Fórmula de Riemann-Hurwitz

Fórmula matemática de dos superficies.

En matemáticas , la fórmula de Riemann-Hurwitz , llamada así por Bernhard Riemann y Adolf Hurwitz , describe la relación de las características de Euler de dos superficies cuando una es una cubierta ramificada de la otra. Por lo tanto, conecta la ramificación con la topología algebraica , en este caso. Es un resultado prototipo para muchos otros, y se aplica a menudo en la teoría de superficies de Riemann (que es su origen) y curvas algebraicas .

Declaración

Para una superficie compacta , conectada y orientable , la característica de Euler es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \chi (S)}$

${\displaystyle \chi (S)=2-2g}$,

donde g es el género (el número de asas ). Esto se deduce, ya que los números de Betti son . ${\displaystyle 1,2g,1,0,0,\dots }$

Para el caso de un mapa de cobertura de superficies ( no ramificado )

${\displaystyle \pi \colon S'\to S}$

que es sobreyectiva y de grado , tenemos la fórmula ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S).}$

Esto se debe a que cada símplex de debería estar cubierto por exactamente en , al menos si utilizamos una triangulación lo suficientemente fina de , como tenemos derecho a hacer ya que la característica de Euler es un invariante topológico . Lo que hace la fórmula de Riemann-Hurwitz es agregar una corrección para permitir la ramificación ( las láminas que se unen ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$

Ahora supongamos que y son superficies de Riemann , y que la función es analítica compleja . Se dice que la función está ramificada en un punto P en S ′ si existen coordenadas analíticas cerca de P y π( P ) tales que π toma la forma π( z ) = z ⁿ , y n  > 1. Una forma equivalente de pensar en esto es que existe un pequeño vecindario U de P tal que π( P ) tiene exactamente una preimagen en U , pero la imagen de cualquier otro punto en U tiene exactamente n preimágenes en U . El número n se llama índice de ramificación en P y se denota por e _P . Al calcular la característica de Euler de S ′ notamos la pérdida de e _P  − 1 copias de P por encima de π( P ) (es decir, en la imagen inversa de π( P )). Ahora elijamos triangulaciones de S y S′ con vértices en los puntos de ramificación y de ramificación, respectivamente, y utilicémoslas para calcular las características de Euler. Entonces S′ tendrá la misma cantidad de caras d -dimensionales para d distinto de cero, pero menos vértices de los esperados. Por lo tanto, encontramos una fórmula "corregida" ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)-\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}$

o como también se escribe comúnmente, usando eso y multiplicando por -1 : ${\displaystyle \chi (X)=2-2g(X)}$

${\displaystyle 2g(S')-2=N\cdot (2g(S)-2)+\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}$

(todos los P, excepto un número finito, tienen e _P = 1, por lo que es bastante seguro). Esta fórmula se conoce como fórmula de Riemann-Hurwitz y también como teorema de Hurwitz .

Otra forma útil de la fórmula es:

${\displaystyle \chi (S')-b'=N\cdot (\chi (S)-b)}$

donde b es el número de puntos de ramificación en S (imágenes de puntos de ramificación) y b' es el tamaño de la unión de las fibras de puntos de ramificación (esto contiene todos los puntos de ramificación y quizás algunos puntos no ramificados). De hecho, para obtener esta fórmula, elimine los vecindarios de discos disjuntos de los puntos de ramificación de S y sus preimágenes en S' de modo que la restricción de sea una cobertura. Eliminar un disco de una superficie reduce su característica de Euler en 1 por la fórmula para la suma conexa, por lo que terminamos por la fórmula para una cobertura no ramificada. ${\displaystyle \pi }$

También podemos ver que esta fórmula es equivalente a la forma habitual, ya que tenemos

${\displaystyle N\cdot b-b'=\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}$

ya que para cualquiera tenemos ${\displaystyle Q\in S}$ ${\displaystyle N=\sum _{P\in \pi ^{-1}(Q)}e_{P}}$

Ejemplos

La función de Weierstrass ${\displaystyle \wp }$ , considerada como una función meromórfica con valores en la esfera de Riemann , produce una función desde una curva elíptica (género 1) hasta la línea proyectiva (género 0). Es una doble cobertura ( N = 2), con ramificación en solo cuatro puntos, en los que e = 2. La fórmula de Riemann-Hurwitz se lee entonces

${\displaystyle 0=2\cdot 2-4\cdot (2-1)}$

con la suma tomada sobre cuatro puntos de ramificación.

La fórmula también se puede utilizar para calcular el género de curvas hiperelípticas .

Como otro ejemplo, la esfera de Riemann se mapea a sí misma por la función z ⁿ , que tiene índice de ramificación n en 0, para cualquier entero n > 1. Solo puede haber otra ramificación en el punto en el infinito. Para equilibrar la ecuación

${\displaystyle 2=n\cdot 2-(n-1)-(e_{\infty }-1)}$

También debemos tener índice de ramificación n en el infinito.

Consecuencias

A continuación se presentan varios resultados en topología algebraica y análisis complejo.

En primer lugar, no hay mapas de cobertura ramificados desde una curva de género inferior a una curva de género superior y, por lo tanto, dado que los mapas meromórficos no constantes de curvas son espacios de cobertura ramificados, no hay mapas meromórficos no constantes desde una curva de género inferior a una curva de género superior.

Como otro ejemplo, se muestra inmediatamente que una curva de género 0 no tiene cobertura con N > 1 que no esté ramificada en todas partes: porque eso daría lugar a una característica de Euler > 2.

Generalizaciones

Para una correspondencia de curvas, existe una fórmula más general, el teorema de Zeuthen , que da la corrección de ramificación a la primera aproximación de que las características de Euler están en razón inversa a los grados de la correspondencia.

Una cobertura orbifold de grado N entre las superficies orbifold S' y S es una cobertura ramificada, por lo que la fórmula de Riemann-Hurwitz implica la fórmula habitual para las coberturas.

${\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)\,}$

denotando con la característica de Euler orbifold. ${\displaystyle \chi \,}$

Referencias

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052, sección IV.2.

• Jost, Jurgen (2006), Compact Riemann Surfaces , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33065-3