Geometría conforme

Estudio de transformaciones que preservan los ángulos de un espacio geométrico.

En matemáticas , la geometría conforme es el estudio del conjunto de transformaciones ( conformes ) que preservan los ángulos en un espacio.

En un espacio bidimensional real, la geometría conforme es precisamente la geometría de las superficies de Riemann . En espacios superiores a dos dimensiones, la geometría conforme puede referirse al estudio de transformaciones conformes de los llamados "espacios planos" (como espacios euclidianos o esferas ), o al estudio de variedades conformes que son variedades riemannianas o pseudo-riemannianas. con una clase de métricas que están definidas a escala. El estudio de las estructuras planas a veces se denomina geometría de Möbius y es un tipo de geometría de Klein .

Colectores conformes

Una variedad conforme es una variedad pseudo-riemanniana equipada con una clase de equivalencia de tensores métricos , en la que dos métricas g y h son equivalentes si y solo si

${\displaystyle h=\lambda ^{2}g,}$

donde λ es una función suave de valor real definida en la variedad y se llama factor conforme . Una clase de equivalencia de tales métricas se conoce como métrica conforme o clase conforme . Por lo tanto, una métrica conforme puede considerarse como una métrica que sólo se define "a escala". A menudo, las métricas conformes se tratan seleccionando una métrica de la clase conforme y aplicando sólo construcciones "conformemente invariantes" a la métrica elegida.

Una métrica conforme es conformemente plana si hay una métrica que la representa que es plana, en el sentido habitual de que el tensor de curvatura de Riemann desaparece. Quizás sólo sea posible encontrar una métrica en la clase conforme que sea plana en una vecindad abierta de cada punto. Cuando es necesario distinguir estos casos, a este último se le llama localmente conformemente plano , aunque muchas veces en la literatura no se mantiene ninguna distinción. La n -esfera es una variedad localmente conformemente plana que no es globalmente conformemente plana en este sentido, mientras que un espacio euclidiano, un toroide o cualquier variedad conforme que esté cubierta por un subconjunto abierto del espacio euclidiano es (globalmente) conformemente plano en este sentido. sentido. Una variedad localmente conforme plana es localmente conforme a una geometría de Möbius , lo que significa que existe un ángulo que preserva el difeomorfismo local de la variedad a una geometría de Möbius. En dos dimensiones, cada métrica conforme es localmente conformemente plana. En dimensión n > 3 una métrica conforme es localmente plana si y sólo si su tensor de Weyl desaparece; en dimensión n = 3 , si y solo si el tensor de Cotton desaparece.

La geometría conforme tiene una serie de características que la distinguen de la geometría (pseudo)riemanniana. La primera es que aunque en la geometría (pseudo)riemanniana uno tiene una métrica bien definida en cada punto, en la geometría conforme solo tiene una clase de métricas. Por lo tanto, la longitud de un vector tangente no se puede definir, pero el ángulo entre dos vectores sí se puede definir. Otra característica es que no existe una conexión Levi-Civita porque si g y λ ² g son dos representantes de la estructura conforme, entonces los símbolos de Christoffel de g y λ ² g no concordarían. Aquellos asociados con λ ² g involucrarían derivadas de la función λ mientras que aquellos asociados con g no.

A pesar de estas diferencias, la geometría conforme todavía es manejable. La conexión de Levi-Civita y el tensor de curvatura , aunque solo se definen una vez que se ha seleccionado un representante particular de la estructura conforme, satisfacen ciertas leyes de transformación que involucran a λ y sus derivadas cuando se elige un representante diferente. En particular, (en dimensión superior a 3) el tensor de Weyl resulta no depender de λ , por lo que es un invariante conforme . Además, aunque no existe una conexión Levi-Civita en una variedad conforme, se puede trabajar con una conexión conforme , que puede manejarse como un tipo de conexión de Cartan modelada sobre la geometría de Möbius asociada, o como una conexión de Weyl . Esto permite definir la curvatura conforme y otras invariantes de la estructura conforme.

geometría de moebius

La geometría de Möbius es el estudio del " espacio euclidiano con un punto añadido en el infinito", o un " espacio de Minkowski (o pseudoeuclidiano) con un cono nulo añadido en el infinito". Es decir, el escenario es una compactación de un espacio familiar; la geometría se ocupa de las implicaciones de preservar los ángulos.

A nivel abstracto, los espacios euclidiano y pseudoeuclidiano pueden manejarse prácticamente de la misma manera, excepto en el caso de la dimensión dos. El plano bidimensional compactado de Minkowski exhibe una amplia simetría conforme . Formalmente, su grupo de transformaciones conformes es de dimensión infinita. Por el contrario, el grupo de transformaciones conformes del plano euclidiano compactado es sólo de seis dimensiones.

Dos dimensiones

avión minkowski

El grupo conforme para la forma cuadrática de Minkowski q ( x , y ) = 2 xy en el plano es el grupo de Lie abeliano

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

con álgebra de Lie cso (1, 1) que consta de todas las matrices diagonales reales de 2 × 2 .

Consideremos ahora el avión Minkowski, equipado con el sistema métrico. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

Un grupo de transformaciones conformes de 1 parámetro da lugar a un campo vectorial X con la propiedad de que la derivada de Lie de g a lo largo de X es proporcional a g . Simbólicamente,

L _X g = λg   para algunos λ .

En particular, utilizando la descripción anterior del álgebra de Lie cso (1, 1) , esto implica que

1. L _X   dx = a ( x ) dx
2. L _X   dy = b ( y ) dy

para algunas funciones de valor real a y b dependiendo, respectivamente, de x e y .

Por el contrario, dado cualquier par de funciones con valores reales, existe un campo vectorial X que satisface 1. y 2. Por lo tanto, el álgebra de Lie de simetrías infinitesimales de la estructura conforme, el álgebra de Witt , es de dimensión infinita .

La compactación conforme del plano de Minkowski es un producto cartesiano de dos círculos S ¹ × S ¹ . En la cubierta universal , no hay obstrucción para integrar las simetrías infinitesimales, por lo que el grupo de transformaciones conformes es el grupo de Lie de dimensión infinita.

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

donde Diff( S ¹ ) es el grupo de difeomorfismo del círculo. ^[1]

El grupo conforme CSO(1, 1) y su álgebra de Lie son de interés actual en la teoría de campos conformes bidimensionales .

espacio euclidiano

Una cuadrícula de coordenadas antes de una transformación de Möbius

La misma cuadrícula después de una transformación de Möbius

El grupo de simetrías conformes de la forma cuadrática.

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

es el grupo GL ₁ ( C ) = C ^× , el grupo multiplicativo de los números complejos. Su álgebra de Lie es gl ₁ ( C ) = C .

Considere el plano complejo (euclidiano) equipado con la métrica

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

Las simetrías conformes infinitesimales satisfacen

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

donde f satisface la ecuación de Cauchy-Riemann y, por tanto, es holomorfa en su dominio. (Ver álgebra de Witt ).

Por tanto, las isometrías conformes de un dominio consisten en automapas holomórficos. En particular, en la compactificación conforme – la esfera de Riemann – las transformaciones conformes están dadas por las transformaciones de Möbius.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde ad − bc es distinto de cero.

Dimensiones superiores

En dos dimensiones, el grupo de automorfismos conformes de un espacio puede ser bastante grande (como en el caso de la firma lorentziana) o variable (como en el caso de la firma euclidiana). La relativa falta de rigidez del caso bidimensional con el de dimensiones superiores se debe al hecho analítico de que los desarrollos asintóticos de los automorfismos infinitesimales de la estructura están relativamente libres. En la firma lorentziana, la libertad está en un par de funciones reales valoradas. En euclidiano, la libertad está en una única función holomorfa.

En el caso de dimensiones superiores, los desarrollos asintóticos de simetrías infinitesimales son, como máximo, polinomios cuadráticos. ^[2] En particular, forman un álgebra de Lie de dimensión finita . Las simetrías conformes infinitesimales puntuales de una variedad se pueden integrar precisamente cuando la variedad es un determinado modelo de espacio conformemente plano ( hasta tomar cubiertas universales y cocientes de grupos discretos). ^[3]

La teoría general de la geometría conforme es similar, aunque con algunas diferencias, en los casos de firma euclidiana y pseudoeuclidiana. ^[4] En cualquier caso, hay varias formas de introducir el espacio modelo de geometría conformemente plana. A menos que se desprenda lo contrario del contexto, este artículo trata el caso de la geometría conforme euclidiana en el entendido de que también se aplica, mutatis mutandis , a la situación pseudoeuclidiana.

El modelo inversivo

El modelo inversivo de geometría conforme consiste en el grupo de transformaciones locales en el espacio euclidiano E ⁿ generadas por inversión en esferas. Según el teorema de Liouville , cualquier transformación local (conforme) que preserve el ángulo tiene esta forma. ^[5] Desde esta perspectiva, las propiedades de transformación del espacio conforme plano son las de la geometría inversa .

El modelo proyectivo

El modelo proyectivo identifica la esfera conforme con una determinada cuádrica en un espacio proyectivo . Sea q la forma cuadrática de Lorentz en R ^{n +2} definida por

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

En el espacio proyectivo P ( R ^{n +2} ), sea S el lugar geométrico de q = 0 . Entonces S es el modelo proyectivo (o de Möbius) de geometría conforme. Una transformación conforme en S es una transformación lineal proyectiva de P ( R ^{n +2} ) que deja la invariante cuádrica.

En una construcción relacionada, la S cuadrática se considera la esfera celeste en el infinito del cono nulo en el espacio de Minkowski R ^{n +1,1} , que está equipado con la forma cuadrática q como arriba. El cono nulo está definido por

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

Este es el cono afín sobre la cuádrica proyectiva S. Sea N ⁺ la parte futura del cono nulo (con el origen eliminado). Entonces la proyección tautológica R ^{n +1,1} \ {0} → P ( R ^{n +2} ) se restringe a una proyección N ⁺ → S . Esto le da a N ⁺ la estructura de un paquete de líneas sobre S. Las transformaciones conformes en S son inducidas por las transformaciones ortocrónicas de Lorentz de R ^{n +1,1} , ya que son transformaciones lineales homogéneas que preservan el futuro cono nulo.

La esfera euclidiana

Intuitivamente, la geometría conformemente plana de una esfera es menos rígida que la geometría de Riemann de una esfera. Las simetrías conformes de una esfera se generan por la inversión de todas sus hiperesferas . Por otro lado, las isometrías riemannianas de una esfera se generan mediante inversiones en hiperesferas geodésicas (ver el teorema de Cartan-Dieudonné ). La esfera euclidiana se puede asignar a la esfera conforme de manera canónica, pero no al revés.

La esfera unitaria euclidiana es el lugar geométrico en R ^{n +1}

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Esto se puede asignar al espacio de Minkowski R ^{n +1,1} dejando

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

Se ve fácilmente que la imagen de la esfera bajo esta transformación es nula en el espacio de Minkowski y, por tanto, se encuentra en el cono N ⁺ . En consecuencia, determina una sección transversal del haz de líneas N ⁺ → S .

Sin embargo, hubo una elección arbitraria. Si κ ( x ) es cualquier función positiva de x = ( z , x ₀ , ..., x _n ) , entonces la asignación

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

también proporciona un mapeo en N ⁺ . La función κ es una elección arbitraria de escala conforme .

Métricas representativas

Una métrica de Riemann representativa de la esfera es una métrica que es proporcional a la métrica de esfera estándar. Esto da una realización de la esfera como una variedad conforme. La métrica de esfera estándar es la restricción de la métrica euclidiana en R ^{n +1}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

a la esfera

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Un representante conforme de g es una métrica de la forma λ ² g , donde λ es una función positiva en la esfera. La clase conforme de g , denotada [ g ], es la colección de todos esos representantes:

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

Una incrustación de la esfera euclidiana en N + ^, como en la sección anterior, determina una escala conforme en S. Por el contrario, cualquier escala conforme en S viene dada por dicha incorporación. Así, el paquete de líneas N ⁺ → S se identifica con el paquete de escalas conformes en S : dar una sección de este paquete equivale a especificar una métrica en la clase conforme [ g ].

Modelo métrico ambiental

Otra forma de realizar las métricas representativas es a través de un sistema de coordenadas especial en R ^{n +1, 1} . Supongamos que la n -esfera euclidiana S lleva un sistema de coordenadas estereográficas . Este consta del siguiente mapa de R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

En términos de estas coordenadas estereográficas, es posible dar un sistema de coordenadas en el cono nulo N ⁺ en el espacio de Minkowski. Usando la incrustación dada arriba, la sección métrica representativa del cono nulo es

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Introducir una nueva variable t correspondiente a dilataciones hacia arriba N ⁺ , de modo que el cono nulo esté coordinado por

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Finalmente, sea ρ la siguiente función definitoria de N ⁺ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

En las coordenadas t , ρ , y en R ^{n +1,1} , la métrica de Minkowski toma la forma:

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

donde g _ij es la métrica de la esfera.

En estos términos, una sección del paquete N ⁺ consiste en una especificación del valor de la variable t = t ( y ⁱ ) en función de y ⁱ a lo largo del cono nulo ρ = 0 . Esto produce el siguiente representante de la métrica conforme en S :

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

El modelo kleiniano

Consideremos primero el caso de la geometría conforme plana en la firma euclidiana. El modelo n -dimensional es la esfera celeste del espacio Lorentziano ( n + 2) -dimensional R ^{n +1,1} . Aquí el modelo es una geometría de Klein : un espacio homogéneo G / H donde G = SO( n + 1, 1) que actúa sobre el espacio Lorentziano ( n + 2) -dimensional R ^{n +1,1} y H es el grupo de isotropía de un rayo nulo fijo en el cono de luz . Así, los modelos conformemente planos son los espacios de geometría inversa . Para pseudoeuclidiana de firma métrica ( p , q ) , la geometría plana del modelo se define de manera análoga como el espacio homogéneo O( p + 1, q + 1)/ H , donde H se toma nuevamente como el estabilizador de una línea nula. Tenga en cuenta que tanto el espacio modelo euclidiano como el pseudoeuclidiano son compactos .

Las álgebras de Lie conformes

Para describir los grupos y álgebras involucradas en el espacio modelo plano, fije la siguiente forma en R ^{p +1, q +1} :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

donde J es una forma cuadrática de firma ( p , q ) . Entonces G = O( p + 1, q + 1) consta de matrices ( n + 2) × ( n + 2 ) que estabilizan Q  : ^t MQM = Q . El álgebra de Lie admite una descomposición de Cartan

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

Alternativamente, esta descomposición concuerda con una estructura de álgebra de Lie natural definida en R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

El estabilizador del rayo nulo que apunta hacia el último vector de coordenadas viene dado por la subálgebra de Borel

h = gramo ₀ ⊕ gramo ₁ .

Ver también

• Álgebra geométrica conforme
• gravedad conforme
• Ecuación de asesinato conformal
• programa Erlangen
• Avión de Moebius

Notas

1. Paul Ginsparg (1989), Teoría de campos conforme aplicada . arXiv : hep-th/9108028. Publicado en Ecole d'Eté de Physique Théorique: Champs, cordes et phénomènes critiques/Campos, cuerdas y fenómenos críticos (Les Houches), ed. por E. Brézin y J. Zinn-Justin, Elsevier Science Publishers BV
2. Kobayashi (1972).
3. Debido a un teorema general de Sternberg (1962).
4. Eslovaco (1993).
5. SA Stepanov (2001) [1994], "Teoremas de Liouville", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press. G. Monge (1850). " Extensión au case des trois Dimensions de la question du tracé géographique, Nota VI (por J. Liouville)". Aplicación del análisis de geometría. Bachiller, París. págs. 609–615..

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi (1970). Grupos de transformación en geometría diferencial (Primera ed.). Saltador. ISBN 3-540-05848-6.
• Eslovaco, enero (1993). Operadores invariantes en variedades conformes. Notas de conferencias de investigación, Universidad de Viena (disertación).
• Sternberg, Shlomo (1983). Conferencias sobre geometría diferencial . Nueva York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3.

enlaces externos

• GV Bushmanova (2001) [1994], "Geometría conforme", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm