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Producto de subconjuntos de un grupo

En matemáticas , se puede definir un producto de subconjuntos de un grupo de forma natural. Si S y T son subconjuntos de un grupo G , entonces su producto es el subconjunto de G definido por

Los subconjuntos S y T no necesitan ser subgrupos para que este producto esté bien definido. La asociatividad de este producto se desprende de la del producto de grupo. Por lo tanto, el producto de subconjuntos de grupo define una estructura monoide natural en el conjunto potencia de G.

Se puede decir mucho más en el caso en que S y T son subgrupos. El producto de dos subgrupos S y T de un grupo G es en sí mismo un subgrupo de G si y solo si ST = TS .

Producto de subgrupos

Si S y T son subgrupos de G , su producto no necesita ser un subgrupo (por ejemplo, dos subgrupos distintos de orden 2 en el grupo simétrico en 3 símbolos). Este producto a veces se llama producto de Frobenius . [1] En general, el producto de dos subgrupos S y T es un subgrupo si y solo si ST = TS , [2] y se dice que los dos subgrupos permutan . ( Walter Ledermann ha llamado a este hecho el Teorema del Producto , [3] pero este nombre, al igual que "producto de Frobenius" no es de ninguna manera estándar.) En este caso, ST es el grupo generado por S y T ; es decir, ST = TS = ⟨ S ∪ T ⟩.

Si S o T son normales, entonces se cumple la condición ST = TS y el producto es un subgrupo. [4] [5] Si tanto S como T son normales, entonces el producto también es normal. [4]

Si S y T son subgrupos finitos de un grupo G , entonces ST es un subconjunto de G de tamaño |ST| dado por la fórmula del producto :

Tenga en cuenta que esto se aplica incluso si ni S ni T son normales.

Derecho modular

La siguiente ley modular (para grupos) se cumple para cualquier Q subgrupo de S , donde T es cualquier otro subgrupo arbitrario (y tanto S como T son subgrupos de algún grupo G ):

Q ( S ∩ T ) = S ∩ ( QT ).

Los dos productos que aparecen en esta igualdad no son necesariamente subgrupos.

Si QT es un subgrupo (equivalentemente, como se señaló anteriormente, si Q y T se permutan) entonces QT = ⟨ Q ∪ T ⟩ = Q ∨ T ; es decir, QT es la unión de Q y T en la red de subgrupos de G , y la ley modular para dicho par también puede escribirse como Q ∨ ( S ∩ T ) = S ∩ ( Q ∨ T ), que es la ecuación que define una red modular si se cumple para cualesquiera tres elementos de la red con Q ≤ S . En particular, dado que los subgrupos normales se permutan entre sí, forman una subred modular .

Un grupo en el que cada subgrupo permuta se denomina grupo de Iwasawa . La red de subgrupos de un grupo de Iwasawa es, por lo tanto, una red modular, por lo que a estos grupos a veces se les llama grupos modulares [6] (aunque este último término puede tener otros significados).

La suposición en la ley modular para grupos (tal como se formuló anteriormente) de que Q es un subgrupo de S es esencial. Si Q no es un subgrupo de S , entonces la propiedad distributiva tentativa, más general, de que uno puede considerar S ∩ ( QT ) = ( S ∩ Q )( S ∩ T ) es falsa . [7] [8]

Producto de subgrupos con intersección trivial

En particular, si S y T se intersecan solo en la identidad, entonces cada elemento de ST tiene una expresión única como un producto st con s en S y t en T . Si S y T también conmutan, entonces ST es un grupo, y se llama producto de Zappa–Szép . Más aún, si S o T son normales en ST , entonces ST coincide con el producto semidirecto de S y T . Finalmente, si tanto S como T son normales en ST , entonces ST coincide con el producto directo de S y T .

Si S y T son subgrupos cuya intersección es el subgrupo trivial (elemento identidad) y además ST = G , entonces S se llama complemento de T y viceversa.

Por un abuso de terminología (localmente inequívoco) , dos subgrupos que se intersecan solo en la identidad (de otro modo obligatoria) a veces se denominan disjuntos . [9]

Producto de subgrupos con intersección no trivial

Una pregunta que surge en el caso de una intersección no trivial entre un subgrupo normal N y un subgrupo K es cuál es la estructura del cociente NK / N . Aunque uno podría verse tentado a simplemente "cancelar" N y decir que la respuesta es K , eso no es correcto porque un homomorfismo con núcleo N también "colapsará" (mapeará a 1) todos los elementos de K que estén en N . Por lo tanto, la respuesta correcta es que NK / N es isomorfo con K /( N ∩ K ). Este hecho a veces se llama el segundo teorema de isomorfismo , [10] (aunque la numeración de estos teoremas ve alguna variación entre los autores); También ha sido llamado el teorema del diamante por I. Martin Isaacs debido a la forma de la red de subgrupos involucrada, [11] y también ha sido llamado la regla del paralelogramo por Paul Moritz Cohn , quien enfatizó la analogía con la regla del paralelogramo  para vectores porque en la red de subgrupos resultante los dos lados que se supone representan los grupos cocientes (SN)/N y S/(S∩N  ) son " iguales  " en el  sentido de isomorfismo. [12]

El argumento de Frattini garantiza la existencia de un producto de subgrupos (que da lugar al grupo entero) en un caso en el que la intersección no es necesariamente trivial (y por esta última razón los dos subgrupos no son complementarios). Más específicamente, si G es un grupo finito con subgrupo normal N , y si P es un p -subgrupo de Sylow de N , entonces G = N G ( P ) N , donde N G ( P ) denota el normalizador de P en G . (Nótese que el normalizador de P incluye a P , por lo que la intersección entre N y N G ( P ) es al menos P .)

Generalización a semigrupos

En un semigrupo S, el producto de dos subconjuntos define una estructura de un semigrupo en P(S), el conjunto potencia del semigrupo S; además P(S) es un semianillo con adición como unión (de subconjuntos) y multiplicación como producto de subconjuntos. [13]

Véase también

Referencias

  1. ^ Adolfo Ballester-Bolinches; Ramón Esteban Romero; Mohamed Asad (2010). Productos de Grupos Finitos . Walter de Gruyter. pag. 1.ISBN​ 978-3-11-022061-2.
  2. ^ W. Keith Nicholson (2012). Introducción al álgebra abstracta (4.ª ed.). John Wiley & Sons. Lema 2, pág. 125. ISBN 978-1-118-13535-8.
  3. ^ Walter Ledermann, Introducción a la teoría de grupos , 1976, Longman, ISBN 0-582-44180-3 , pág. 52 
  4. ^ ab Nicholson, 2012, Teorema 5, pág. 125
  5. ^ David AR Wallace (1998). Grupos, anillos y campos . Springer Science & Business Media. Teorema 14, pág. 123. ISBN 978-3-540-76177-8.
  6. ^ Ballester-Bolinches, Esteban-Romero, Asaad, p. 24
  7. ^ Derek Robinson (1996). Un curso sobre la teoría de grupos . Springer Science & Business Media. pág. 15. ISBN. 978-0-387-94461-6.
  8. ^ Paul Moritz Cohn (2000). Álgebra clásica . Wiley. pp. 248. ISBN. 978-0-471-87731-8.
  9. ^ L. Fuchs (1970). Grupos abelianos infinitos. Volumen I. Academic Press. pág. 37. ISBN 978-0-08-087348-0.
  10. ^ Dan Saracino (1980). Álgebra abstracta: un primer curso . Addison-Wesley. pág. 123. ISBN 0-201-07391-9.
  11. ^ I. Martin Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado . American Mathematical Soc. pág. 33. ISBN 978-0-8218-4799-2.
  12. ^ Paul Moritz Cohn (2000). Álgebra clásica . Wiley. pág. 245. ISBN 978-0-471-87731-8.
  13. ^ Jean E. Pin (1989). Propiedades formales de autómatas finitos y aplicaciones: LITP Spring School on Theoretical Computer Science, Ramatuelle, Francia, 23-27 de mayo de 1988. Actas . Springer Science & Business Media. pág. 35. ISBN 978-3-540-51631-6.