Augustus De Morgan fue un matemático y lógico británico . Formuló las leyes de De Morgan e introdujo el término inducción matemática , haciendo rigurosa su idea. [1] Las contribuciones de De Morgan a la lógica han sido importantes en la teoría de conjuntos , la teoría de la probabilidad , la informática y muchos otros campos.
Augustus De Morgan nació en Madurai , en la región Carnática de la India en 1806. [2] [a] Su padre fue el teniente coronel John De Morgan (1772-1816), quien ocupó varios cargos al servicio de la Compañía de las Indias Orientales. , y su madre, Elizabeth (de soltera Dodson, 1776–1856), era hija de John Dodson y nieta de James Dodson , quien calculó una tabla de antilogaritmos ( logaritmos inversos ). [3] Augustus De Morgan quedó ciego de un ojo uno o dos meses después de su nacimiento. Su familia se mudó a Inglaterra cuando Augustus tenía siete meses. Como su padre y su abuelo habían nacido en la India, De Morgan solía decir que no era ni inglés, ni escocés, ni irlandés, sino un británico "sin ataduras", usando el término técnico aplicado a un estudiante universitario de Oxford o Cambridge que estaba no ser miembro de ninguno de los Colegios.
Cuando De Morgan tenía diez años, su padre murió. [2] La Sra. De Morgan vivió en varios lugares diferentes en el suroeste de Inglaterra, y su hijo recibió su educación primaria en varias escuelas sin gran importancia. [ cita necesaria ] Sus talentos matemáticos pasaron desapercibidos hasta los catorce años, cuando un amigo de la familia lo descubrió haciendo un elaborado dibujo de una figura de una de las obras de Euclides con una regla y un compás. [2]
Recibió su educación secundaria del Sr. Parsons, un miembro del Oriel College de Oxford , que prefería los clásicos a las matemáticas. La madre de De Morgan era un miembro activo y apasionado de la Iglesia de Inglaterra y quería que su hijo se convirtiera en un funcionario de la iglesia, pero en ese momento, De Morgan había comenzado a mostrar su carácter inconformista . Se volvió ateo. [4] [5]
Hay una palabra en nuestro idioma con la que no confundiré este tema, tanto por el uso deshonroso que frecuentemente se hace de ella, como imputación lanzada por una secta a otra, como por la variedad de significados que se le atribuyen. Usaré la palabra antideísmo para indicar la opinión de que no existe un Creador que creó y sostiene el Universo.
—De Morgan 1838, pág. 22
En 1823, a la edad de dieciséis años, se matriculó en el Trinity College de Cambridge , [6] donde conoció a George Peacock y William Whewell , quienes supuestamente se convirtieron en su amigo de toda la vida. De Peacock derivó un interés por la renovación del álgebra, y de Whewell, un interés por la renovación de la lógica, los dos temas de su futura obra. Su tutor universitario fue John Philips Higman , FRS.
En la universidad, tocaba la flauta de forma recreativa y se destacó en los clubes musicales. Su amor por el conocimiento por sí mismo interfirió con su preparación para la gran carrera matemática; como consecuencia quedó cuarto luchador . Esto le dio derecho a obtener el título de Licenciado en Artes , pero para obtener el título superior de Maestría en Artes y, por lo tanto, ser elegible para una beca, necesitaba aprobar un examen teológico. De Morgan sentía una fuerte objeción a firmar tal prueba, a pesar de que se había criado en la Iglesia de Inglaterra. Alrededor de 1875, la exigencia de pruebas teológicas para los títulos académicos fue abolida en la Ley de 1859 de las Universidades de Oxford y Cambridge .
De Morgan decidió ir al Colegio de Abogados y se instaló en Londres porque ya no podía encontrar trabajo, pero prefería enseñar matemáticas a leer derecho. Por esta época tomó forma el movimiento para la fundación de la Universidad de Londres (ahora University College London ). Las dos antiguas universidades de Oxford y Cambridge estaban tan protegidas por pruebas teológicas que ningún judío o disidente fuera de la Iglesia de Inglaterra podía ingresar como estudiante, y mucho menos ser nombrado para ningún cargo. Un grupo de hombres de mentalidad liberal resolvió establecer una universidad en Londres sobre el principio de neutralidad religiosa. De Morgan, que entonces tenía 22 años, fue nombrado profesor de matemáticas. Su conferencia introductoria "Sobre el estudio de las matemáticas" es un discurso sobre educación mental de valor permanente y ha sido reimpreso recientemente en los Estados Unidos. [ cita necesaria ] [7]
La Universidad de Londres era una institución nueva y las relaciones entre el consejo de dirección, el senado de profesores y el cuerpo de estudiantes no estaban bien definidas. Surgió una disputa entre el profesor de anatomía y sus alumnos, y debido a la acción adoptada por el consejo, varios profesores dimitieron, encabezados por De Morgan. Se nombró a otro profesor de matemáticas, que se ahogó unos años después. De Morgan fue invitado a regresar a su silla, donde permaneció durante treinta años.
El mismo cuerpo de reformadores, encabezado por Lord Brougham , un escocés eminente tanto en ciencia como en política que había instituido la Universidad de Londres, fundó una Sociedad para la Difusión del Conocimiento Útil aproximadamente al mismo tiempo. Su objetivo era difundir el conocimiento científico con tratados baratos y escritos con claridad por los mejores escritores de la época. Uno de sus escritores más voluminosos y eficaces fue De Morgan. Escribió The Differential and Integral Calculus , que fue publicado por la Sociedad, y escribió una sexta parte de los artículos en la Penny Cyclopedia , publicada por la Sociedad y publicada en números de un centavo. Cuando De Morgan vino a vivir a Londres, encontró en William Frend un amigo agradable , a pesar de su herejía matemática sobre las cantidades negativas. Ambos eran aritméticos y actuarios , y sus opiniones religiosas eran algo similares. Frend vivía en lo que entonces era un suburbio de Londres, en una casa de campo anteriormente ocupada por Daniel Defoe e Isaac Watts . De Morgan con su flauta fue un visitante bienvenido.
La Universidad de Londres de la que De Morgan era profesor era una institución diferente a la Universidad de Londres . La Universidad de Londres fue fundada unos diez años después por el Gobierno con el fin de otorgar títulos después de un examen, sin ninguna calificación en cuanto a residencia. La Universidad de Londres estaba afiliada a la Universidad de Londres como escuela de enseñanza y su nombre se cambió a University College. La Universidad de Londres no tuvo éxito como organismo examinador; Se exigía una Universidad docente. De Morgan fue un profesor de matemáticas de gran éxito. Su plan era dar una conferencia durante una hora y, al final de cada conferencia, exponer una serie de problemas y ejemplos que fueran ilustrativos del tema de la conferencia; Se pidió a sus alumnos que trabajaran en ellos y le trajeran los resultados, que él revisó y devolvió revisados antes de la siguiente conferencia. En opinión de De Morgan, una comprensión profunda y una asimilación mental de los grandes principios superaban con creces en importancia cualquier destreza meramente analítica en la aplicación de principios parcialmente comprendidos a casos particulares.
Durante este período, también impulsó el trabajo del matemático indio autodidacta Ramchundra , a quien se le ha llamado el Ramanujan de De Morgan . Supervisó la publicación en Londres del libro de Ramchundra Tratado sobre problemas de máximos y mínimos en 1859. En su prefacio a esa edición, De Morgan escribió:
Al examinar esta obra vi en ella no sólo un mérito digno de aliento, sino un mérito de un tipo peculiar, cuyo estímulo, según me pareció, probablemente promovería los esfuerzos nativos hacia la restauración de la mente nativa en la India.
En el mismo prefacio, reconoció su conocimiento de la tradición india de la lógica y más tarde volvió a escribir, en 1860, sobre su importancia:
"Las dos razas que han fundado las matemáticas, las de las lenguas sánscrita y griega, han sido las dos que han formado independientemente sistemas de lógica. [8]
Aunque varios autores habían llamado la atención de los matemáticos occidentales sobre la sofisticación del pensamiento lógico indio a partir de finales del siglo XVIII, no se sabe si esto tuvo alguna influencia en el propio trabajo de De Morgan. Mary Boole , sin embargo, afirmó tener una profunda influencia –a través de su tío George Everest– del pensamiento indio en general y de la lógica india, en particular, en George Boole , así como en De Morgan y Charles Babbage :
Pensemos en cuál debe haber sido el efecto de la intensa hinduización de tres hombres como Babbage , De Morgan y George Boole en la atmósfera matemática de 1830-1865. ¿Qué participación tuvo en la generación del análisis vectorial y las matemáticas mediante las cuales se llevan a cabo ahora las investigaciones en ciencias físicas? [9]
Jonardon Ganeri ha observado que fue este período de mediados del siglo XIX señalado por Mary Boole el que vio a George Boole y Augustus De Morgan hacer sus aplicaciones pioneras de ideas algebraicas a la formulación de la lógica ( lógica algebraica y lógica booleana ), y ha sugirió que estas figuras probablemente habían sido conscientes del sistema indio de lógica y, a su vez, que su conciencia de las deficiencias de la lógica proposicional tal como fue formulada entonces puede haber contribuido a su voluntad de mirar más allá de su propia tradición lógica. [10]
Augustus fue uno de siete hijos, cuatro de los cuales sobrevivieron hasta la edad adulta. Estos hermanos eran Eliza (1801-1836), que se casó con Lewis Hensley, un cirujano que vivía en Bath; George (1808–1890), abogado que se casó con Josephine, hija del vicealmirante Josiah Coghill, tercer baronet Coghill; y Campbell Greig (1811–1876), cirujano del Hospital de Middlesex.
En el otoño de 1837, De Morgan se casó con Sophia Elizabeth Frend (1809–1892), hija mayor de William Frend (1757–1841) y Sarah Blackburne (1779–?), nieta de Francis Blackburne (1705–1787), archidiácono de Cleveland. [11]
De Morgan tuvo tres hijos y cuatro hijas, incluida la autora de cuentos de hadas Mary De Morgan . Su hijo mayor fue el alfarero William De Morgan . Su segundo hijo, George, obtuvo una distinción en matemáticas en el University College y la Universidad de Londres. Él y otros alumnos de ideas afines concibieron la idea de fundar una sociedad matemática en Londres, donde no sólo se recibirían artículos matemáticos (como en la Royal Society ), sino que también se leerían y discutirían. La primera reunión se realizó en University College; De Morgan fue el primer presidente y su hijo el primer secretario. Fue el comienzo de la Sociedad Matemática de Londres .
En 1866, quedó vacante la cátedra de filosofía mental en el University College. James Martineau , un clérigo unitario y profesor de filosofía mental, fue recomendado formalmente por el Senado al consejo, pero en el consejo hubo algunos que se opusieron a un clérigo unitario y otros que se opusieron a la filosofía teísta. Se nombró a un laico de la escuela de Bain y Spencer . De Morgan consideró que el antiguo estándar de neutralidad religiosa había sido derribado y dimitió inmediatamente. Ahora tenía 60 años. Sus alumnos le consiguieron una pensión de 500 libras esterlinas al año, pero siguieron las desgracias. Dos años más tarde, su hijo George, el "Bernoulli más joven", como a Augustus le encantaba oírlo llamar, en alusión a los eminentes matemáticos padre e hijo de ese nombre, murió. A este golpe le siguió la muerte de una hija. Cinco años después de su dimisión del University College, De Morgan murió de postración nerviosa el 18 de marzo de 1871.
De Morgan fue un escritor brillante e ingenioso, ya sea como polémico o como corresponsal. En su época, florecieron dos Sir William Hamilton que a menudo han sido confundidos. Uno era Sir William Hamilton, noveno baronet , escocés, profesor de lógica y metafísica en la Universidad de Edimburgo ; el otro era un caballero (es decir, ganó el título), un irlandés, profesor de astronomía en la Universidad de Dublín.
Que sepas que he descubierto que tú y el otro Sir WH sois polares recíprocos con respecto a mí (intelectual y moralmente, porque el baronet escocés es un oso polar, y tú, iba a decir, eres un caballero polar). ). Cuando envío un poco de investigación a Edimburgo, el WH de ese tipo dice que se lo quité. Cuando te envío uno, me lo quitas, lo generalizas de un vistazo, lo entregas así generalizado a la sociedad en general y me conviertes en el segundo descubridor de un teorema conocido.
La correspondencia de De Morgan con el matemático Hamilton se extendió a lo largo de veinticuatro años; contiene discusiones no sólo de cuestiones matemáticas, sino también de temas de interés general. Está marcado por la genialidad de Hamilton y el ingenio de De Morgan. El siguiente es un ejemplar:
Hamilton escribió:
Mi copia del trabajo de Berkeley no es mía; Como Berkeley, ya sabes, soy irlandés.
De Morgan respondió:
Tu frase 'mi copia no es mía' no es una tontería . Es un inglés perfectamente bueno usar la misma palabra en dos sentidos diferentes en una oración, especialmente cuando hay uso. La incongruencia del lenguaje no es una tontería, porque expresa significado. Pero la incongruencia de ideas (como en el caso del irlandés que estaba tirando de la cuerda y, al ver que no terminaba, gritó que alguien había cortado el otro extremo) es el toro genuino.
De Morgan estaba lleno de peculiaridades personales. Con motivo de la toma de posesión de su amigo, Lord Brougham, como rector de la Universidad de Edimburgo, el Senado ofreció conferirle el título honorífico de LL. D.; declinó el honor por considerarlo un nombre inapropiado. Se describió a sí mismo con humor usando la frase latina 'Homo paucarum literarum' (hombre de pocas letras), lo que refleja su modestia sobre sus extensas contribuciones a las matemáticas y la lógica. [ cita necesaria ]
No le gustaban las provincias fuera de Londres, y mientras su familia disfrutaba de la playa y los hombres de ciencia se divertían en una reunión de la Asociación Británica en el campo, él permanecía en las calurosas y polvorientas bibliotecas de la metrópoli. Dijo que se sentía como Sócrates , quien declaró que cuanto más lejos estaba de Atenas más lejos estaba de la felicidad. Nunca buscó convertirse en miembro de la Royal Society y nunca asistió a una reunión de la Sociedad; dijo que no tenía ideas ni simpatías en común con el filósofo físico. Su actitud posiblemente se debió a su dolencia física, que le impedía ser observador o experimentador. Nunca votó en una elección y nunca visitó la Cámara de los Comunes , la Torre de Londres o la Abadía de Westminster .
Si los escritos de De Morgan, como sus contribuciones a la Sociedad del Conocimiento Útil, se publicaran en forma de obras completas, formarían una pequeña biblioteca. Principalmente gracias a los esfuerzos de Peacock y Whewell, se inauguró una Sociedad Filosófica en Cambridge, y De Morgan contribuyó con cuatro memorias a sus transacciones sobre los fundamentos del álgebra y un número igual sobre la lógica formal. La mejor presentación de su visión del álgebra se encuentra en un volumen titulado Trigonometry and Double Algebra , publicado en 1849, y su visión anterior de la lógica formal se encuentra en un volumen publicado en 1847. Su obra más distintiva se titula A Budget of Paradoxes. ; apareció originalmente como cartas en las columnas del diario Athenæum ; Fue revisado y ampliado por De Morgan en los últimos años de su vida y publicado póstumamente por su viuda.
La teoría del álgebra de George Peacock fue mejorada mucho por DF Gregory , un miembro más joven de la Escuela de Cambridge, quien puso énfasis no en la permanencia de formas equivalentes, sino en la permanencia de ciertas leyes formales. Esta nueva teoría del álgebra como ciencia de los símbolos y de sus leyes de combinación fue llevada a su origen lógico por De Morgan, y su doctrina sobre la materia todavía es seguida por los algebristas ingleses en general. Así, George Chrystal funda su Libro de texto de álgebra en la teoría de De Morgan, aunque un lector atento puede observar que prácticamente la abandona cuando aborda el tema de las series infinitas. La teoría de De Morgan está expuesta en su volumen sobre Trigonometría y Álgebra Doble , donde en el Libro II, Capítulo II, titulado "Sobre álgebra simbólica", escribe:
Al abandonar los significados de los símbolos, abandonamos también los de las palabras que los describen. Así pues, la adición será, por el momento, un sonido carente de sentido. Es un modo de combinación representado por ; cuando reciba su significado, también lo hará la palabra adición . Es muy importante que el estudiante tenga en cuenta que, con una excepción , ninguna palabra ni signo de aritmética o álgebra tiene un átomo de significado a lo largo de este capítulo, cuyo objeto son los símbolos y sus leyes de combinación, dando un significado simbólico. álgebra que en adelante puede convertirse en la gramática de cien álgebras significativas distintas . Si alguien afirmara que y podría significar recompensa y castigo, y , , , etc. podría representar virtudes y vicios, el lector podría creerle o contradecirlo, como le plazca, pero no fuera de este capítulo.
La única excepción mencionada anteriormente, que tiene algo de significado, es el signo colocado entre dos símbolos, como en . Indica que los dos símbolos tienen el mismo significado resultante, cualesquiera que sean los diferentes pasos alcanzados. Que y , si son cantidades, son la misma cantidad de cantidad; que si son operaciones, son del mismo efecto, etc.
El trabajo de De Morgan titulado Trigonometry and Double Algebra [12] consta de dos partes; el primero de los cuales es un tratado de trigonometría , y el segundo un tratado de álgebra generalizada al que llamó "álgebra doble". La primera etapa en el desarrollo del álgebra es la aritmética , donde solo se utilizan números naturales y símbolos de operaciones como + , × , etc. La siguiente etapa es la aritmética universal , donde aparecen letras en lugar de números, para denotar números universalmente, y los procesos se llevan a cabo sin conocer los valores de los símbolos. Sean a y b cualquier número natural. Una expresión como a − b aún puede ser imposible, por lo que en aritmética universal siempre hay una condición, siempre que la operación sea posible . La tercera etapa es el álgebra simple , donde el símbolo puede denotar una cantidad hacia adelante o una cantidad hacia atrás y está adecuadamente representado por segmentos de una línea recta que pasa por un origen. Las cantidades negativas ya no son imposibles; están representados por el segmento hacia atrás. Pero todavía queda una imposibilidad en la última parte de una expresión como a + b √ −1 que surge en la solución de la ecuación cuadrática. La cuarta etapa es el álgebra doble . El símbolo algebraico denota en general un segmento de una recta en un plano dado. Es un símbolo doble porque implica dos especificaciones, a saber, longitud y dirección; y √ −1 se interpreta como que denota un cuadrante. La expresión a + b √ −1 representa entonces una recta en el plano que tiene una abscisa a y una ordenada b . Argand y Warren llevaron hasta ahora el álgebra doble, pero no pudieron interpretar en esta teoría una expresión como e a √ −1 . De Morgan lo intentó reduciendo tal expresión a la forma b + q √ −1 , y consideró que había demostrado que siempre podía reducirse así. El hecho notable es que esta doble álgebra satisface todas las leyes fundamentales enumeradas anteriormente y, como se ha interpretado cada combinación aparentemente imposible de símbolos, parece la forma completa del álgebra. En el capítulo 6 introdujo las funciones hiperbólicas y analizó la conexión entre la trigonometría común y la hiperbólica .
Si la teoría anterior es cierta, la siguiente etapa de desarrollo debería ser el álgebra triple y si a + b √ −1 realmente representa una línea en un plano dado, debería ser posible encontrar un tercer término que sumado a lo anterior sería representar una línea en el espacio. Argand y algunos otros supusieron que era a + b √ −1 + c √ −1 √ −1 aunque esto contradice la verdad establecida por Euler de que √ −1 √ −1 = e −π/2 . De Morgan y muchos otros trabajaron duro en el problema, pero no salió nada hasta que Hamilton se hizo cargo del problema. Ahora vemos claramente la razón: el símbolo del álgebra doble no denota una longitud ni una dirección; sino un multiplicador y un ángulo . En él los ángulos están confinados a un plano. Por lo tanto, la siguiente etapa será un álgebra cuádruple , cuando el eje del plano se haga variable. Y esto da la respuesta a la primera pregunta; El álgebra doble no es más que trigonometría plana analítica, y es por eso que se ha descubierto que es el análisis natural de las corrientes alternas. Pero De Morgan nunca llegó tan lejos. Murió con la creencia de que "el álgebra doble debe permanecer como el pleno desarrollo de las concepciones de la aritmética, en lo que respecta a aquellos símbolos que la aritmética sugiere inmediatamente".
En el Libro II, Capítulo II, siguiendo el pasaje citado anteriormente sobre la teoría del álgebra simbólica, De Morgan procede a hacer un inventario de los símbolos fundamentales del álgebra, y también un inventario de las leyes del álgebra. Los símbolos son , , , , , , () y letras; sólo estos, todos los demás son derivados. Como explica De Morgan, el último de estos símbolos representa escribir una última expresión en superíndice encima y después de la anterior. Su inventario de las leyes fundamentales se expresa en catorce títulos, pero algunos de ellos son meras definiciones. La lista anterior de símbolos es el tema bajo el primero de estos encabezados. Las leyes propiamente dichas pueden reducirse a las siguientes, las cuales, como él admite, no son todas independientes entre sí, "pero el carácter asimétrico de la operación exponencial y la falta del proceso de conexión de y ... hace necesario indicarlos por separado":
De Morgan pretende ofrecer un inventario completo de las leyes que deben obedecer los símbolos del álgebra, pues dice: "Cualquier sistema de símbolos que obedezca estas reglas y no otras (excepto si están formados por una combinación de estas reglas) y que utilice las Los símbolos precedentes y ningún otro, excepto que sean nuevos símbolos inventados como abreviatura de combinaciones de estos símbolos, es álgebra simbólica ". Desde su punto de vista, ninguno de los principios anteriores son reglas; son leyes formales, es decir, relaciones elegidas arbitrariamente a las que deben estar sujetos los símbolos algebraicos. No menciona la ley que ya había sido señalada por Gregorio, es decir, y a la que luego se le dio el nombre de Ley de asociación . Si la ley conmutativa falla, la asociativa puede ser válida; pero no al revés . Es una desgracia para el simbolista o el formalista que en la aritmética universal no sea igual a ; pues entonces la ley conmutativa tendría pleno alcance. ¿Por qué no le da todo su alcance? Porque los fundamentos del álgebra son, después de todo, reales, no formales, materiales y no simbólicos. Para los formalistas las operaciones de índices son sumamente refractarias, por lo que algunos no las tienen en cuenta, sino que las relegan a las matemáticas aplicadas. [ cita necesaria ] Hacer un inventario de las leyes que deben obedecer los símbolos del álgebra es una tarea imposible, y recuerda no poco la tarea de aquellos filósofos que intentan hacer un inventario del conocimiento a priori de la mente. [ cita necesaria ] [ ¿ investigación original? ]
Cuando el estudio de las matemáticas revivió en la Universidad de Cambridge, también lo hizo el estudio de la lógica. El espíritu impulsor fue Whewell, el maestro del Trinity College, cuyos principales escritos fueron Historia de las ciencias inductivas y Filosofía de las ciencias inductivas . Sin duda, De Morgan fue influenciado en sus investigaciones lógicas por Whewell; pero otros contemporáneos influyentes fueron Sir William Rowan Hamilton en Dublín y George Boole en Cork. La obra de De Morgan, Lógica formal , publicada en 1847, es principalmente notable por su desarrollo del silogismo numéricamente definido . Los seguidores de Aristóteles dicen que de dos proposiciones particulares como Algunas M son A y Algunas M son B, no se sigue necesariamente nada sobre la relación entre A y B. Pero van más allá y dicen que para que cualquier relación entre A y B pueda seguirse necesariamente, el término medio debe tomarse universalmente en una de las premisas. De Morgan señaló que de la mayoría de las M son A y la mayoría de las M son B se sigue necesariamente que algunas A son B y formuló el silogismo numéricamente definido que pone este principio en forma cuantitativa exacta. Supongamos que el número de M es , de los M que son A es , y de los M que son B es ; entonces hay al menos A que son B. Supongamos que el número de almas a bordo de un vapor fuera 1000, que 500 estuvieran en el salón y 700 se perdieran. Se deduce necesariamente que se perdieron al menos 700 + 500 – 1000, es decir, 200 pasajeros de la berlina. Este único principio basta para probar la validez de todos los estados de ánimo aristotélicos . Por tanto, es un principio fundamental en el razonamiento necesario.
Aquí, pues, De Morgan había hecho un gran avance al introducir la cuantificación de los términos . En aquella época, Sir William Hamilton estaba enseñando en Edimburgo una doctrina sobre la cuantificación del predicado, y surgió una correspondencia. Sin embargo, De Morgan pronto percibió que la cuantificación de Hamilton era de un carácter diferente; que significaba, por ejemplo, sustituir las dos formas El todo de A es el todo de B y El todo de A es una parte de B por la forma aristotélica Todos los A son B. Hamilton pensó que había colocado la piedra clave en el arco aristotélico, como él mismo lo expresó. Aunque debió ser un curioso arco que podría aguantar 2000 años sin clave. En consecuencia, no tenía lugar para las innovaciones de De Morgan. Acusó a De Morgan de plagio y la controversia se prolongó durante años en las columnas del Athenæum y en las publicaciones de los dos escritores.
Las memorias sobre lógica que De Morgan contribuyó a las Transactions of the Cambridge Philosophical Society después de la publicación de su libro Formal Logic son, con diferencia, las contribuciones más importantes que hizo a la ciencia, especialmente su cuarta memoria, en la que comienza a trabajar en el amplio campo de la "lógica de los parientes".
En la introducción al Presupuesto de Paradojas, De Morgan explica lo que quiere decir con la palabra:
Un gran número de personas, desde el surgimiento del método matemático, han atacado, cada uno por su lado, sus consecuencias directas e indirectas. Llamaré paradoja a cada una de estas personas y a su sistema, paradoja . Utilizo la palabra en el sentido antiguo: una paradoja es algo que está aparte de la opinión general, ya sea en el tema, el método o la conclusión. Muchas de las cosas presentadas ahora se llamarían entrepiernas , que es la palabra más cercana que tenemos a la vieja paradoja . Pero existe esta diferencia: al llamar a una cosa chiflada queremos hablar de ella a la ligera; lo cual no era la necesaria sensación de paradoja. Así, en el siglo XVI muchos hablaban del movimiento de la Tierra como la paradoja de Copérnico y tenían en muy alta estima el ingenio de esa teoría, y creo que algunos incluso se inclinaban hacia ella. En el siglo XVII se produjo la privación de significado, al menos en Inglaterra.
¿Cómo se puede distinguir al verdadero paradojador del falso paradojador? De Morgan proporciona la siguiente prueba:
La manera en que un paradoja se mostrará, en cuanto a sentido o sinsentido, no dependerá de lo que sostenga, sino de si ha hecho o no un conocimiento suficiente de lo que han hecho otros, especialmente en cuanto al modo de actuar. hacerlo, un paso preliminar para inventar conocimiento por sí mismo... El nuevo conocimiento, cuando tiene algún propósito, debe llegar mediante la contemplación del conocimiento antiguo, en todo asunto que concierne al pensamiento; Los inventos mecánicos a veces, no muy a menudo, escapan a esta regla. Todos los hombres que ahora se llaman descubridores, en todos los asuntos regidos por el pensamiento, han sido hombres versados en las mentes de sus predecesores y aprendido en lo que había sucedido antes de ellos. No hay una excepción.
El presupuesto consiste en una reseña de una gran colección de libros paradójicos que De Morgan había acumulado en su propia biblioteca, en parte comprándolos en quioscos, en parte a partir de libros que le enviaron para su revisión, en parte a partir de libros que le enviaron los autores. Da la siguiente clasificación: cuadrados del círculo, trisectores del ángulo, duplicadores del cubo, constructores del movimiento perpetuo, subversores de la gravitación, estancadores de la tierra, constructores del universo. Todavía encontrarás ejemplares de todas estas clases en el Nuevo Mundo y en el nuevo siglo. De Morgan aporta su conocimiento personal de los paradojadores.
Sospecho que sé más de la clase inglesa que cualquier hombre en Gran Bretaña. Nunca llevé cuentas: ¿pero sé que un año con otro? ¿Y menos en los últimos años que en el pasado? – He hablado con más de cinco cada año, entregándoles más de ciento cincuenta ejemplares. De esto estoy seguro, que la culpa es mía si no han sido mil. Nadie sabe cómo pululan, excepto aquellos a quienes recurren naturalmente. Los hay de todos los rangos y ocupaciones, de todas las edades y caracteres. Son personas muy serias, y su propósito es de buena fe , la difusión de sus paradojas. Una gran cantidad –la masa, de hecho– son analfabetos, y muchos desperdician sus recursos y se encuentran en la miseria o al borde de ella. Estos descubridores se desprecian unos a otros.
Un paradojaro a quien De Morgan le hizo el mismo cumplido que Aquiles le hizo a Héctor (arrastrarlo una y otra vez contra las paredes) fue James Smith, un exitoso comerciante de Liverpool. Encontró . Su modo de razonamiento era una curiosa caricatura de la reductio ad absurdum de Euclides. Dijo let y luego demostró que, bajo esa suposición, cualquier otro valor de debe ser absurdo. En consecuencia, es el valor verdadero. El siguiente es un ejemplo del arrastramiento de De Morgan alrededor de las murallas de Troya:
El señor Smith continúa escribiéndome largas cartas, a las que me insinúa que debo responder. En su última de las 31 caras cuidadosamente escritas de su papel, me informa, con referencia a mi obstinado silencio, que aunque me considero y otros me consideran un Goliat matemático, he resuelto hacer el papel del caracol matemático y seguir adelante. dentro de mi caparazón. ¡Un caracol matemático ! Esto no puede ser lo que se llama así y que regula el sonar de un reloj; porque significaría que debo hacer que el Sr. Smith indique la verdadera hora del día, lo que de ninguna manera haría en un reloj que gana 19 segundos impares en cada hora por un valor cuadrático falso de . Pero se aventura a decirme que los guijarros lanzados por la simple verdad y el sentido común finalmente romperán mi caparazón y me pondrán fuera de combate . La confusión de imágenes es divertida: Goliat convirtiéndose en caracol para evitarlo y James Smith, Esq., del Mersey Dock Board: y puesto fuera de combate con guijarros de una honda. Si Goliat se hubiera metido en el caparazón de un caracol, David habría partido al filisteo con su pie. Hay algo parecido a la modestia en la implicación de que el guijarro de cáscara de crack aún no ha surtido efecto; Se podría haber pensado que el hondero ya estaría cantando: Y tres veces [y un octavo] derroté a todos mis enemigos, Y tres veces [y un octavo] maté a los muertos.
En el ámbito de las matemáticas puras, De Morgan podía distinguir fácilmente la paradoja falsa de la verdadera; pero no era tan competente en el campo de la física. Su suegro era un paradojador y su esposa también lo era; y en opinión de los filósofos físicos, el propio De Morgan apenas escapó. Su esposa escribió un libro que describe los fenómenos del espiritismo, los golpes y vueltas de las mesas , etc.; y De Morgan escribió un prefacio en el que decía que conocía algunos de los hechos afirmados, creía otros según el testimonio, pero no pretendía saber si eran causados por espíritus o si tenían algún origen desconocido e inimaginable. De esta alternativa dejó fuera las causas materiales ordinarias. Faraday pronunció una conferencia sobre Espiritismo , en la que estableció que en la investigación debemos partir de la idea de lo que es físicamente posible o imposible; De Morgan no lo creía.
De Morgan desarrolló el cálculo de relaciones en su Syllabus of a Proposed System of Logic (1966: 208-246), publicado por primera vez en 1860. De Morgan pudo demostrar que el razonamiento con silogismos podría reemplazarse con la composición de relaciones . [13] El cálculo fue descrito como la lógica de los parientes por Charles Sanders Peirce , quien admiraba a De Morgan y lo conoció poco antes de su muerte. El cálculo se amplió aún más en el tercer volumen de Vorlesungen über die Algebra der Logik de Ernst Schröder . Las relaciones binarias , especialmente la teoría del orden , resultaron fundamentales para los Principia Mathematica de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead . A su vez, este cálculo se convirtió en objeto de muchos trabajos posteriores, a partir de 1940, por parte de Alfred Tarski y sus colegas y estudiantes de la Universidad de California .
Más adelante en su vida, De Morgan se interesó por los fenómenos del espiritismo . En 1849 investigó la clarividencia y quedó impresionado por el tema. Posteriormente realizó investigaciones paranormales en su propia casa con la médium estadounidense Maria Hayden. El resultado de esas investigaciones fue publicado más tarde por su esposa Sophia. De Morgan creía que su carrera como científico podría haberse visto afectada si hubiera revelado su interés en el estudio del espiritismo, por lo que ayudó a publicar el libro de forma anónima. [14] El libro fue publicado en 1863, titulado De la materia al espíritu: el resultado de diez años de experiencia en manifestaciones espirituales .
Según la historiadora Janet Oppenheim , la esposa de De Morgan, Sophia, era una espiritista convencida, pero De Morgan compartía una posición de tercera vía sobre los fenómenos espiritistas, que Oppenheim definió como una "posición de esperar y ver"; no era ni creyente ni escéptico. En cambio, su punto de vista era que la metodología de las ciencias físicas no excluye automáticamente los fenómenos psíquicos , y que tales fenómenos pueden explicarse en el tiempo por la posible existencia de fuerzas naturales que los físicos aún no habían identificado. [15]
En el prefacio de De la materia al espíritu (1863), De Morgan afirmó:
Pensando que es muy probable que el universo contenga unos pocos agentes (digamos medio millón) de los que ningún hombre sabe nada, no puedo sino sospechar que una pequeña proporción de estos agentes (digamos cinco mil) pueden ser competentes individualmente para la producción de todos los fenómenos [espiritualistas], o puede estar bastante a la altura entre ellos. Las explicaciones físicas que he visto son fáciles, pero lamentablemente insuficientes: la hipótesis espiritualista es suficiente, pero tremendamente difícil. El tiempo y el pensamiento decidirán, el segundo pedirá al primero más resultados de la prueba.
El investigador psíquico John Beloff escribió que De Morgan fue el primer científico notable en Gran Bretaña que se interesó en el estudio del espiritismo y sus estudios habían influido en la decisión de William Crookes de estudiar también el espiritismo. Beloff también afirma que De Morgan era ateo y por eso se le prohibió ocupar un puesto en Oxford o Cambridge. [dieciséis]
Más allá de su legado matemático, la sede de la London Mathematical Society se llama De Morgan House y la sociedad de estudiantes del Departamento de Matemáticas del University College London se llama Augustus De Morgan Society.
El cráter lunar De Morgan lleva su nombre.
Este artículo incorpora texto de esta fuente, que se encuentra en el dominio público . Macfarlane, Alejandro (1916). Conferencias sobre diez matemáticos británicos del siglo XIX (PDF) . Nueva York: John Wiley and Sons.Parece un converso improbable teniendo en cuenta que sus opiniones ateas le habían excluido de un puesto en Oxford o Cambridge, pero su implicación con el espiritismo se debió en parte a su esposa, Sophia.
Así que me llamaste vagabundo ateo, imaginando que Voltaire era ateo: de hecho, era teísta hasta el fanatismo y antirrevolucionario en la misma medida.
Augusto De Morgan.
Cousin, John William (1910), "De Morgan, Augustus", breve diccionario biográfico de literatura inglesa , Londres: JM Dent & Sons - vía Wikisource
