspondiente .

Álgebra de Schrödinger

El álgebra de Schrödinger es el álgebra de Lie del grupo de Schrödinger. No es semisimple . En una dimensión espacial, se puede obtener como una suma semidirecta del álgebra de Lie sl(2,R) y el álgebra de Heisenberg ; construcciones similares se aplican a dimensiones espaciales superiores.

Contiene un álgebra de Galileo con extensión central.

${\displaystyle [J_{a},J_{b}]=i\epsilon _{abc}J_{c},\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},P_{b}]=i\epsilon _{abc}P_{c},\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},K_{b}]=i\epsilon _{abc}K_{c},\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},P_{b}]=0,[K_{a},K_{b}]=0,[K_{a},P_{b}]=i\delta _{ab}M,\,\!}$

${\displaystyle [H,J_{a}]=0,[H,P_{a}]=0,[H,K_{a}]=iP_{a}.\,\!}$

donde son generadores de rotaciones ( operador de momento angular ), traslaciones espaciales ( operador de momento ), impulsos galileanos y traslación temporal ( hamiltoniano ) respectivamente. (Notas: es la unidad imaginaria, . La forma específica de los conmutadores de los generadores de rotación es la del espacio tridimensional, luego .). La extensión central M tiene una interpretación como masa no relativista y corresponde a la simetría de la ecuación de Schrödinger bajo transformación de fase (y a la conservación de la probabilidad). ${\displaystyle J_{a},P_{a},K_{a},H}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle J_{a}}$ ${\displaystyle a,b,c=1,\ldots ,3}$

Existen dos generadores más que designaremos con D y C. Tienen las siguientes relaciones de conmutación:

${\displaystyle [H,C]=iD,[C,D]=-2iC,[H,D]=2iH,\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},D]=iP_{a},[K_{i},D]=-iK_{a},\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},C]=-iK_{a},[K_{a},C]=0,\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},C]=[J_{a},D]=0.\,\!}$

Los generadores H , C y D forman el álgebra sl(2, R ).

Una notación más sistemática permite convertir estos generadores en las cuatro familias (infinitas) y , donde n ∈ ℤ es un entero y m ∈ ℤ+1/2 es un semientero y j,k=1,...,d etiquetan la dirección espacial, en d dimensiones espaciales. Los conmutadores no nulos del álgebra de Schrödinger se convierten en (forma euclidiana) ${\displaystyle X_{n},Y_{m}^{(j)},M_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}^{(jk)}=-R_{n}^{(kj)}}$

${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]=(n-n')X_{n+n'}}$

${\displaystyle [X_{n},Y_{m}^{(j)}]=\left({n \over 2}-m\right)Y_{n+m}^{(j)}}$

${\displaystyle [X_{n},M_{n'}]=-n'M_{n+n'}}$

${\displaystyle [X_{n},R_{n'}^{(jk)}]=-n'R_{n'}^{(jk)}}$

${\displaystyle [Y_{m}^{(j)},Y_{m'}^{(k)}]=\delta _{j,k}(m-m')M_{m+m'}}$

${\displaystyle [R_{n}^{(ij)},Y_{m}^{(k)}]=\delta _{i,k}Y_{n+m}^{(j)}-\delta _{j,k}Y_{n+m}^{(i)}}$

${\displaystyle [R_{n}^{(ij)},R_{n'}^{(kl)}]=\delta _{i,k}R_{n+n'}^{(jl)}+\delta _{j,l}R_{n+n'}^{(ik)}-\delta _{i,l}R_{n+n'}^{(jk)}-\delta _{j,k}R_{n+n'}^{(il)}}$

El álgebra de Schrödinger es de dimensión finita y contiene los generadores . En particular, los tres generadores abarcan la subálgebra sl(2,R). Las traslaciones espaciales son generadas por y las transformaciones de Galileo por . ${\displaystyle X_{-1,0,1},Y_{-1/2,1/2}^{(j)},M_{0},R_{0}^{(jk)}}$ ${\displaystyle X_{-1}=H,X_{0}=D,X_{1}=C}$ ${\displaystyle Y_{-1/2}^{(j)}}$ ${\displaystyle Y_{1/2}^{(j)}}$

En la notación elegida, se ve claramente que existe una extensión de dimensión infinita, que se llama álgebra de Schrödinger-Virasoro . Entonces, los generadores con n enteros generan un álgebra de bucles-Virasoro. Una representación explícita como transformaciones espacio-temporales viene dada por, con n ∈ ℤ y m ∈ ℤ+1/2 ^[1] ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle X_{n}=-t^{n+1}\partial _{t}-{n+1 \over 2}t^{n}{\vec {r}}\cdot \partial _{\vec {r}}-{n(n+1) \over 4}{\cal {M}}t^{n-1}{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}-{x \over 2}(n+1)t^{n}}$

${\displaystyle Y_{m}^{(j)}=-t^{m+1/2}\partial _{r_{j}}-\left(m+{1 \over 2}\right){\cal {M}}t^{m-1/2}r_{j}}$

${\displaystyle M_{n}=-t^{n}{\cal {M}}}$

${\displaystyle R_{n}^{(jk)}=-t^{n}\left(r_{j}\partial _{r_{k}}-r_{k}\partial _{r_{j}}\right)}$

Esto muestra cómo la extensión central del álgebra de Schrödinger no semisimple y de dimensión finita se convierte en un componente de una familia infinita en el álgebra de Schrödinger-Virasoro. Además, y en analogía con el álgebra de Virasoro o el álgebra de Kac-Moody , son posibles otras extensiones centrales. Sin embargo, un resultado no nulo solo existe para el conmutador , donde debe ser de la forma familiar de Virasoro, es decir ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]}$

${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]=(n-n')X_{n+n'}+{c \over 12}(n^{3}-n)\delta _{n+n',0}}$

o para el conmutador entre las rotaciones , donde debe tener una forma Kac-Moody. Cualquier otra extensión central posible puede ser absorbida por los generadores del álgebra de Lie. ${\displaystyle R_{n}^{(jk)}}$

El papel del grupo de Schrödinger en la física matemática

Aunque el grupo de Schrödinger se define como el grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger de la partícula libre , se realiza en algunos sistemas no relativistas en interacción (por ejemplo, átomos fríos en criticidad).

El grupo de Schrödinger en d dimensiones espaciales puede ser incorporado en el grupo conforme relativista en d + 1 dimensiones SO(2, d + 2) . Esta incorporación está relacionada con el hecho de que se puede obtener la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación de Klein-Gordon sin masa a través de la compactificación de Kaluza-Klein a lo largo de dimensiones similares a nulos y la elevación de Bargmann de la teoría de Newton-Cartan . Esta incorporación también puede verse como la extensión del álgebra de Schrödinger al subálgebra parabólica máxima de SO(2, d + 2) .

La simetría del grupo de Schrödinger puede dar lugar a propiedades exóticas para sistemas bosónicos y fermiónicos en interacción, como los superfluidos en bosones ^[2] , ^[3] y los líquidos de Fermi y líquidos no Fermi en fermiones ^[4] . Tienen aplicaciones en materia condensada y átomos fríos.

El grupo de Schrödinger también surge como simetría dinámica en aplicaciones de materia condensada: es la simetría dinámica del modelo de Edwards-Wilkinson de crecimiento de la interfaz cinética. ^[5] También describe la cinética del ordenamiento de fases, después de un enfriamiento de temperatura de la fase desordenada a la fase ordenada, en sistemas magnéticos.

Referencias

1. M. Henkel, J. Stat. Phys. 75 , 1023 (1994)
2. Son, Dam T (agosto de 2008). "Hacia una correspondencia AdS/átomos fríos: una realización geométrica de la simetría de Schrödinger". Physical Review D . 78 (4): 046003. arXiv : 0804.3972 . doi :10.1103/PhysRevD.78.046003. ISSN  2470-0029. S2CID  52065807.
3. Adams, A.; Wang, J. (noviembre de 2011). "Hacia un superfluido holográfico no relativista". New Journal of Physics . 13 (11): 115008. arXiv : 1103.3472 . doi :10.1088/1367-2630/13/11/115008. S2CID  53622530.
4. Wang, J. (febrero de 2014). "Líquidos de Schrödinger y Fermi". Physical Review D. 89 ( 4): 046008. arXiv : 1301.1986 . doi :10.1103/PhysRevD.89.046008. ISSN  2470-0029. S2CID  : 56145316.
5. M. Henkel, Eur. Phys. J. Spec. Temas 226 , 605 (2017)

• CR Hagen, "Transformaciones de escala y conformes en la teoría de campos covariantes de Galileo", Phys. Rev. D5 , 377–388 (1972)
• U. Niederer, "El grupo de invariancia cinemática máxima de la ecuación libre de Schrödinger", Helv. Phys. Acta 45 , 802 (1972)
• G. Burdet, M. Perrin, P. Sorba, "Acerca de la estructura no relativista del álgebra conforme", Comm. Math. Phys. 34 , 85 (1973)
• M. Henkel, "Invariancia de Schrödinger y sistemas críticos fuertemente anisotrópicos", J. Stat. Phys. 75 , 1023 (1994)
• M. Henkel, J. Unterberger, "Invariancia de Schrödinger y simetrías espacio-temporales", Nucl. Phys. B660 , 407 (2003)
• A. Röthlein, F. Baumann, M. Pleimling, "Determinación basada en simetría de funciones espacio-temporales en procesos de crecimiento fuera del equilibrio", Phys. Rev. E74 , 061604 (2006) -- fe de erratas E76 , 019901 (2007)
• DT Son, "Hacia una correspondencia AdS/átomos fríos: una realización geométrica de la simetría de Schrödinger", Phys. Rev. D78 , 046003 (2008)
• A. Bagchi, R. Gopakumar, "Álgebras conformes galileanas y AdS/CFT", JHEP 0907:037 (2009)
• M. Henkel, M. Pleimling, Transiciones de fase fuera de equilibrio, vol. 2: envejecimiento y escalamiento dinámico lejos del equilibrio (Springer, Heidelberg 2010)
• J. Unterberger, C. Roger, El álgebra de Schrödinger-Virasoro , (Springer, Heidelberg 2012)

Véase también

• Ecuación de Schrödinger
• Transformación galileana
• Grupo de Poincaré