En matemáticas , se puede definir un producto de subconjuntos grupales de forma natural. Si S y T son subconjuntos de un grupo G , entonces su producto es el subconjunto de G definido por
Los subconjuntos S y T no necesitan ser subgrupos para que este producto esté bien definido. La asociatividad de este producto se deriva de la del producto del grupo. Por tanto , el producto de subconjuntos de grupos define una estructura monoide natural en el conjunto potencia de G.
Se puede decir mucho más en el caso en que S y T sean subgrupos. El producto de dos subgrupos S y T de un grupo G es en sí mismo un subgrupo de G si y sólo si ST = TS .
Si S y T son subgrupos de G , su producto no tiene por qué ser un subgrupo (por ejemplo, dos subgrupos distintos de orden 2 en el grupo simétrico de 3 símbolos). Este producto a veces se denomina producto Frobenius . [1] En general, el producto de dos subgrupos S y T es un subgrupo si y sólo si ST = TS , [2] y se dice que los dos subgrupos se permutan . ( Walter Ledermann ha llamado a este hecho Teorema del producto , [3] pero este nombre, al igual que "producto de Frobenius", no es de ninguna manera estándar.) En este caso, ST es el grupo generado por S y T ; es decir, ST = TS = ⟨ S ∪ T ⟩.
Si S o T es normal , entonces se cumple la condición ST = TS y el producto es un subgrupo. [4] [5] Si tanto S como T son normales, entonces el producto también es normal. [4]
Si S y T son subgrupos finitos de un grupo G , entonces ST es un subconjunto de G de tamaño |ST| dado por la fórmula del producto :
Tenga en cuenta que esto se aplica incluso si ni S ni T son normales.
La siguiente ley modular (para grupos) se cumple para cualquier Q un subgrupo de S , donde T es cualquier otro subgrupo arbitrario (y tanto S como T son subgrupos de algún grupo G ):
Los dos productos que aparecen en esta igualdad no son necesariamente subgrupos.
Si QT es un subgrupo (de manera equivalente, como se señaló anteriormente, si Q y T se permutan), entonces QT = ⟨ Q ∪ T ⟩ = Q ∨ T ; es decir, QT es la unión de Q y T en la red de subgrupos de G , y la ley modular para tal par también puede escribirse como Q ∨ ( S ∩ T ) = S ∩ ( Q ∨ T ), que es la ecuación que define una red modular si se cumple para tres elementos cualesquiera de la red con Q ≤ S. En particular, dado que los subgrupos normales se permutan entre sí, forman una subred modular .
Un grupo en el que cada subgrupo permuta se llama grupo de Iwasawa . La red de subgrupos de un grupo de Iwasawa es, por tanto, una red modular, por lo que estos grupos a veces se denominan grupos modulares [6] (aunque este último término puede tener otros significados).
El supuesto en la ley modular para grupos (como se formuló anteriormente) de que Q es un subgrupo de S es esencial. Si Q no es un subgrupo de S , entonces la propiedad distributiva tentativa y más general que se puede considerar S ∩ ( QT ) = ( S ∩ Q )( S ∩ T ) es falsa . [7] [8]
En particular, si S y T se cruzan sólo en la identidad, entonces cada elemento de ST tiene una expresión única como un producto st con s en S y t en T. Si S y T también conmutan, entonces ST es un grupo y se denomina producto de Zappa-Szép . Aún más, si S o T es normal en ST , entonces ST coincide con el producto semidirecto de S y T. Finalmente, si tanto S como T son normales en ST , entonces ST coincide con el producto directo de S y T.
Si S y T son subgrupos cuya intersección es el subgrupo trivial (elemento de identidad) y además ST = G , entonces S se llama complemento de T y viceversa.
Por un abuso de terminología (localmente inequívoco) , dos subgrupos que se cruzan solo en la identidad (de otro modo obligatoria) a veces se denominan disjuntos . [9]
Una pregunta que surge en el caso de una intersección no trivial entre un subgrupo normal N y un subgrupo K es cuál es la estructura del cociente NK / N . Aunque uno podría verse tentado a simplemente "cancelar" N y decir que la respuesta es K , eso no es correcto porque un homomorfismo con núcleo N también "colapsará" (asignará a 1) todos los elementos de K que estén en N . Por tanto, la respuesta correcta es que NK / N es isomorfa con K /( N ∩ K ). Este hecho a veces se denomina segundo teorema del isomorfismo , [10] (aunque la numeración de estos teoremas ve algunas variaciones entre los autores); I. Martin Isaacs también lo llamó teorema del diamante debido a la forma de la red de subgrupos involucrada, [11] y Paul Moritz Cohn también lo llamó regla del paralelogramo , quien enfatizó la analogía con la regla del paralelogramo para vectores porque en En la red de subgrupos resultante, los dos lados que se supone representan los grupos cocientes ( SN ) / N y S / ( S ∩ N ) son "iguales" en el sentido de isomorfismo. [12]
El argumento de Frattini garantiza la existencia de un producto de subgrupos (que da lugar al grupo completo) en un caso en el que la intersección no sea necesariamente trivial (y por esta última razón los dos subgrupos no son complementos). Más específicamente, si G es un grupo finito con un subgrupo normal N , y si P es un p -subgrupo de Sylow de N , entonces G = N G ( P ) N , donde N G ( P ) denota el normalizador de P en G. (Tenga en cuenta que el normalizador de P incluye P , por lo que la intersección entre N y NG ( P ) es al menos P. )
En un semigrupo S, el producto de dos subconjuntos define una estructura de un semigrupo en P(S), el conjunto potencia del semigrupo S; además P(S) es un semianillo con la suma como unión (de subconjuntos) y la multiplicación como producto de subconjuntos. [13]
