Producto semidirecto

Operación en teoría de grupos

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el concepto de producto semidirecto es una generalización de un producto directo . Generalmente se denota con el símbolo ⋉ . Existen dos conceptos estrechamente relacionados de producto semidirecto:

• Un producto semidirecto interno es una forma particular en la que un grupo puede estar formado por dos subgrupos , uno de los cuales es un subgrupo normal .
• Un producto semidirecto externo es una forma de construir un nuevo grupo a partir de dos grupos dados utilizando el producto cartesiano como conjunto y una operación de multiplicación particular.

Al igual que con los productos directos, existe una equivalencia natural entre los productos semidirectos internos y externos, y a ambos se los suele denominar simplemente productos semidirectos .

Para grupos finitos , el teorema de Schur-Zassenhaus proporciona una condición suficiente para la existencia de una descomposición como un producto semidirecto (también conocido como extensión de división ).

Definiciones de productos semidirectos internos

Dado un grupo G con elemento identidad e , un subgrupo H y un subgrupo normal N ◁ G , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• G es el producto de subgrupos , G = NH , y estos subgrupos tienen intersección trivial: N ∩ H = { e } .
• Para cada g ∈ G , hay únicos n ∈ N y h ∈ H tales que g = nh .
• La composición π ∘ i de la incrustación natural i : H → G con la proyección natural π : G → G / N es un isomorfismo entre H y el grupo cociente G / N .
• Existe un homomorfismo G → H que es la identidad en H y cuyo núcleo es N . En otras palabras, existe una sucesión exacta dividida

${\displaystyle 1\to N\to G\to H\to 1}$

de grupos (que también se conoce como una extensión dividida de por ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

Si alguna de estas afirmaciones es válida (y, por lo tanto, todas son válidas, por su equivalencia), decimos que G es el producto semidirecto de N y H , escrito

${\displaystyle G=N\rtimes H}$o ${\displaystyle G=H\ltimes N,}$

o que G se desdobla en N ; también se dice que G es un producto semidirecto de H que actúa sobre N , o incluso un producto semidirecto de H y N. Para evitar ambigüedades, es conveniente especificar cuál es el subgrupo normal.

Si , entonces hay un homomorfismo de grupo dado por , y para , tenemos . ${\displaystyle G=N\rtimes H}$ ${\displaystyle \varphi \colon H\rightarrow \mathrm {Aut} (N)}$ ${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$ ${\displaystyle g=nh,g'=n'h'}$ ${\displaystyle gg'=nhn'h'=nhn'h^{-1}hh'=n\varphi _{h}(n')hh'=n^{*}h^{*}}$

Productos semidirectos interiores y exteriores

Consideremos primero el producto semidirecto interno. En este caso, para un grupo , consideremos un subgrupo normal N y otro subgrupo H (no necesariamente normal). Supongamos que se cumplen las condiciones de la lista anterior. Sea el grupo de todos los automorfismos de N , que es un grupo bajo composición. Construya un homomorfismo de grupo definido por conjugación, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (N)}$ ${\displaystyle \varphi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)}$

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$, para todo h en H y n en N .

De esta manera podemos construir un grupo con operación de grupo definida como ${\displaystyle G'=(N,H)}$

${\displaystyle (n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})}$para n ₁ , n ₂ en N y h ₁ , h ₂ en H .

Los subgrupos N y H determinan G hasta el isomorfismo, como demostraremos más adelante. De esta manera, podemos construir el grupo G a partir de sus subgrupos. Este tipo de construcción se denomina producto semidirecto interno (también conocido como producto semidirecto interno ^[1] ).

Consideremos ahora el producto semidirecto externo. Dados dos grupos N y H y un homomorfismo de grupo φ : H → Aut( N ) , podemos construir un nuevo grupo N ⋊ _φ H , llamado producto semidirecto externo de N y H con respecto a φ , definido de la siguiente manera: ^[2]

1. El conjunto subyacente es el producto cartesiano N × H .
2. La operación del grupo está determinada por el homomorfismo φ : ${\displaystyle \bullet }$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\bullet :(N\rtimes _{\varphi }H)\times (N\rtimes _{\varphi }H)&\to N\rtimes _{\varphi }H\\(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})\end{aligned}}}$

   para n ₁ , n ₂ en N y h ₁ , h ₂ en H .

Esto define un grupo en el que el elemento identidad es ( e _N , e _H ) y el inverso del elemento ( n , h ) es ( φ _{h ⁻¹} ( n ⁻¹ ), h ⁻¹ ) . Los pares ( n , e _H ) forman un subgrupo normal isomorfo a N , mientras que los pares ( e _N , h ) forman un subgrupo isomorfo a H . El grupo completo es un producto semidirecto de esos dos subgrupos en el sentido dado anteriormente.

Por el contrario, supongamos que se nos da un grupo G con un subgrupo normal N y un subgrupo H , de modo que cada elemento g de G puede escribirse de forma única en la forma g = nh donde n está en N y h está en H . Sea φ : H → Aut( N ) el homomorfismo (escrito φ ( h ) = φ _h ) dado por

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$

para todo n ∈ N , h ∈ H .

Entonces G es isomorfo al producto semidirecto N ⋊ _φ H . El isomorfismo λ : G → N ⋊ _φ H está bien definido por λ ( a ) = λ ( nh ) = ( n, h ) debido a la unicidad de la descomposición a = nh .

En G , tenemos

${\displaystyle (n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})}$

Así, para a = n ₁ h ₁ y b = n ₂ h ₂ obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}}$

lo que demuestra que λ es un homomorfismo. Puesto que λ es obviamente un epimorfismo y un monomorfismo, entonces es de hecho un isomorfismo. Esto también explica la definición de la regla de multiplicación en N ⋊ _φ H .

El producto directo es un caso especial del producto semidirecto. Para comprobarlo, sea φ el homomorfismo trivial (es decir, enviar cada elemento de H al automorfismo identidad de N ), entonces N ⋊ _φ H es el producto directo N × H .

Una versión del lema de división para grupos establece que un grupo G es isomorfo a un producto semidirecto de los dos grupos N y H si y solo si existe una secuencia exacta corta.

${\displaystyle 1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1}$

y un homomorfismo de grupo γ : H → G tal que α  ∘  γ = id _H , la función identidad en H . En este caso, φ : H → Aut( N ) viene dado por φ ( h ) = φ _h , donde

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).}$

Ejemplos

Grupo diedro

El grupo diedro D _{2 n} con 2 n elementos es isomorfo a un producto semidirecto de los grupos cíclicos C _n y C ₂ . ^[3] Aquí, el elemento no identidad de C ₂ actúa sobre C _n invirtiendo elementos; esto es un automorfismo ya que C _n es abeliano . La presentación para este grupo es:

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

Grupos cíclicos

De manera más general, un producto semidirecto de dos grupos cíclicos cualesquiera C _m con generador a y C _n con generador b se da por una relación adicional, aba ⁻¹ = b ^k , con k y n coprimos , y ; ^[3] es decir, la presentación: ^[3] ${\displaystyle k^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k}\rangle .}$

Si r y m son coprimos, a ^r es un generador de C _m y a ^r ba ^−r = b ^{k r} , de ahí la presentación:

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\rangle }$

da un grupo isomorfo al anterior.

Holomorfo de un grupo

Un ejemplo canónico de un grupo expresado como un producto semidirecto es el holomorfo de un grupo. Este se define como

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$

donde es el grupo de automorfismos de un grupo y la función de estructura proviene de la acción correcta de sobre . En términos de multiplicación de elementos, esto da la estructura del grupo ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g(\varphi (\alpha )\cdot h),\alpha \beta ).}$

Grupo fundamental de la botella de Klein

El grupo fundamental de la botella de Klein se puede presentar en la forma

${\displaystyle \langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

y es por lo tanto un producto semidirecto del grupo de números enteros, , con . El homomorfismo correspondiente φ : → Aut( ) viene dado por φ ( h )( n ) = (−1) ^h n . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Matrices triangulares superiores

El grupo de matrices triangulares superiores con determinante distinto de cero en un cuerpo arbitrario, es decir con entradas distintas de cero en la diagonal , tiene una descomposición en el producto semidirecto ^[4] donde es el subgrupo de matrices con solo s en la diagonal, que se llama grupo de matrices unitriangulares superiores , y es el subgrupo de matrices diagonales . La acción de grupo de sobre se induce por la multiplicación de matrices. Si establecemos ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$
${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$y ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

entonces su producto matricial es

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Esto da la acción grupal inducida. ${\displaystyle m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Una matriz en se puede representar mediante las matrices en y . Por lo tanto . ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$

Grupo de isometrías en el plano

El grupo euclidiano de todos los movimientos rígidos ( isometrías ) del plano (mapas f : ² → ² ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tales que la distancia euclidiana entre x e y es igual a la distancia entre f ( x ) y f ( y ) para todos los x e y en ) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo abeliano (que describe traslaciones) y el grupo O(2) de matrices ortogonales 2 × 2 (que describe rotaciones y reflexiones que mantienen fijo el origen). Aplicar una traslación y luego una rotación o reflexión tiene el mismo efecto que aplicar primero la rotación o reflexión y luego una traslación por el vector de traslación rotado o reflejado (es decir, aplicar el conjugado de la traslación original). Esto demuestra que el grupo de traslaciones es un subgrupo normal del grupo euclidiano, que el grupo euclidiano es un producto semidirecto del grupo de traslaciones y O(2) , y que el homomorfismo correspondiente φ : O(2) → Aut( ² ) se da por la multiplicación de matrices : φ ( h )( n ) = hn . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Grupo ortogonal O(n)

El grupo ortogonal O( n ) de todas las matrices reales ortogonales n × n (intuitivamente el conjunto de todas las rotaciones y reflexiones del espacio n -dimensional que mantienen fijo el origen) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo SO( n ) (que consiste en todas las matrices ortogonales con determinante 1 , intuitivamente las rotaciones del espacio n -dimensional) y C ₂ . Si representamos C ₂ como el grupo multiplicativo de matrices { I , R } , donde R es una reflexión del espacio n -dimensional que mantiene fijo el origen (es decir, una matriz ortogonal con determinante –1 que representa una involución ), entonces φ : C ₂ → Aut(SO( n )) viene dado por φ ( H )( N ) = HNH ⁻¹ para todo H en C ₂ y N en SO( n ) . En el caso no trivial ( H no es la identidad) esto significa que φ ( H ) es la conjugación de operaciones por la reflexión (en el espacio tridimensional, un eje de rotación y la dirección de rotación se reemplazan por su "imagen reflejada").

Transformaciones semilineales

El grupo de transformaciones semilineales en un espacio vectorial V sobre un cuerpo , a menudo denotado ΓL( V ) , es isomorfo a un producto semidirecto del grupo lineal GL( V ) (un subgrupo normal de ΓL( V ) ), y al grupo de automorfismos de . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Grupos cristalográficos

En cristalografía , el grupo espacial de un cristal se divide como el producto semidirecto del grupo puntual y el grupo de traslación si y solo si el grupo espacial es simórfico. Los grupos espaciales no simórficos tienen grupos puntuales que ni siquiera están contenidos como subconjunto del grupo espacial, lo que es responsable de gran parte de la complicación en su análisis. ^[5]

No-ejemplos

Por supuesto, ningún grupo simple puede expresarse como un producto semidirecto (porque no tienen subgrupos normales no triviales), pero hay algunos contraejemplos comunes de grupos que contienen un subgrupo normal no trivial que, no obstante, no pueden expresarse como un producto semidirecto. Nótese que, aunque no todos los grupos pueden expresarse como una extensión dividida de por , resulta que un grupo de este tipo puede incorporarse al producto de corona mediante el teorema de incorporación universal . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\wr H}$

O4

El grupo cíclico no es un grupo simple ya que tiene un subgrupo de orden 2, es decir es un subgrupo y su cociente es , por lo que hay una extensión ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$

Si la extensión se dividió , entonces el grupo en ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}\to G\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$

sería isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$

Q8

El grupo de los ocho cuaterniones donde y , es otro ejemplo de un grupo ^[6] que tiene subgrupos normales no triviales pero que aún no está dividido. Por ejemplo, el subgrupo generado por es isomorfo a y es normal. También tiene un subgrupo de orden generado por . Esto significaría que tendría que ser una extensión dividida en la siguiente secuencia exacta hipotética de grupos: ${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}$ ${\displaystyle ijk=-1}$ ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle Q_{8}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$,

pero no existe una secuencia tan exacta. Esto se puede demostrar calculando el primer grupo de cohomología de grupo de con coeficientes en , por lo que y notando que los dos grupos en estas extensiones son y el grupo diedro . Pero, como ninguno de estos grupos es isomorfo con , el grupo de cuaterniones no está dividido. Esta inexistencia de isomorfismos se puede comprobar notando que la extensión trivial es abeliana mientras que es no abeliana, y notando que los únicos subgrupos normales son y , pero tiene tres subgrupos isomorfos a . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle D_{8}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$

Propiedades

Si G es el producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H , y tanto N como H son finitos, entonces el orden de G es igual al producto de los órdenes de N y H . Esto se deduce del hecho de que G es del mismo orden que el producto semidirecto externo de N y H , cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano N × H .

Relación con productos directos

Supóngase que G es un producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H . Si H también es normal en G , o equivalentemente, si existe un homomorfismo G → N que es la identidad en N con núcleo H , entonces G es el producto directo de N y H .

El producto directo de dos grupos N y H puede considerarse como el producto semidirecto de N y H con respecto a φ ( h ) = id _N para todo h en H .

Nótese que en un producto directo, el orden de los factores no es importante, ya que N × H es isomorfo a H × N . Este no es el caso de los productos semidirectos, ya que los dos factores juegan roles diferentes.

Además, el resultado de un producto semidirecto (propio) mediante un homomorfismo no trivial nunca es un grupo abeliano , incluso si los grupos factoriales son abelianos.

No unicidad de productos semidirectos (y otros ejemplos)

A diferencia del caso del producto directo , un producto semidirecto de dos grupos no es, en general, único; si G y G′ son dos grupos que contienen copias isomorfas de N como subgrupo normal y H como subgrupo, y ambos son un producto semidirecto de N y H , entonces no se sigue que G y G′ sean isomorfos porque el producto semidirecto también depende de la elección de una acción de H sobre N.

Por ejemplo, hay cuatro grupos no isomorfos de orden 16 que son productos semidirectos de C ₈ y C ₂ ; en este caso, C ₈ es necesariamente un subgrupo normal porque tiene índice 2. Uno de estos cuatro productos semidirectos es el producto directo, mientras que los otros tres son grupos no abelianos:

• el grupo diedro de orden 16
• el grupo cuasidiédrico de orden 16
• El grupo Iwasawa del orden 16

Si un grupo dado es un producto semidirecto, entonces no hay garantía de que esta descomposición sea única. Por ejemplo, hay un grupo de orden 24 (el único que contiene seis elementos de orden 4 y seis elementos de orden 6) que puede expresarse como producto semidirecto de las siguientes maneras: (D ₈ ⋉ C ₃ ) ≅ (C ₂ ⋉ Q 12 ) ≅ (C ₂ ⋉ D ₁₂ ) ≅ (D ₆ ⋉ V ) . ^[7]

Existencia

En general, no se conoce ninguna caracterización (es decir, una condición necesaria y suficiente) para la existencia de productos semidirectos en grupos. Sin embargo, se conocen algunas condiciones suficientes que garantizan la existencia en ciertos casos. Para grupos finitos, el teorema de Schur-Zassenhaus garantiza la existencia de un producto semidirecto cuando el orden del subgrupo normal es coprimo con el orden del grupo cociente .

Por ejemplo, el teorema de Schur-Zassenhaus implica la existencia de un producto semidirecto entre grupos de orden 6; existen dos productos de este tipo, uno de los cuales es un producto directo y el otro un grupo diedro. En cambio, el teorema de Schur-Zassenhaus no dice nada sobre grupos de orden 4 o grupos de orden 8, por ejemplo.

Generalizaciones

Dentro de la teoría de grupos, la construcción de productos semidirectos puede llevarse mucho más lejos. El producto de grupos de Zappa-Szép es una generalización que, en su versión interna, no supone que ninguno de los subgrupos sea normal.

También existe una construcción en la teoría de anillos , el producto cruzado de anillos . Este se construye de manera natural a partir del anillo de grupos para un producto semidirecto de grupos. El enfoque de la teoría de anillos se puede generalizar aún más a la suma semidirecta de álgebras de Lie .

Para la geometría, también existe un producto cruzado para las acciones de grupo en un espacio topológico ; desafortunadamente, en general es no conmutativo incluso si el grupo es abeliano. En este contexto, el producto semidirecto es el espacio de órbitas de la acción de grupo. Alain Connes ha defendido este último enfoque como sustituto de los enfoques de las técnicas topológicas convencionales; véase geometría no conmutativa .

El producto semidirecto es un caso especial de la construcción de Grothendieck en la teoría de categorías . En concreto, una acción de sobre (con respecto al grupo, o incluso solo a la estructura monoide) es lo mismo que un funtor. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle F:BH\to Cat}$

del grupoide asociado a H (que tiene un único objeto *, cuyos endomorfismos son H ) a la categoría de categorías tales que el único objeto en se mapea a . La construcción de Grothendieck de este funtor es equivalente a , el (grupoide asociado a) producto semidirecto. ^[8] ${\displaystyle BH}$ ${\displaystyle BH}$ ${\displaystyle BN}$ ${\displaystyle B(H\rtimes N)}$

Grupoides

Otra generalización es para los grupoides. Esto ocurre en topología porque si un grupo G actúa sobre un espacio X, también actúa sobre el grupoide fundamental π ₁ ( X ) del espacio. El producto semidirecto π ₁ ( X ) ⋊ G es entonces relevante para encontrar el grupoide fundamental del espacio de órbitas X/G . Para obtener detalles completos, consulte el Capítulo 11 del libro al que se hace referencia a continuación, y también algunos detalles en el producto semidirecto ^[9] en ncatlab .

Categorías abelianas

Los productos semidirectos no triviales no surgen en categorías abelianas , como la categoría de módulos . En este caso, el lema de desdoblamiento muestra que todo producto semidirecto es un producto directo. Por lo tanto, la existencia de productos semidirectos refleja una falla de la categoría en ser abeliana.

Notación

Generalmente el producto semidirecto de un grupo H actuando sobre un grupo N (en la mayoría de los casos por conjugación como subgrupos de un grupo común) se denota por N ⋊ H o H ⋉ N . Sin embargo, algunas fuentes ^[10] pueden usar este símbolo con el significado opuesto. En caso de que la acción φ : H → Aut( N ) deba hacerse explícita, también se escribe N ⋊ _φ H . Una forma de pensar en el símbolo N ⋊ H es como una combinación del símbolo para el subgrupo normal ( ◁ ) y el símbolo para el producto ( × ). Barry Simon , en su libro sobre la teoría de la representación de grupos, ^[11] emplea la notación inusual para el producto semidirecto. ${\displaystyle N\mathbin {\circledS _{\varphi }} H}$

Unicode enumera cuatro variantes: ^[12]

Aquí la descripción Unicode del símbolo rtimes dice "factor normal derecho", en contraste con su significado habitual en la práctica matemática.

En LaTeX , los comandos \rtimes y \ltimes producen los caracteres correspondientes. Con el paquete de símbolos AMS cargado, \leftthreetimes produce ⋋ y \rightthreetimes produce ⋌.

Véase también

• Álgebra de Lie afín
• Construcción de Grothendieck , una construcción categórica que generaliza el producto semidirecto
• Holomorfo
• Álgebra de Lie, suma semidirecta
• Producto subdirecto
• Producto de corona
• Producto Zappa–Szép
• Producto cruzado

Notas

1. DS Dummit y RM Foote (1991), Álgebra abstracta , Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall , 142.
2. Robinson, Derek John Scott (2003). Introducción al álgebra abstracta . Walter de Gruyter . págs. 75–76. ISBN 9783110175448.
3. Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999). Álgebra (3.ª ed.). American Mathematical Society. págs. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2.
4. Milne. Grupos algebraicos (PDF) . pp. 45, productos semidirectos. Archivado (PDF) desde el original el 7 de marzo de 2016.
5. Thompson, Nick. "Zonas de Brillouin irreducibles y estructuras de bandas". bandgap.io . Consultado el 13 de diciembre de 2017 .
6. "álgebra abstracta - ¿Puede cada grupo no simple $G$ escribirse como un producto semidirecto?". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 29 de octubre de 2020 .
7. HE Rose (2009). Un curso sobre grupos finitos . Springer Science & Business Media. pág. 183. ISBN 978-1-84882-889-6.Nótese que Rose utiliza la convención de notación opuesta a la adoptada en esta página (p. 152).
8. Barr y Wells (2012, §12.2)
9. "Ncatlab.org".
10. por ejemplo, EB Vinberg (2003). Un curso de álgebra . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 389.ISBN​ 0-8218-3413-4.
11. B. Simon (1996). Representaciones de grupos finitos y compactos . Providence, RI: American Mathematical Society. pág. 6. ISBN. 0-8218-0453-7.
12. Véase unicode.org

Referencias

• Barr, Michael; Wells, Charles (2012), Teoría de categorías para la ciencia informática , Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías, vol. 2012, pág. 558, Zbl  1253.18001
• Brown, R. (2006), Topología y grupoides , Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8