El argumento de Frattini

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , el argumento de Frattini es un lema importante en la teoría de la estructura de los grupos finitos . Recibe su nombre de Giovanni Frattini , quien lo utilizó en un artículo de 1885 al definir el subgrupo de Frattini de un grupo. El argumento fue tomado por Frattini, como él mismo admite, de un artículo de Alfredo Capelli fechado en 1884. ^[1]

El argumento de Frattini

Declaración

Si es un grupo finito con subgrupo normal , y si es un p -subgrupo de Sylow de , entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle G=N_{G}(P)H,}$

donde denota el normalizador de en , y significa el producto de los subconjuntos del grupo . ${\displaystyle N_{G}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N_{G}(P)H}$

Prueba

El grupo es un subgrupo de Sylow de , por lo que cada subgrupo de Sylow de es un conjugado de , es decir, tiene la forma para algún (ver teoremas de Sylow ). Sea cualquier elemento de . Como es normal en , el subgrupo está contenido en . Esto significa que es un subgrupo de Sylow de . Entonces, por lo anterior, debe ser conjugado con : es decir, para algún ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h^{-1}Ph}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g^{-1}Pg}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g^{-1}Pg}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h\in H}$

${\displaystyle g^{-1}Pg=h^{-1}Ph,}$

y entonces

${\displaystyle hg^{-1}Pgh^{-1}=P.}$

De este modo

${\displaystyle gh^{-1}\in N_{G}(P),}$

y por lo tanto . Pero era arbitrario, y por eso ${\displaystyle g\in N_{G}(P)H}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle G=HN_{G}(P)=N_{G}(P)H.\ \square }$

Aplicaciones

• El argumento de Frattini puede utilizarse como parte de una prueba de que cualquier grupo nilpotente finito es un producto directo de sus subgrupos de Sylow.
• Aplicando el argumento de Frattini a , se puede demostrar que siempre que es un grupo finito y es un subgrupo de Sylow de . ${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))}$ ${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))=N_{G}(P)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$
• De manera más general, si un subgrupo contiene para algún subgrupo de Sylow de , entonces es autonormalizante, es decir . ${\displaystyle M\leq G}$ ${\displaystyle N_{G}(P)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=N_{G}(M)}$

Enlaces externos

• El argumento de Frattini en ProofWiki

Referencias

1. M. Brescia, F. de Giovanni, M. Trombetti, "La verdadera historia detrás del argumento de Frattini", Avances en teoría de grupos y aplicaciones 3 , doi:10.4399/97888255036928

• Hall, Marshall (1959). La teoría de grupos . Nueva York, NY: Macmillan. (Véase el Capítulo 10, especialmente la Sección 10.4.)