Angulo hiperbólico

Argumento de las funciones hiperbólicas

La curva representa xy = 1. Un ángulo hiperbólico tiene magnitud igual al área del sector hiperbólico correspondiente , que está en posición estándar si a = 1

En geometría , el ángulo hiperbólico es un número real determinado por el área del sector hiperbólico correspondiente de xy = 1 en el cuadrante I del plano cartesiano . El ángulo hiperbólico parametriza la hipérbola unitaria , que tiene como coordenadas funciones hiperbólicas . En matemáticas, el ángulo hiperbólico es una medida invariante , ya que se conserva bajo rotación hiperbólica .

La hipérbola xy = 1 es rectangular con semieje mayor , análoga al ángulo circular que es igual al área de un sector circular en un círculo con radio . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

El ángulo hiperbólico se utiliza como variable independiente para las funciones hiperbólicas senh, cosh y tanh, porque estas funciones pueden basarse en analogías hiperbólicas con las funciones circulares (trigonométricas) correspondientes al considerar que un ángulo hiperbólico define un triángulo hiperbólico . De este modo, el parámetro se convierte en uno de los más útiles en el cálculo de variables reales .

Definición

Considere la hipérbola rectangular y (por convención) preste especial atención a la rama . ${\displaystyle \textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}}$ ${\displaystyle x>1}$

Primero definamos:

• El ángulo hiperbólico en posición estándar es el ángulo entre el rayo a y el rayo a , donde . ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$ ${\displaystyle x>1}$
• La magnitud de este ángulo es el área del sector hiperbólico correspondiente , que resulta ser . ${\displaystyle \operatorname {ln} x}$

Nótese que, debido al papel que desempeña el logaritmo natural :

• A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites (porque no tiene límites); esto está relacionado con el hecho de que la serie armónica no tiene límites. ${\displaystyle \operatorname {ln} x}$
• La fórmula para la magnitud del ángulo sugiere que, para , el ángulo hiperbólico debe ser negativo. Esto refleja el hecho de que, tal como se define, el ángulo está dirigido . ${\displaystyle 0<x<1}$

Por último, extendamos la definición de ángulo hiperbólico al subtendido por cualquier intervalo en la hipérbola. Supongamos que son números reales positivos tales que y , de modo que y son puntos en la hipérbola y determinemos un intervalo en ella. Luego, la aplicación de compresión asigna el ángulo al ángulo de posición estándar . Por el resultado de Gregoire de Saint-Vincent , los sectores hiperbólicos determinados por estos ángulos tienen la misma área, que se toma como la magnitud del ángulo. Esta magnitud es . ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle ab=cd=1}$ ${\displaystyle c>a>1}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (c,d)}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$ ${\displaystyle \angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)}$ ${\displaystyle \angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a}$

Comparación con el ángulo circular

La hipérbola unitaria tiene un sector con un área de la mitad del ángulo hiperbólico.

Ángulo circular vs. ángulo hiperbólico

Un círculo unitario tiene un sector circular con un área que es la mitad del ángulo circular en radianes. Análogamente, una hipérbola unitaria tiene un sector hiperbólico con un área que es la mitad del ángulo hiperbólico. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

También existe una resolución proyectiva entre los casos circular e hiperbólico: ambas curvas son secciones cónicas y, por lo tanto, se tratan como rangos proyectivos en geometría proyectiva . Dado un punto de origen en uno de estos rangos, los demás puntos corresponden a ángulos. La idea de adición de ángulos, básica para la ciencia, corresponde a la adición de puntos en uno de estos rangos de la siguiente manera:

Los ángulos circulares se pueden caracterizar geométricamente por la propiedad de que si dos cuerdas P ₀ P ₁ y P ₀ P ₂ subtienden los ángulos L ₁ y L ₂ en el centro de un círculo, su suma L ₁ + L ₂ es el ángulo subtendido por una cuerda P ₀ Q , donde se requiere que P ₀ Q sea paralelo a P ₁ P ₂ .

La misma construcción puede aplicarse también a la hipérbola. Si P ₀ se toma como el punto (1, 1) , P ₁ como el punto ( x ₁ , 1/ x ₁ ) , y P ₂ como el punto ( x ₂ , 1/ x ₂ ) , entonces la condición paralela requiere que Q sea el punto ( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ ) . Por lo tanto, tiene sentido definir el ángulo hiperbólico desde P ₀ hasta un punto arbitrario en la curva como una función logarítmica del valor de x del punto . ^{[1] [2]}

Mientras que en la geometría euclidiana, un movimiento constante en dirección ortogonal a un rayo desde el origen traza un círculo, en un plano pseudoeuclidiano, un movimiento constante en dirección ortogonal a un rayo desde el origen traza una hipérbola. En el espacio euclidiano, el múltiplo de un ángulo dado traza distancias iguales alrededor de un círculo, mientras que traza distancias exponenciales sobre la línea hiperbólica. ^[3]

Tanto el ángulo circular como el hiperbólico proporcionan instancias de una medida invariante . Los arcos con una magnitud angular en un círculo generan una medida en ciertos conjuntos medibles en el círculo cuya magnitud no varía a medida que el círculo gira o rota . Para la hipérbola, el giro se realiza mediante una aplicación de compresión , y las magnitudes de los ángulos hiperbólicos permanecen iguales cuando el plano se comprime mediante una aplicación.

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), con r > 0 .

Relación con el elemento de línea de Minkowski

También existe una curiosa relación entre un ángulo hiperbólico y la métrica definida en el espacio de Minkowski. Así como la geometría euclidiana bidimensional define su elemento lineal como

${\displaystyle ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},}$

El elemento de línea en el espacio de Minkowski es ^[4]

${\displaystyle ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.}$

Consideremos una curva incrustada en un espacio euclidiano bidimensional,

${\displaystyle x=f(t),y=g(t).}$

Donde el parámetro es un número real que se encuentra entre y ( ). La longitud de arco de esta curva en el espacio euclidiano se calcula como: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leqslant t<b}$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.}$

Si define un círculo unitario, un único conjunto de soluciones parametrizadas para esta ecuación es y . Si , calculamos la longitud del arco obtenemos . Ahora, si realizamos el mismo procedimiento, excepto que reemplazamos el elemento euclidiano por el elemento de línea de Minkowski, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x=\cos t}$ ${\displaystyle y=\sin t}$ ${\displaystyle 0\leqslant t<\theta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\theta }$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,}$

y definiendo una hipérbola unitaria como con su correspondiente conjunto de soluciones parametrizadas y , y haciendo (el ángulo hiperbólico), llegamos al resultado de . Así como el ángulo circular es la longitud de un arco circular usando la métrica euclidiana, el ángulo hiperbólico es la longitud de un arco hiperbólico usando la métrica de Minkowski. ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$ ${\displaystyle y=\cosh t}$ ${\displaystyle x=\sinh t}$ ${\displaystyle 0\leqslant t<\eta }$ ${\displaystyle S=\eta }$

Historia

La cuadratura de la hipérbola es la evaluación del área de un sector hiperbólico . Se puede demostrar que es igual al área correspondiente contra una asíntota . La cuadratura fue realizada por primera vez por Gregoire de Saint-Vincent en 1647 en Opus Geometricum quadrature circuli et sectionum coni . Como lo expresó un historiador,

Hizo la cuadratura de una hipérbola con sus asíntotas , y demostró que a medida que el área aumentaba en la serie aritmética, las abscisas aumentaban en la serie geométrica . ^[5]

AA de Sarasa interpretó la cuadratura como un logaritmo y, por lo tanto, el logaritmo natural definido geométricamente (o "logaritmo hiperbólico") se entiende como el área bajo y = 1/ x a la derecha de x = 1. Como ejemplo de una función trascendental , el logaritmo es más familiar que su motivador, el ángulo hiperbólico. Sin embargo, el ángulo hiperbólico juega un papel cuando se avanza en el teorema de Saint-Vincent con el mapeo de compresión .

La trigonometría circular fue extendida a la hipérbola por Augustus De Morgan en su libro de texto Trigonometría y Álgebra Doble . ^[6] En 1878 WK Clifford utilizó el ángulo hiperbólico para parametrizar una hipérbola unitaria , describiéndola como " movimiento cuasi armónico ".

En 1894, Alexander Macfarlane hizo circular su ensayo "El imaginario del álgebra", que utilizaba ángulos hiperbólicos para generar versores hiperbólicos , en su libro Papers on Space Analysis . ^[7] Al año siguiente, el Bulletin of the American Mathematical Society publicó el esquema de Mellen W. Haskell de las funciones hiperbólicas . ^[8]

Cuando Ludwik Silberstein escribió su popular libro de texto de 1914 sobre la nueva teoría de la relatividad , utilizó el concepto de rapidez basado en el ángulo hiperbólico a , donde tanh a = v / c , la relación entre la velocidad v y la velocidad de la luz . Escribió:

Vale la pena mencionar que a la rapidez unitaria corresponde una velocidad enorme, equivalente a 3/4 de la velocidad de la luz; más exactamente, tenemos v = (.7616) c para a = 1 .

[...] la rapidez a = 1 , [...] en consecuencia representará la velocidad .76  c que es un poco superior a la velocidad de la luz en el agua.

Silberstein también utiliza el concepto de ángulo de paralelismo de Lobachevsky Π( a ) para obtener cos Π( a ) = v / c . ^[9]

Angulo circular imaginario

El ángulo hiperbólico se presenta a menudo como si fuera un número imaginario , y de esta manera las funciones hiperbólicas cosh y senh pueden representarse a través de funciones circulares. Pero en el plano euclidiano podríamos considerar alternativamente las medidas de los ángulos circulares como imaginarias y las medidas de los ángulos hiperbólicos como escalares reales, y ${\textstyle \cos ix=\cosh x}$ ${\textstyle \sin ix=i\sinh x,}$ ${\textstyle \cosh ix=\cos x}$ ${\textstyle \sinh ix=i\sin x.}$

Estas relaciones se pueden entender en términos de la función exponencial , que para un argumento complejo se puede descomponer en partes pares e impares y respectivamente. Entonces ${\textstyle z}$ ${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$ ${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$

$${\displaystyle e^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),}$$

o si el argumento se separa en partes reales e imaginarias, la exponencial se puede dividir en el producto de escala y rotación. ${\textstyle z=x+iy,}$ ${\textstyle e^{x}}$ ${\textstyle e^{iy},}$

$${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y).}$$

Como serie infinita ,

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}}$$

La serie infinita para el coseno se deriva de cosh convirtiéndolo en una serie alterna , y la serie para el seno proviene de convertir sinh en una serie alterna.

Véase también

• Angulo trascendente

Notas

1. Bjørn Felsager, Through the Looking Glass – A glimpse of Euclid's twin geometry, the Minkowski geometry Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine , ICME-10 Copenhague 2004; pág. 14. Véase también las hojas de ejemplo [1] Archivado el 6 de enero de 2009 en Wayback Machine [2] Archivado el 21 de noviembre de 2008 en Wayback Machine explorando los paralelos minkowskianos de algunos resultados euclidianos estándar
2. Viktor Prasolov y Yuri Solovyev (1997) Funciones elípticas e integrales elípticas , página 1, Traducciones de monografías matemáticas volumen 170, American Mathematical Society
3. Geometría hiperbólica, págs. 5-6, figura 15.1
4. Weisstein, Eric W. "Métrica de Minkowski". mathworld.wolfram.com .
5. David Eugene Smith (1925) Historia de las matemáticas , págs. 424,5 v. 1
6. Augustus De Morgan (1849) Trigonometría y álgebra doble, Capítulo VI: "Sobre la conexión de la trigonometría común e hiperbólica"
7. Alexander Macfarlane (1894) Documentos sobre análisis espacial, B. Westerman, Nueva York
8. Mellen W. Haskell (1895) Sobre la introducción de la noción de funciones hiperbólicas Boletín de la Sociedad Matemática Americana 1(6):155–9
9. Ludwik Silberstein (1914) La teoría de la relatividad, págs. 180-181 vía Internet Archive

Referencias

• Janet Heine Barnett (2004) "Entra, centro del escenario: el drama temprano de las funciones hiperbólicas", disponible en (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 o (b) capítulo 7 de Euler en 300 , RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer editores, Mathematical Association of America ISBN 0-88385-565-8 . 
• Arthur Kennelly (1912) Aplicación de funciones hiperbólicas a problemas de ingeniería eléctrica
• William Mueller, Explorando el precálculo , § El número e, Trigonometría hiperbólica.
• John Stillwell (1998) Números y geometría , ejercicio 9.5.3, pág. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2 .