superficie de riemann

Colector complejo unidimensional

Un subconjunto abierto de la superficie de Riemann para la función multivaluada f ( z ) = log ( z ).

En matemáticas , particularmente en análisis complejo , una superficie de Riemann es una variedad compleja unidimensional conectada . Estas superficies fueron estudiadas por primera vez y llevan el nombre de Bernhard Riemann . Las superficies de Riemann pueden considerarse como versiones deformadas del plano complejo : localmente cerca de cada punto parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente. Por ejemplo, pueden parecer una esfera o un toroide o varias láminas pegadas entre sí.

Ejemplos de superficies de Riemann incluyen gráficas de funciones multivaluadas como √z o log(z) , por ejemplo, el subconjunto de pares ( z,w ) ∈ C ² con w = log(z) .

Cada superficie de Riemann es una superficie : una variedad real bidimensional , pero contiene más estructura (específicamente una estructura compleja ). Por el contrario, una variedad real bidimensional se puede convertir en una superficie de Riemann (generalmente de varias maneras no equivalentes) si y sólo si es orientable y metrizable . Ante esto, la esfera y el toro admiten estructuras complejas pero la cinta de Möbius , la botella de Klein y el plano proyectivo real no. Cada superficie compacta de Riemann es una curva algebraica compleja según el teorema de Chow y el teorema de Riemann-Roch .

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes de superficie de Riemann.

1. Una superficie de Riemann X es una variedad compleja conectada de dimensión compleja uno. Esto significa que X es un espacio de Hausdorff conexo que está dotado de un atlas de cartas del disco unitario abierto del plano complejo : para cada punto x ∈ X hay una vecindad de x que es homeomorfa al disco unitario abierto del complejo plano, y se requiere que los mapas de transición entre dos cartas superpuestas sean holomórficos . ^[1]
2. Una superficie de Riemann es una variedad orientada de dimensión (real) dos (una superficie de dos lados ) junto con una estructura conforme . Nuevamente, múltiple significa que localmente en cualquier punto x de X , el espacio es homeomorfo a un subconjunto del plano real. El suplemento "Riemann" significa que X está dotado de una estructura adicional que permite la medición de ángulos en la variedad, es decir, una clase de equivalencia de la llamada métrica de Riemann . Dos de estas métricas se consideran equivalentes si los ángulos que miden son iguales. Elegir una clase de equivalencia de métricas en X es el dato adicional de la estructura conforme.

Una estructura compleja da lugar a una estructura conforme eligiendo la métrica euclidiana estándar dada en el plano complejo y transportándola a X mediante las cartas. Demostrar que una estructura conforme determina una estructura compleja es más difícil. ^[2]

Ejemplos

• El plano complejo C es la superficie de Riemann más básica.
• Todo subconjunto abierto del plano complejo U ⊆ C es una superficie de Riemann. De manera más general, todo subconjunto abierto no vacío de una superficie de Riemann es una superficie de Riemann.

  

  La esfera de Riemann y la proyección estereográfica.

• La S 2 de ² esferas tiene una estructura superficial de Riemann única, llamada esfera de Riemann . Tiene dos subconjuntos abiertos que identificamos con el plano complejo proyectándolo estereográficamente desde los polos Norte o Sur.

  ${\displaystyle \mathbf {C} \ {\stackrel {}{\hookrightarrow }}\ S^{2}\ {\stackrel {}{\hookleftarrow }}\ \mathbf {C} .}$

  En la intersección de estos dos conjuntos abiertos, al componer una incrustación con la inversa del otro se obtiene

  ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\times }\ \to \ \mathbf {C} ^{\times }\ \ \ \,\ \ \ z\ \mapsto \ z^{-1}.}$

  Este mapa de transición es holomórfico, por lo que estas dos incrustaciones definen una estructura de superficie de Riemann en S ² . Como conjuntos, S ² = C ∪ {∞}. La esfera de Riemann tiene otra descripción, como la línea proyectiva CP ¹ = ( C ² - {0})/ C ^× .

  

  Un toro.

• El 2-toro T ² tiene muchas estructuras de superficie de Riemann diferentes, todas de la forma C /( Z  +  τ  Z ) donde τ es cualquier número complejo no real. Éstas se llaman curvas elípticas .
• La continuación analítica proporciona ejemplos importantes de superficies de Riemann no compactas .

Curvas algebraicas

• Si P ( x,y ) es cualquier polinomio complejo en dos variables, su lugar geométrico de fuga

  {( x,y ) : P ( x,y ) = 0} ⊆ C ²

  define una superficie de Riemann siempre que no haya puntos en este lugar con ∂P/∂x, ∂P/∂y = 0 (o nos restringimos a un subconjunto abierto que no contiene tales puntos). Este es un ejemplo de curva algebraica .
• Cada curva elíptica es una curva algebraica, dada por (la compactificación de) el lugar geométrico

  y ² = x ³ + hacha + b

  para ciertos números complejos a y b dependiendo de τ . Un punto z ∈ C /( Z  +  τ  Z ) se envía a ( x,y ) = (℘( z ),℘'( z )) donde ℘ es la función elíptica de Weierstrass .
• Asimismo, las superficies del género g tienen estructuras de superficie de Riemann, como (compactaciones de) superficies hiperelípticas.

  y ² = Q ( x ),

  donde Q es un polinomio complejo de grado 2 g  + 1 tal que el anterior no tiene puntos singulares. Cuando g > 1, existen otras estructuras superficiales de Riemann del género g .

• 
  f ( z ) = arcosen z
• 
  f ( z ) = iniciar sesión z
• 
  f ( z ) = z ^1/2
• 
  f ( z ) = z ^1/3
• 
  f ( z ) = z ^1/4

Otras definiciones y propiedades

Como ocurre con cualquier mapa entre variedades complejas, una función f : M → N entre dos superficies de Riemann M y N se llama holomorfa si para cada gráfico g en el atlas de M y cada gráfico h en el atlas de N , el mapa h ∘ f ∘ g ⁻¹ es holomórfico (en función de C a C ) dondequiera que esté definido. La composición de dos mapas holomorfos es holomorfa. Las dos superficies de Riemann M y N se denominan biholomórficas (o equivalentes conformes para enfatizar el punto de vista conforme) si existe una función holomorfa biyectiva de M a N cuya inversa también es holomorfa (resulta que la última condición es automática y puede por lo tanto, se omitirá). Dos superficies de Riemann conformemente equivalentes son idénticas a todos los efectos prácticos.

Orientabilidad

Cada superficie de Riemann, al ser una variedad compleja, es orientable como una variedad real. Para gráficos complejos f y g con función de transición h = f ( g ⁻¹ ( z )), h puede considerarse como un mapa de un conjunto abierto de R ² a R ² cuyo jacobiano en un punto z es solo el mapa lineal real. dado por multiplicación por el número complejo h '( z ). Sin embargo, el determinante real de la multiplicación por un número complejo α es igual a | α | ² , por lo que el jacobiano de h tiene determinante positivo. En consecuencia, el atlas complejo es un atlas orientado.

Funciones

Toda superficie de Riemann no compacta admite funciones holomorfas no constantes (con valores en C ). De hecho, toda superficie de Riemann no compacta es una variedad de Stein .

Por el contrario, en una superficie compacta de Riemann X toda función holomorfa con valores en C es constante debido al principio de máximo . Sin embargo, siempre existen funciones meromórficas no constantes (funciones holomorfas con valores en la esfera de Riemann C ∪ {∞}). Más precisamente, el campo de función de X es una extensión finita de C ( t ), el campo de función en una variable, es decir, dos funciones meromórficas cualesquiera son algebraicamente dependientes. Esta afirmación se generaliza a dimensiones superiores, véase Siegel (1955). Las funciones meromorfas se pueden dar de manera bastante explícita, en términos de funciones theta de Riemann y el mapa de superficie de Abel-Jacobi .

Algebraicidad

Todas las superficies compactas de Riemann son curvas algebraicas ya que pueden integrarse en algunas . Esto se desprende del teorema de incrustación de Kodaira y del hecho de que existe un conjunto de líneas positivas en cualquier curva compleja. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Analítico versus algebraico

La existencia de funciones meromorfas no constantes puede utilizarse para demostrar que cualquier superficie compacta de Riemann es una variedad proyectiva , es decir, puede estar dada por ecuaciones polinómicas dentro de un espacio proyectivo . En realidad, se puede demostrar que cada superficie compacta de Riemann puede integrarse en 3 espacios proyectivos complejos . Este es un teorema sorprendente: las superficies de Riemann están dadas por tablas de parcheo local. Si se añade una condición global, a saber, la compacidad, la superficie es necesariamente algebraica. Esta característica de las superficies de Riemann permite estudiarlas con medios de geometría analítica o algebraica . La afirmación correspondiente para objetos de dimensiones superiores es falsa, es decir, hay 2 variedades complejas compactas que no son algebraicas. Por otra parte, toda variedad compleja proyectiva es necesariamente algebraica, véase el teorema de Chow .

Como ejemplo, considere el toro T  :=  C /( Z  +  τ Z ). La función de Weierstrass perteneciente a la red Z  +  τ Z es una función meromórfica en T. Esta función y su derivada generan el campo funcional de T . Hay una ecuacion ${\displaystyle \wp _{\tau }(z)}$ ${\displaystyle \wp _{\tau }'(z)}$

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

donde los coeficientes g ₂ y g ₃ dependen de τ, dando así una curva elíptica E _τ en el sentido de la geometría algebraica. Revertir esto se logra mediante el j-invariante j ( E ), que puede usarse para determinar τ y, por lo tanto, un toro.

Clasificación de superficies de Riemann.

El conjunto de todas las superficies de Riemann se puede dividir en tres subconjuntos: superficies de Riemann hiperbólicas, parabólicas y elípticas. Geométricamente, estos corresponden a superficies con curvatura de sección constante negativa, nula o positiva . Es decir, cada superficie de Riemann conectada admite una única métrica de Riemann real bidimensional completa con curvatura constante igual o que pertenece a la clase conforme de métricas de Riemann determinadas por su estructura como superficie de Riemann. Esto puede verse como consecuencia de la existencia de coordenadas isotérmicas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -1,0}$ ${\displaystyle 1}$

En términos analíticos complejos, el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe (una generalización del teorema de mapeo de Riemann ) establece que cada superficie de Riemann simplemente conectada es conformemente equivalente a uno de los siguientes:

• La esfera de Riemann , que es isomorfa a  ; ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$
• El plano complejo ; ${\displaystyle \mathbf {C} }$
• El disco abierto que es isomorfo al semiplano superior . ${\displaystyle \mathbf {D} :=\{z\in \mathbf {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} :=\{z\in \mathbf {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}}$

Una superficie de Riemann es elíptica, parabólica o hiperbólica según si su cubierta universal es isomorfa a , o . Los elementos de cada clase admiten una descripción más precisa. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Superficies elípticas de Riemann

La esfera de Riemann es el único ejemplo, ya que no hay ningún grupo que actúe sobre ella mediante transformaciones biholomorfas de forma libre y apropiadamente discontinua y, por lo tanto, cualquier superficie de Riemann cuya cobertura universal sea isomorfa debe ser ella misma isomorfa. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$

Superficies parabólicas de Riemann

Si es una superficie de Riemann cuya cobertura universal es isomorfa al plano complejo, entonces es isomorfa a una de las siguientes superficies: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• ${\displaystyle \mathbf {C} }$sí mismo;
• El cociente ; ${\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {Z} }$
• Un cociente donde con . ${\displaystyle \mathbf {C} /(\mathbf {Z} +\mathbf {Z} \tau )}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} (\tau )>0}$

Topológicamente existen sólo tres tipos: el plano, el cilindro y el toroide . Pero mientras que en los dos primeros casos la estructura de la superficie de Riemann (parabólica) es única, al variar el parámetro en el tercer caso se obtienen superficies de Riemann no isomorfas. La descripción mediante parámetros proporciona el espacio de Teichmüller de las superficies de Riemann "marcadas" (además de la estructura de la superficie de Riemann se añaden los datos topológicos de una "marca", que puede verse como un homeomorfismo fijo del toro). Para obtener el espacio de módulos analíticos (olvidando la marca) se toma el cociente del espacio de Teichmüller por el grupo de clases de mapeo . En este caso se trata de la curva modular . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Superficies hiperbólicas de Riemann

En los casos restantes es una superficie de Riemann hiperbólica, que es isomorfa a un cociente del semiplano superior por un grupo fucsiano (a esto a veces se le llama modelo fucsiano para la superficie). El tipo topológico de puede ser cualquier superficie orientable salvo el toroide y la esfera . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un caso de particular interés es cuando es compacto. Luego su tipo topológico se describe por su género . Su espacio de Teichmüller y su espacio de módulos son -dimensionales. Se puede dar una clasificación similar de superficies de Riemann de tipo finito (es decir, homeomorfas a una superficie cerrada menos un número finito de puntos). Sin embargo, en general, el espacio de módulos de las superficies de Riemann de tipo topológico infinito es demasiado grande para admitir tal descripción. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle 6g-6}$

Mapas entre superficies de Riemann

La clasificación geométrica se refleja en mapas entre superficies de Riemann, como se detalla en el teorema de Liouville y el teorema de Little Picard : los mapas de hiperbólico a parabólico a elíptico son fáciles, pero los mapas de elíptico a parabólico o de parabólico a hiperbólico son muy restringidos (de hecho, generalmente constantes). !). Hay inclusiones del disco en el plano de la esfera: pero cualquier aplicación holomorfa de la esfera al plano es constante, cualquier aplicación holomorfa del plano al disco unitario es constante (teorema de Liouville) y, de hecho, cualquier aplicación holomorfa de ¡El plano dentro del plano menos dos puntos es constante (teorema de Little Picard)! ${\displaystyle \Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},}$

Esferas perforadas

Estas afirmaciones se aclaran considerando el tipo de esfera de Riemann con varios pinchazos. Sin perforaciones, se trata de la esfera de Riemann, que es elíptica. Con un pinchazo, que se puede situar en el infinito, queda el plano complejo, que es parabólico. En el caso de dos pinchazos, el plano perforado o, alternativamente, el anillo o el cilindro, es parabólico. Con tres o más pinchazos, es hiperbólico (compárese con un par de pantalones) . Se puede mapear de un pinchazo a dos, a través del mapa exponencial (que es completo y tiene una singularidad esencial en el infinito, por lo que no está definido en el infinito y omite cero e infinito), pero todos los mapeos desde cero pinchazos a uno o más, o uno o dos pinchazos a tres o más son constantes. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}}$

Espacios de cobertura ramificados

Siguiendo en esta línea, las superficies compactas de Riemann pueden mapearse en superficies de género inferior , pero no en géneros superiores , excepto como mapas constantes. Esto se debe a que los mapas holomorfos y meromórficos se comportan localmente de manera que los mapas no constantes son mapas de cobertura ramificados , y para superficies compactas de Riemann, estos están restringidos por la fórmula de Riemann-Hurwitz en topología algebraica , que relaciona la característica de Euler de un espacio y una cobertura ramificada. . ${\displaystyle z\mapsto z^{n},}$

Por ejemplo, las superficies hiperbólicas de Riemann están ramificadas y cubren espacios de la esfera (tienen funciones meromórficas no constantes), pero la esfera no cubre ni se asigna de otro modo a superficies de género superiores, excepto como una constante.

Isometrías de superficies de Riemann.

El grupo de isometría de una superficie de Riemann uniformizada (equivalentemente, el grupo de automorfismo conforme ) refleja su geometría:

• género 0: el grupo de isometría de la esfera es el grupo de Möbius de transformadas proyectivas de la línea compleja,
• el grupo de isometría del plano es el subgrupo que fija el infinito, y del plano perforado es el subgrupo que deja invariante el conjunto que contiene sólo el infinito y el cero: o fijándolos a ambos, o intercambiándolos (1/ z ).
• el grupo de isometría del semiplano superior es el grupo de Möbius real; esto es conjugado con el grupo de automorfismo del disco.
• género 1: el grupo de isometría de un toro es, en general, traducciones (como una variedad abeliana ), aunque la red cuadrada y la red hexagonal tienen simetrías adicionales debido a la rotación de 90 ° y 60 °.
• Para el género g  ≥ 2, el grupo de isometría es finito y tiene un orden como máximo 84 ( g  - 1), según el teorema de automorfismos de Hurwitz ; Las superficies que realizan este límite se denominan superficies de Hurwitz.
• Se sabe que cada grupo finito puede representarse como el grupo completo de isometrías de alguna superficie de Riemann. ^[4]
  • Para el género 2 el orden es maximizado por la superficie de Bolza , con orden 48.
  • Para el género 3 el orden es maximizado por el cuártico de Klein , con orden 168; esta es la primera superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismo es isomorfo al grupo simple único de orden 168, que es el segundo grupo simple no abeliano más pequeño. Este grupo es isomorfo tanto para PSL(2,7) como para PSL(3,2) .
  • Para el género 4, la superficie de Bring es una superficie altamente simétrica.
  • Para el género 7 el orden lo maximiza la superficie de Macbeath , con orden 504; esta es la segunda superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismo es isomorfo a PSL(2,8), el cuarto grupo simple no abeliano más pequeño.

Clasificación teórica de funciones

El esquema de clasificación anterior lo suelen utilizar los geómetras. Existe una clasificación diferente para las superficies de Riemann que suelen utilizar los analistas complejos. Emplea una definición diferente de "parabólico" e "hiperbólico". En este esquema de clasificación alternativo, una superficie de Riemann se denomina parabólica si no hay funciones subarmónicas negativas no constantes en la superficie y, de lo contrario, se denomina hiperbólica . ^{[5] [6]} Esta clase de superficies hiperbólicas se subdivide en subclases según si los espacios funcionales distintos de las funciones subarmónicas negativas son degenerados, por ejemplo, superficies de Riemann en las que todas las funciones holomorfas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas acotadas son constantes. constante, o en el que todas las funciones armónicas positivas son constantes, etc.

Para evitar confusiones, llame clasificación geométrica a la clasificación basada en métricas de curvatura constante , y a la basada en la degeneración de espacios funcionales clasificación teórica de funciones . Por ejemplo, la superficie de Riemann que consta de "todos los números complejos excepto 0 y 1" es parabólica en la clasificación de la teoría de funciones pero es hiperbólica en la clasificación geométrica.

Ver también

• Diseño infantil
• colector Kähler
• Superficie de Lorentz
• Grupo de clases de mapeo
• dualidad serre

Teoremas sobre superficies de Riemann

• Teorema de ramificación
• Teorema de los automorfismos de Hurwitz
• Teorema de identidad para superficies de Riemann
• Teorema de Riemann-Roch
• Fórmula de Riemann-Hurwitz

Notas

1. Farkas y Kra 1980, Miranda 1995
2. Ver (Jost 2006, Capítulo 3.11) para la construcción de una estructura compleja correspondiente.
3. Nollet, Scott. "TEOREMA DE KODAIRA Y COMPACTIFICACIÓN DEL MÓDULO ESPACIAL Mg DE MUMFORD" (PDF) .
4. Greenberg, L. (1974). "Grupos máximos y firmas". Grupos discontinuos y superficies de Riemann: actas de la conferencia de 1973 en la Universidad de Maryland . Ana. Matemáticas. Estudios. vol. 79, págs. 207-226. ISBN 0691081387.
5. Ahlfors, Lars ; Sario, Leo (1960), Riemann Surfaces (1ª ed.), Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , p. 204
6. Rodin, Burton; Sario, Leo (1968), Funciones principales (1ª ed.), Princeton, Nueva Jersey: D. Von Nostrand Company, Inc., p. 199, ISBN 9781468480382

Referencias

• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90465-8
• Pablo Arés Gastesi, Libro Superficies Riemann .
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, OCLC  13348052, especialmente capítulo IV.
• Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann Surfaces , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 208-219, ISBN 978-3-540-33065-3
• Miranda, Rick (1995), Curvas algebraicas y superficies de Riemann , Estudios de Posgrado en Matemáticas, vol. 5, Sociedad Estadounidense de Matemáticas.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Manual de teoría de Teichmüller. vol. I (PDF) , Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica, vol. 11, Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zúrich, doi :10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, SEÑOR  2284826, S2CID  119593165
• Lawton, Sean; Peterson, Elisha (2009), Papadopoulos, Athanase (ed.), Manual de teoría de Teichmüller. vol. II , Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica, vol. 13, Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zúrich, arXiv : math/0511271 , doi : 10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, SEÑOR  2524085, S2CID  16687772
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2012), Manual de teoría de Teichmüller. vol. III , Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica, vol. 19, Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zúrich, doi :10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3
• * Remmert, Reinhold (1998). "De las superficies de Riemann a los espacios complejos". Séminarios y Congresos . Zbl  1044.01520.
• Siegel, Carl Ludwig (1955), "Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten", Nachrichten der Akademie der Wissenschaften en Göttingen. II. Mathematisch-Physikalische Klasse , 1955 : 71–77, ISSN  0065-5295, SEÑOR  0074061
• Weyl, Hermann (2009) [1913], El concepto de superficie de Riemann (3.ª ed.), Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-47004-7, señor  0069903

enlaces externos

• "Superficie de Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• McMullen, C. "Análisis complejo de superficies de Riemann Math 213b" (PDF) . Matemáticas de Harvard . Universidad Harvard.