Un sector hiperbólico es una región del plano cartesiano delimitada por una hipérbola y dos rayos desde el origen hasta ella. Por ejemplo, los dos puntos ( a , 1/ a ) y ( b , 1/ b ) en la hipérbola rectangular xy = 1 , o la región correspondiente cuando esta hipérbola se vuelve a escalar y su orientación se altera mediante una rotación que sale de la centro en el origen, como ocurre con la hipérbola unitaria . Un sector hiperbólico en posición estándar tiene a = 1 y b > 1 .
Los sectores hiperbólicos son la base de las funciones hiperbólicas .
El área de un sector hiperbólico en posición estándar es el logaritmo natural de b .
Prueba: integra bajo 1/ x de 1 a b , suma el triángulo {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} y resta el triángulo {(0, 0), ( b , 0), ( b , 1/ b )} (ambos triángulos tienen la misma área).[1]
Cuando está en posición estándar, un sector hiperbólico corresponde a un ángulo hiperbólico positivo en el origen, definiéndose la medida de este último como el área del primero.
Cuando está en posición estándar, un sector hiperbólico determina un triángulo hiperbólico , el triángulo rectángulo con un vértice en el origen, base en el rayo diagonal y = x y tercer vértice en la hipérbola.
siendo la hipotenusa el segmento desde el origen hasta el punto ( x, y ) de la hipérbola. La longitud de la base de este triángulo es
y la altitud es
donde u es el ángulo hiperbólico apropiado .
La analogía entre funciones circulares e hiperbólicas fue descrita por Augustus De Morgan en su Trigonometría y álgebra doble (1849). [2] William Burnside utilizó tales triángulos, proyectándolos desde un punto de la hipérbola xy = 1 sobre la diagonal principal, en su artículo "Nota sobre el teorema de la suma para funciones hiperbólicas". [3]
Se sabe que f( x ) = x p tiene antiderivada algebraica excepto en el caso p = –1 correspondiente a la cuadratura de la hipérbola. Los demás casos vienen dados por la fórmula de cuadratura de Cavalieri . Mientras que Arquímedes había logrado la cuadratura de la parábola en el siglo III a. C. (en La cuadratura de la parábola ), la cuadratura hiperbólica requirió la invención en 1647 de una nueva función: Gregoire de Saint-Vincent abordó el problema de calcular las áreas acotadas por una hipérbola. Sus hallazgos llevaron a la función logaritmo natural, alguna vez llamada logaritmo hiperbólico , ya que se obtiene integrando o encontrando el área debajo de la hipérbola. [4]
Antes de 1748 y la publicación de Introducción al Análisis del Infinito , el logaritmo natural se conocía en términos del área de un sector hiperbólico. Leonhard Euler cambió eso cuando introdujo funciones trascendentales como 10 x . Euler identificó e como el valor de b que produce una unidad de área (bajo la hipérbola o en un sector hiperbólico en posición estándar). Entonces el logaritmo natural podría reconocerse como la función inversa a la función trascendental e x .
Para acomodar el caso de logaritmos negativos y los correspondientes ángulos hiperbólicos negativos, se construyen diferentes sectores hiperbólicos según si x es mayor o menor que uno. Un triángulo rectángulo variable con área 1/2 es El caso isósceles es El logaritmo natural se conoce como el área bajo y = 1/ x entre uno y x . Un ángulo hiperbólico positivo está dado por el área de Un ángulo hiperbólico negativo está dado por el negativo del área Esta convención está de acuerdo con un logaritmo natural negativo para x en (0,1).
Cuando Felix Klein escribió su libro sobre geometría no euclidiana en 1928, proporcionó una base para el tema haciendo referencia a la geometría proyectiva . Para establecer una medida hiperbólica en una línea, señaló que el área de un sector hiperbólico proporcionaba una ilustración visual del concepto. [5]
A la hipérbola también se les pueden dibujar sectores hiperbólicos . El área de dichos sectores hiperbólicos se ha utilizado para definir la distancia hiperbólica en un libro de texto de geometría. [6]
