Producto de corona

Tema en la teoría de grupos

En la teoría de grupos , el producto de corona es una combinación especial de dos grupos basada en el producto semidirecto . Se forma por la acción de un grupo sobre muchas copias de otro grupo, algo análogo a la exponenciación . Los productos de corona se utilizan en la clasificación de grupos de permutación y también proporcionan una forma de construir ejemplos interesantes de grupos.

Dados dos grupos y (a veces conocidos como el inferior y el superior ^[1] ), existen dos variantes del producto corona: el producto corona sin restricciones y el producto corona restringido . La forma general, denotada por o respectivamente, requiere que actúe sobre algún conjunto ; cuando no se especifica, normalmente (un producto corona regular ), aunque a veces se implica uno diferente . Las dos variantes coinciden cuando , , y son todas finitas. Cualquiera de las variantes también se denota como (con \wr para el símbolo LaTeX) o A  ≀  H ( Unicode U+2240). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A\wr H}$

La noción se generaliza a los semigrupos y, como tal, es una construcción central en la teoría de la estructura de Krohn-Rhodes de los semigrupos finitos.

Definición

Sea un grupo y sea un grupo que actúa sobre un conjunto (a la izquierda). El producto directo de con él mismo indexado por es el conjunto de sucesiones en , indexado por , con una operación de grupo dada por la multiplicación puntual. La acción de sobre se puede extender a una acción sobre reindexando , es decir, definiendo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$

${\displaystyle h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }}$

para todos y todas . ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }}$

Entonces, el producto corona sin restricciones de por es el producto semidirecto con la acción de sobre dado anteriormente. El subgrupo de se llama base del producto corona. ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$

El producto corona restringido se construye de la misma manera que el producto corona no restringido, excepto que se utiliza la suma directa como base del producto corona. En este caso, la base consta de todas las secuencias en con un número finito de entradas no identidad . Las dos definiciones coinciden cuando es finito. ${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega }$

En el caso más común, , y actúa sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda. En este caso, el producto corona sin restricciones y restringido puede denotarse por y respectivamente. Esto se denomina producto corona regular . ${\displaystyle \Omega =H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$

Notación y convenciones

La estructura del producto corona de A por H depende del conjunto H Ω y, en caso de que Ω sea infinito, también depende de si se utiliza el producto corona restringido o no restringido. Sin embargo, en la literatura la notación utilizada puede ser deficiente y es necesario prestar atención a las circunstancias.

• En la literatura, A ≀ _Ω H puede representar el producto de corona sin restricciones A  Wr _Ω  H o el producto de corona restringida A  wr _Ω  H .
• De manera similar, A ≀ H puede representar el producto de corona regular sin restricciones A  Wr  H o ​​el producto de corona regular restringida A  wr  H .
• En la literatura, el conjunto H Ω puede omitirse de la notación incluso si Ω ≠  H .
• En el caso especial de que H  =  S _n sea el grupo simétrico de grado n, es común en la literatura suponer que Ω = {1,..., n } (con la acción natural de S _n ) y luego omitir Ω de la notación. Es decir, A ≀ S _n comúnmente denota A ≀ _{{1,..., n }} S _n en lugar del producto de corona regular A ≀ _{S n} S _n . En el primer caso, el grupo base es el producto de n copias de A , en el último es el producto de n ! copias de  A .

Propiedades

Acuerdo entre el producto corona restringido y no restringido en Ω finito

Puesto que el producto directo finito es el mismo que la suma directa finita de grupos, se deduce que el producto A  Wr _Ω  H sin restricciones y el producto corona restringido A  wr _Ω  H coinciden si Ω es finito. En particular, esto es cierto cuando Ω = H y H es finito.

Subgrupo

A  wr _Ω  H es siempre un subgrupo de A  Wr _Ω  H .

Cardinalidad

Si A , H y Ω son finitos, entonces

| A ≀ _Ω H | = | Un | ^|Ω| | H |. ^[2]

Teorema de incrustación universal

Teorema de incrustación universal : si G es una extensión de A por H , entonces existe un subgrupo del producto corona sin restricciones A ≀ H que es isomorfo a G. ^[3] Esto también se conoce como el teorema de incrustación de Krasner-Kaloujnine . El teorema de Krohn-Rhodes implica lo que es básicamente el semigrupo equivalente de esto. ^[4]

Acciones canónicas de los productos de corona

Si el grupo A actúa sobre un conjunto Λ entonces hay dos formas canónicas de construir conjuntos a partir de Ω y Λ sobre los que A  Wr _Ω  H (y por lo tanto también A  wr _Ω  H ) puede actuar.

• La acción del producto de corona primitiva sobre Λ × Ω.

  Si (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H y ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , entonces

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').}$

• La acción del producto de corona primitiva sobre Λ ^Ω .

  Un elemento en Λ ^Ω es una secuencia ( λ _ω ) indexada por el conjunto H Ω. Dado un elemento (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H su operación en ( λ _ω ) ∈ Λ ^Ω está dada por

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).}$

Ejemplos

• El grupo de faroleros es el producto de corona restringida . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\wr S_{n}}$(el grupo simétrico generalizado ). La base de este producto de corona es el producto directo n -vez de copias de donde la acción del grupo simétrico S _n de grado n está dada por φ ( σ )(α ₁ ,..., α _n ) := ( α _{σ (1)} ,..., α _{σ ( n )} ). ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{n}=\mathbb {Z} _{m}...\mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \phi :S_{n}\to {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{m}^{n})}$

• ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$(el grupo hiperoctaédrico ).
• La acción de S _n sobre {1,..., n } es la indicada anteriormente. Dado que el grupo simétrico S ₂ de grado 2 es isomorfo al grupo hiperoctaédrico, es un caso especial de un grupo simétrico generalizado. ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

• El producto corona no trivial más pequeño es , que es el caso bidimensional del grupo hiperoctaédrico anterior. Es el grupo de simetría del cuadrado, también llamado D ₄ , el grupo diedro de orden 8. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$
• Sea p un primo y sea . Sea P un p -subgrupo de Sylow del grupo simétrico S _{p ⁿ} . Entonces P es isomorfo al producto iterado de corona regular de n copias de . Aquí y para todo . ^{[7] [8]} Por ejemplo, el 2-subgrupo de Sylow de S ₄ es el grupo anterior. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle W_{n}=\mathbb {Z} _{p}\wr ...\wr \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle W_{1}:=\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle W_{k}:=W_{k-1}\wr \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$

• El grupo del Cubo de Rubik es un subgrupo normal de índice 12 en el producto de productos corona, , los factores correspondientes a las simetrías de las 8 esquinas y las 12 aristas. ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}\wr S_{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr S_{12})}$

• El grupo de transformaciones que preservan la validez (VPT) de Sudoku contiene el producto de doble corona ( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S _{2 , donde los factores son la permutación de filas/columnas dentro de una} banda o pila de 3 filas o 3 columnas ( S ₃ ), la permutación de las bandas/pilas mismas ( S ₃ ) y la transposición, que intercambia las bandas y pilas ( S ₂ ). Aquí, los conjuntos de índices Ω son el conjunto de bandas (o pilas) (| Ω | = 3) y el conjunto {bandas, pilas} (| Ω | = 2). En consecuencia, | S ₃ ≀ S ₃ | = | S ₃ | ³ | S ₃ | = (3!) ⁴ y |( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ | = | S ₃ ≀ S ₃ | ² | S ₂ | = (3!) ⁸ × 2.

• Los productos de corona surgen de manera natural en las simetrías de árboles completos con raíces y sus gráficos . Por ejemplo, el producto de corona repetido (iterado) S ₂ ≀ S ₂ ≀ ... ≀ S ₂ es el grupo de automorfismos de un árbol binario completo .

Referencias

1. Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1998), "Productos de corona", Notas sobre grupos de permutación infinita , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1698, Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 67–76, doi :10.1007/bfb0092558, ISBN 978-3-540-49813-1, consultado el 12 de mayo de 2021
2. Joseph J. Rotman, Introducción a la teoría de grupos, pág. 172 (1995)
3. M. Krasner y L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Matemáticas. 14, págs. 69–82 (1951)
4. JDP Meldrum (1995). Productos de corona de grupos y semigrupos . Longman [Reino Unido] / Wiley [Estados Unidos]. p. ix. ISBN 978-0-582-02693-3.
5. JW Davies y AO Morris, "El multiplicador de Schur del grupo simétrico generalizado", J. London Math. Soc. (2), 8, (1974), págs. 615–620
6. P. Graczyk, G. Letac y H. Massam, "El grupo hiperoctaédrico, las representaciones del grupo simétrico y los momentos de la distribución real de Wishart", J. Theoret. Probab. 18 (2005), núm. 1, 1–42.
7. Joseph J. Rotman, Introducción a la teoría de grupos, pág. 176 (1995)
8. L. Kaloujnine, "La estructura de los p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Troisième Série 65, págs. 239-276 (1948)

Enlaces externos

• Producto de corona en Enciclopedia de Matemáticas .
• Charles Wells, "Algunas aplicaciones de la construcción de productos en forma de corona", revisado. Archivado el 21 de febrero de 2014 en Wayback Machine.