grupo cuasidiédrico

Gráfico de Cayley del grupo cuasidiédrico de orden 16

Gráfico de Cayley del grupo modular máximo-cíclico de orden 16

Gráfico de Cayley del grupo diédrico de orden 16

En matemáticas , los grupos cuasi-diedricos , también llamados grupos semi-diedricos , son ciertos grupos no abelianos de orden una potencia de 2. Por cada entero positivo n mayor o igual a 4, existen exactamente cuatro clases de isomorfismos de grupos no-abelianos. grupos abelianos de orden 2 ⁿ que tienen un subgrupo cíclico de índice 2. Dos son bien conocidos, el grupo cuaternión generalizado y el grupo diédrico . Uno de los dos grupos restantes a menudo se considera particularmente importante, ya que es un ejemplo de una clase de 2 grupos de nilpotencia máxima . En el texto Endliche Gruppen de Bertram Huppert , este grupo se denomina "Quasidiedergruppe". En el texto de Daniel Gorenstein , Grupos finitos , este grupo se denomina "grupo semidiédrico". Dummit y Foote se refieren a él como el "grupo cuasidiédrico"; Adoptamos ese nombre en este artículo. Todos dan la misma presentación para este grupo:

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}-1}\rangle \,\!}$.

El otro grupo 2 no abeliano con subgrupo cíclico de índice 2 no recibe un nombre especial en ninguno de los textos, sino que se lo denomina simplemente G o M _m (2). Cuando este grupo tiene orden 16, Dummit y Foote se refieren a este grupo como el "grupo modular de orden 16", ya que su red de subgrupos es modular . En este artículo, este grupo se denominará grupo de orden modular máximo-cíclico . Su presentación es: ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}+1}\rangle \,\!}$.

Tanto estos dos grupos como el grupo diédrico son productos semidirectos de un grupo cíclico < r > de orden 2 ^{n −1} con un grupo cíclico < s > de orden 2. Tal producto semidirecto no abeliano está determinado únicamente por un elemento de orden 2 en el grupo de unidades del anillo y hay precisamente tres de esos elementos, , y , correspondientes al grupo diédrico, al cuasidiédrico y al grupo modular máximo-cíclico. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n-1}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2^{n-1}-1}$ ${\displaystyle 2^{n-2}-1}$ ${\displaystyle 2^{n-2}+1}$

El grupo cuaternión generalizado, el grupo diédrico y el grupo cuasidiédrico de orden 2 ⁿ tienen clase de nilpotencia n - 1, y son las únicas clases de isomorfismo de grupos de orden 2 ⁿ con clase de nilpotencia n - 1. Los grupos de orden p ⁿ y la clase de nilpotencia n − 1 fueron el comienzo de la clasificación de todos los grupos p mediante coclase . El grupo modular cíclico máximo de orden 2 ⁿ siempre tiene clase de nilpotencia 2. Esto hace que el grupo modular cíclico máximo sea menos interesante, ya que la mayoría de los grupos de orden p ⁿ para n grande tienen clase de nilpotencia 2 y han resultado difíciles de entender directamente.

El cuaternión generalizado, el diédrico y el grupo cuasidiédrico son los únicos 2 grupos cuyo subgrupo derivado tiene índice 4. El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein clasifica los grupos simples , y hasta cierto punto los grupos finitos , con 2 subgrupos cuasidiédricos de Sylow .

Ejemplos

Los 2 subgrupos de Sylow de los siguientes grupos son cuasidiédricos:

• PSL ₃ ( F _q ) para q ≡ 3 mod 4,
• PSU ₃ ( F _q ) para q ≡ 1 mod 4,
• el grupo Mathieu M ₁₁ ,
• GL ₂ ( F _q ) para q ≡ 3 mod 4.

Referencias

• Tonto, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3 ed.). Wiley. págs. 71–72. ISBN 9780471433347.
• Huppert, B. (1967). Grupo Endliche . Saltador. págs. 90–93. SEÑOR  0224703.
• Gorenstein, D. (1980). Grupos finitos . Chelsea. págs. 188-195. ISBN 0-8284-0301-5. SEÑOR  0569209.