grupo iwasawa

En matemáticas , un grupo se llama grupo de Iwasawa , grupo M o grupo modular si su red de subgrupos es modular . Alternativamente, un grupo G se llama grupo Iwasawa cuando cada subgrupo de G es permutable en G (Ballester-Bolinches, Esteban-Romero & Asaad 2010, págs. 24-25).

Kenkichi Iwasawa (1941) demostró que un grupo p G es un grupo Iwasawa si y sólo si ocurre uno de los siguientes casos:

• G es un grupo de Dedekind , o
• G contiene un subgrupo normal abeliano N tal que el grupo cociente G/N es un grupo cíclico y si q denota un generador de G/N , entonces para todo n ∈ N , q ⁻¹ nq = n ^{1+ p s} donde s ≥ 1 en general, pero s ≥ 2 para p =2.

En Berkovich y Janko (2008, p. 257), se consideró que la prueba de Iwasawa tenía lagunas esenciales, que fueron llenadas por Franco Napolitani y Zvonimir Janko . Roland Schmidt (1994) ha proporcionado una prueba alternativa en diferentes líneas en su libro de texto. Como parte de la prueba de Schmidt, demuestra que un p -grupo finito es un grupo modular si y sólo si cada subgrupo es permutable, por (Schmidt 1994, Lema 2.3.2, p. 55).

Cada subgrupo de un p -grupo finito es subnormal , y aquellos grupos finitos en los que coinciden la subnormalidad y la permutabilidad se denominan grupos PT. En otras palabras, un grupo p finito es un grupo de Iwasawa si y sólo si es un grupo PT . ^{[ cita necesaria ]}

Ejemplos

El grupo de Iwasawa de orden 16 es isomorfo al grupo cíclico máximo modular de orden 16. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Ley modular para grupos

Otras lecturas

Tanto los grupos M finitos como los infinitos se presentan en forma de libro de texto en Schmidt (1994, capítulo 2). El estudio moderno incluye a Zimmermann (1989).

Referencias

• Iwasawa, Kenkichi (1941), "Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen", J. Fac. Ciencia. Diablillo. Univ. Tokio. Secta. I. , 4 : 171–199, SEÑOR  0005721
• Iwasawa, Kenkichi (1943), "Sobre la estructura de infinitos grupos M", Japanese Journal of Mathematics , 18 : 709–728, doi : 10.4099/jjm1924.18.0_709 , MR  0015118
• Schmidt, Roland (1994), Subgrupos de celosías de grupos , Exposiciones en matemáticas, vol. 14, Walter de Gruyter, doi :10.1515/9783110868647, ISBN 978-3-11-011213-9, señor  1292462
• Zimmermann, Irene (1989), "Subgrupos submodulares en grupos finitos", Mathematische Zeitschrift , 202 (4): 545–557, doi :10.1007/BF01221589, MR  1022820, S2CID  121609694
• Ballester-Bolinches, Adolfo; Esteban-Romero, Ramón; Asaad, Mohamed (2010), Productos de grupos finitos , Walter de Gruyter, págs. 24-25, ISBN 978-3-11-022061-2
• Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2008), Grupos de orden de poder primario , vol. 2, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-020823-8