grupo conformal

En matemáticas , el grupo conforme de un espacio producto interno es el grupo de transformaciones del espacio hacia sí mismo que conservan los ángulos. Más formalmente, es el grupo de transformaciones que preservan la geometría conforme del espacio.

Varios grupos conformes específicos son particularmente importantes:

• El grupo ortogonal conforme . Si V es un espacio vectorial con forma cuadrática Q , entonces el grupo ortogonal conforme CO( V , Q ) es el grupo de transformaciones lineales T de V para las cuales existe un escalar λ tal que para todo x en V

  ${\displaystyle Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)}$

Para una forma cuadrática definida , el grupo ortogonal conforme es igual al grupo ortogonal multiplicado por el grupo de dilataciones .

• El grupo conforme de la esfera se genera por las inversiones en círculos . Este grupo también se conoce como grupo de Möbius .
• En el espacio euclidiano En ^, n > 2 , el grupo conforme se genera mediante inversiones en hiperesferas .
• En un espacio pseudoeuclidiano E ^{p , q} , el grupo conforme es Conf( p , q ) ≃ O( p + 1, q + 1) / Z ₂ . ^[1]

Todos los grupos conformes son grupos de Lie .

Análisis de ángulos

En la geometría euclidiana se puede esperar que el ángulo circular estándar sea característico, pero en el espacio pseudoeuclidiano también existe el ángulo hiperbólico . En el estudio de la relatividad especial , los distintos sistemas de referencia, para variar la velocidad con respecto a un sistema en reposo, están relacionados por la rapidez , un ángulo hiperbólico. Una forma de describir un impulso de Lorentz es como una rotación hiperbólica que preserva el ángulo diferencial entre rapidezes. Por tanto, son transformaciones conformes con respecto al ángulo hiperbólico.

Un método para generar un grupo conforme apropiado es imitar los pasos del grupo de Möbius como el grupo conforme del plano complejo ordinario . La geometría pseudoeuclidiana está respaldada por planos complejos alternativos donde los puntos son números complejos divididos o números duales . Así como el grupo de Möbius requiere la esfera de Riemann , un espacio compacto , para una descripción completa, los planos complejos alternativos requieren compactación para una descripción completa del mapeo conforme. Sin embargo, el grupo conforme en cada caso viene dado por transformaciones fraccionarias lineales en el plano apropiado. ^[2]

Definición matemática

Dada una variedad ( pseudo ) riemanniana con clase conforme , el grupo conforme es el grupo de aplicaciones conformes desde hacia sí mismo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Más concretamente, este es el grupo de mapas suaves que preservan los ángulos desde hacia sí mismo. Sin embargo, cuando la firma de no es definida, el 'ángulo' es un hiperángulo potencialmente infinito. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$

Para el espacio pseudoeuclidiano , la definición es ligeramente diferente. ^[3] es el grupo conforme de la variedad que surge de la compactación conforme del espacio pseudoeuclidiano (a veces identificado con después de una elección de base ortonormal ). Esta compactación conforme se puede definir usando , considerada como una subvariedad de puntos nulos por la inclusión (donde se considera como un único vector espacio-temporal). La compactación conforme se identifica entonces con "puntos antípodas". Esto sucede al proyectar ^{[ revisar la ortografía ]} el espacio . Si es la compactificación conforme, entonces . En particular, este grupo incluye la inversión de , que no es una aplicación de sí mismo, ya que asigna el origen al infinito y asigna el infinito al origen. ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$ ${\displaystyle N^{p,q}}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q):={\text{Conf}}(N^{p,q})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

Conf(p,q)

Para el espacio pseudoeuclidiano , el álgebra de Lie del grupo conforme viene dada por la base con las siguientes relaciones de conmutación: ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \{M_{\mu \nu },P_{\mu },K_{\mu },D\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$$

métrica de Minkowski ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

De hecho, este álgebra de Lie es isomorfa al álgebra de Lie del grupo de Lorentz con una dimensión espacial y temporal más, es decir, . Se puede comprobar fácilmente que las dimensiones coinciden. Para exhibir un isomorfismo explícito, defina ${\displaystyle {\mathfrak {conf}}(p,q)\cong {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\mu \nu }=M_{\mu \nu }\,,\\&J_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })\,,\\&J_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })\,,\\&J_{-1,0}=D.\end{aligned}}}$$

del álgebra de Lorentz ${\displaystyle J_{ab}}$ ${\displaystyle a,b=-1,0,\cdots ,n=p+q}$ ${\displaystyle {\tilde {\eta }}_{ab}=\operatorname {diag} (-1,+1,-1,\cdots ,-1,+1,\cdots ,+1)}$

Grupo conforme en dos dimensiones espacio-temporales.

Para el espacio euclidiano bidimensional o el espaciotiempo de una dimensión más una, el espacio de simetrías conformes es mucho mayor. En física a veces se dice que el grupo conforme es de dimensión infinita, pero esto no es del todo correcto ya que, si bien el álgebra de Lie de simetrías locales es de dimensión infinita, éstas no necesariamente se extienden a un grupo de Lie de simetrías globales bien definidas.

Para la dimensión espacio-temporal , todas las simetrías conformes locales se extienden a simetrías globales. Para el espacio euclidiano, después de cambiar a una coordenada compleja, las simetrías conformes locales se describen mediante el espacio de dimensión infinita de campos vectoriales de la forma ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

$${\displaystyle l_{n}=-z^{n+1}\partial _{z}.}$$

Por lo tanto, las simetrías conformes locales del espacio euclidiano 2d son el álgebra de Witt de

Grupo conformal de espacio-tiempo.

En 1908, Harry Bateman y Ebenezer Cunningham , dos jóvenes investigadores de la Universidad de Liverpool , abordaron la idea de un grupo conforme del espacio-tiempo ^{[5] [6] [7]} Argumentaron que los grupos cinemáticos son forzosamente conformes ya que conservan la forma cuadrática. del espacio-tiempo y son similares a transformaciones ortogonales , aunque con respecto a una forma cuadrática isotrópica . Las libertades de un campo electromagnético no se limitan a los movimientos cinemáticos, sino que sólo deben ser localmente proporcionales a una transformación que preserve la forma cuadrática. El artículo de Harry Bateman de 1910 estudió la matriz jacobiana de una transformación que preserva el cono de luz y demostró que tenía la propiedad conforme (proporcional a un preservador de forma). ^[8] Bateman y Cunningham demostraron que este grupo conforme es "el grupo más grande de transformaciones que dejan las ecuaciones de Maxwell estructuralmente invariantes". ^[9] El grupo conforme del espacio-tiempo se ha denominado C(1,3) ^[10]

Isaak Yaglom ha contribuido a las matemáticas de las transformaciones conformes del espacio-tiempo en números duales y complejos divididos . ^[11] Dado que los números complejos divididos y los números duales forman anillos , no campos , las transformaciones fraccionarias lineales requieren una línea proyectiva sobre un anillo para ser asignaciones biyectivas.

Ha sido tradicional desde el trabajo de Ludwik Silberstein en 1914 utilizar el anillo de bicuaterniones para representar al grupo de Lorentz . Para el grupo conforme del espacio-tiempo, es suficiente considerar transformaciones fraccionarias lineales en la línea proyectiva sobre ese anillo. Bateman llamó a los elementos del grupo conforme del espacio-tiempo transformaciones de ondas esféricas . Los detalles del estudio de la forma cuadrática del espacio-tiempo han sido absorbidos por la geometría de la esfera de Lie .

Al comentar sobre el continuo interés mostrado en la ciencia física, AO Barut escribió en 1985: "Una de las principales razones del interés en el grupo conforme es que es quizás el más importante de los grupos más grandes que contienen el grupo de Poincaré ". ^[12]

Ver también

• mapa conforme
• simetría conforme

Referencias

1. Jayme Vaz, hijo; Roldão da Rocha, Jr. (2016). Introducción a las álgebras y espinores de Clifford . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 140.ISBN​ 9780191085789.
2. Tsurusaburo Takasu (1941) "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2, Actas de la Academia Imperial 17(8): 330–8, enlace del Proyecto Euclid , MR 14282
3. Schottenloher, Martín (2008). Una introducción matemática a la teoría de campos conforme (PDF) . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 23.ISBN​ 978-3540686255.
4. Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pedro; Sénéchal, David (1997). Teoría de campos conforme . Nueva York: Springer. ISBN 9780387947853.
5. Bateman, Harry (1908). "Las transformaciones conformes de un espacio de cuatro dimensiones y sus aplicaciones a la óptica geométrica"  . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 7 : 70–89. doi :10.1112/plms/s2-7.1.70.
6. Bateman, Harry (1910). "La Transformación de las Ecuaciones Electrodinámicas"  . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 8 : 223–264. doi :10.1112/plms/s2-8.1.223.
7. Cunningham, Ebenezer (1910). "El principio de la Relatividad en la Electrodinámica y una Extensión del mismo"  . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 8 : 77–98. doi :10.1112/plms/s2-8.1.77.
8. Warwick, Andrés (2003). Maestros de la teoría: Cambridge y el auge de la física matemática . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago . págs. 416–24. ISBN 0-226-87375-7.
9. Robert Gilmore (1994) [1974] Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y algunas de sus aplicaciones , página 349, Robert E. Krieger Publishing ISBN 0-89464-759-8 MR 1275599 
10. Boris Kosyakov (2007) Introducción a la teoría clásica de partículas y campos, página 216, libros de Springer a través de Google Books
11. Isaak Yaglom (1979) Una geometría no euclidiana simple y su base física , Springer, ISBN 0387-90332-1 , MR 520230 
12. AO Barut y H.-D. Doebner (1985) Grupos conformes y simetrías relacionadas: resultados físicos y antecedentes matemáticos , Lecture Notes in Physics #261 Libros de Springer , consulte el prefacio para obtener una cita

Otras lecturas

• Kobayashi, S. (1972). Grupos de Transformación en Geometría Diferencial . Clásicos en Matemáticas. Saltador. ISBN 3-540-58659-8. OCLC  31374337.
• Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9.
• Peter Scherk (1960) "Algunos conceptos de geometría conforme", American Mathematical Monthly 67(1): 1−30 doi :10.2307/2308920
• Martin Schottenloher, El grupo conforme, capítulo 2 de Una introducción matemática a la teoría de campos conforme, 2008 (pdf)
• Grupo conformal en nLab