En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , dado un número primo p , un p -grupo es un grupo en el que el orden de cada elemento es una potencia de p . Es decir, para cada elemento g de un p -grupo G , existe un número entero no negativo n tal que el producto de p n copias de g , y no menos, es igual al elemento identidad . Los órdenes de diferentes elementos pueden ser diferentes potencias de p .
Los grupos p abelianos también se denominan p -primarios o simplemente primarios .
Un grupo finito es un p -grupo si y sólo si su orden (el número de sus elementos) es una potencia de p . Dado un grupo finito G , los teoremas de Sylow garantizan la existencia de un subgrupo de G de orden p n para cada potencia prima p n que divide el orden de G.
Todo grupo p finito es nilpotente .
El resto de este artículo trata sobre grupos p finitos . Para ver un ejemplo de un grupo p abeliano infinito , consulte Grupo de Prüfer , y para un ejemplo de un grupo p simple infinito , consulte Grupo de monstruos de Tarski .
Cada grupo p es periódico ya que, por definición, cada elemento tiene un orden finito .
Si p es primo y G es un grupo de orden p k , entonces G tiene un subgrupo normal de orden p m para cada 1 ≤ m ≤ k . Esto se sigue por inducción, utilizando el teorema de Cauchy y el teorema de correspondencia para grupos. Un bosquejo de prueba es el siguiente: debido a que el centro Z de G no es trivial (ver más abajo), según el teorema de Cauchy Z tiene un subgrupo H de orden p . Al ser central en G , H es necesariamente normal en G. Ahora podemos aplicar la hipótesis inductiva a G/H , y el resultado se desprende del teorema de correspondencia.
Uno de los primeros resultados estándar al utilizar la ecuación de clase es que el centro de un p -grupo finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial. [1]
Esto constituye la base de muchos métodos inductivos en p -grupos.
Por ejemplo, el normalizador N de un subgrupo propio H de un p -grupo finito G contiene adecuadamente H , porque para cualquier contraejemplo con H = N , el centro Z está contenido en N , y por lo tanto también en H , pero entonces hay un ejemplo más pequeño H / Z cuyo normalizador en G / Z es N / Z = H / Z , creando un descenso infinito. Como corolario, todo grupo p finito es nilpotente .
En otra dirección, cada subgrupo normal N de un finito p -grupo cruza el centro de manera no trivial, como puede demostrarse considerando los elementos de N que son fijos cuando G actúa sobre N por conjugación. Dado que cada subgrupo central es normal, se deduce que cada subgrupo normal mínimo de un p -grupo finito es central y tiene orden p . De hecho, el zócalo de un grupo p finito es el subgrupo del centro que consta de los elementos centrales de orden p .
Si G es un grupo p , entonces también lo es G / Z , por lo que también tiene un centro no trivial. La preimagen en G del centro de G / Z se llama segundo centro y estos grupos inician la serie central superior . Generalizando los comentarios anteriores sobre el zócalo, un p -grupo finito con orden p n contiene subgrupos normales de orden p i con 0 ≤ i ≤ n , y cualquier subgrupo normal de orden p i está contenido en el i- ésimo centro Z i . Si un subgrupo normal no está contenido en Z i , entonces su intersección con Z i +1 tiene un tamaño al menos p i +1 .
Los grupos de automorfismos de los grupos p están bien estudiados. Así como cada grupo p finito tiene un centro no trivial, de modo que el grupo de automorfismo interno es un cociente propio del grupo, cada grupo p finito tiene un grupo de automorfismo externo no trivial . Cada automorfismo de G induce un automorfismo en G /Φ( G ), donde Φ( G ) es el subgrupo Frattini de G . El cociente G/Φ( G ) es un grupo abeliano elemental y su grupo de automorfismo es un grupo lineal general , por lo que se entiende muy bien. Burnside ha estudiado el mapa del grupo de automorfismos de G en este grupo lineal general , quien demostró que el núcleo de este mapa es un grupo p .
Los p -grupos del mismo orden no son necesariamente isomorfos ; por ejemplo, el grupo cíclico C 4 y el grupo de cuatro grupos V 4 de Klein son ambos 2 grupos de orden 4, pero no son isomorfos.
Tampoco es necesario que un grupo p sea abeliano ; el grupo diédrico Dih 4 de orden 8 es un grupo 2 no abeliano. Sin embargo, todo grupo de orden p 2 es abeliano. [nota 1]
Los grupos diédricos son muy similares y muy diferentes de los grupos de cuaterniones y de los grupos semidiédricos . Juntos, los grupos diédrico, semidiédrico y cuaternión forman los 2 grupos de clase máxima , es decir, aquellos grupos de orden 2 n +1 y clase de nilpotencia n .
Los productos de corona iterados de grupos cíclicos de orden p son ejemplos muy importantes de p -grupos. Denotaremos el grupo cíclico de orden p como W (1), y el producto corona de W ( n ) con W (1) como W ( n + 1). Entonces W ( n ) es el subgrupo p de Sylow del grupo simétrico Sym ( p n ). Los p -subgrupos máximos del grupo lineal general GL( n , Q ) son productos directos de varios W ( n ). Tiene orden p k donde k = ( p n − 1)/( p − 1). Tiene clase de nilpotencia p n −1 , y su serie central inferior, serie central superior, serie central de exponente inferior- p y serie central de exponente superior- p son iguales. Se genera por sus elementos de orden p , pero su exponente es p n . El segundo grupo de este tipo, W (2), también es un grupo p de clase máxima, ya que tiene orden p p +1 y clase de nilpotencia p , pero no es un grupo p regular . Dado que los grupos de orden p p son siempre grupos regulares, también es un ejemplo mínimo.
Cuando p = 2 y n = 2, W ( n ) es el grupo diédrico de orden 8, por lo que en cierto sentido W ( n ) proporciona un análogo para el grupo diédrico para todos los primos p cuando n = 2. Sin embargo, para n superior la analogía se vuelve tensa. Hay una familia diferente de ejemplos que imita más de cerca los grupos diédricos de orden 2 n , pero eso requiere un poco más de configuración. Sea ζ una raíz p primitiva de la unidad en los números complejos, sea Z [ζ] el anillo de enteros ciclotómicos generado por ella, y sea P el ideal primo generado por 1−ζ. Sea G un grupo cíclico de orden p generado por un elemento z . Forme el producto semidirecto E ( p ) de Z [ζ] y G donde z actúa como multiplicación por ζ. Las potencias P n son subgrupos normales de E ( p ), y los grupos de ejemplo son E ( p , n ) = E ( p )/ P n . E ( p , n ) tiene orden p n +1 y clase de nilpotencia n , por lo que es un p -grupo de clase máxima. Cuando p = 2, E (2, n ) es el grupo diédrico de orden 2 n . Cuando p es impar, tanto W (2) como E ( p , p ) son grupos irregulares de clase máxima y orden p p +1 , pero no son isomorfos.
Los subgrupos de Sylow de grupos lineales generales son otra familia fundamental de ejemplos. Sea V un espacio vectorial de dimensión n con base { e 1 , e 2 , ..., e n } y defina V i como el espacio vectorial generado por { e i , e i +1 , ..., e n } para 1 ≤ i ≤ n , y define Vi = 0 cuando i > n . Para cada 1 ≤ m ≤ n , el conjunto de transformaciones lineales invertibles de V que llevan cada Vi a Vi + m forman un subgrupo de Aut( V ) denotado U m . Si V es un espacio vectorial sobre Z / p Z , entonces U 1 es un subgrupo p de Sylow de Aut( V ) = GL( n , p ), y los términos de su serie central inferior son solo U m . En términos de matrices, U m son aquellas matrices triangulares superiores con 1 en la diagonal y 0 en las primeras m −1 superdiagonales. El grupo U 1 tiene orden p n ·( n −1)/2 , clase de nilpotencia n y exponente p k donde k es el mínimo entero al menos tan grande como el logaritmo base p de n .
Los grupos de orden p n para 0 ≤ n ≤ 4 se clasificaron tempranamente en la historia de la teoría de grupos, [2] y el trabajo moderno ha extendido estas clasificaciones a grupos cuyo orden divide a p 7 , aunque el gran número de familias de tales grupos crece tan rápidamente que otras clasificaciones en este sentido se consideran difíciles de comprender para la mente humana. [3] Por ejemplo, Marshall Hall Jr. y James K. Senior clasificaron grupos de orden 2 n para n ≤ 6 en 1964. [4]
En lugar de clasificar los grupos por orden, Philip Hall propuso utilizar una noción de isoclinismo de grupos que reunía finitos p -grupos en familias basadas en grandes cocientes y subgrupos. [5]
Un método completamente diferente clasifica los grupos p finitos por su coclase , es decir, la diferencia entre la longitud de su composición y su clase de nilpotencia . Las llamadas conjeturas de coclase describieron el conjunto de todos los grupos p finitos de coclase fija como perturbaciones de un número finito de grupos pro-p . Las conjeturas de coclase fueron probadas en la década de 1980 utilizando técnicas relacionadas con álgebras de Lie y potentes grupos p . [6] Las demostraciones finales de los teoremas de coclase se deben a A. Shalev e independientemente a CR Leedham-Green, ambos en 1994. Admiten una clasificación de p -grupos finitos en grafos de coclase dirigidos que consisten sólo en un número finito de árboles de coclase cuyos ( infinitos) los miembros se caracterizan por un número finito de presentaciones parametrizadas.
Todo grupo de orden p 5 es metabeliano . [7]
El grupo trivial es el único grupo de orden uno, y el grupo cíclico C p es el único grupo de orden p . Hay exactamente dos grupos de orden p 2 , ambos abelianos, a saber, C p 2 y C p × C p . Por ejemplo, el grupo cíclico C 4 y el grupo de cuatro grupos de Klein V 4 , que es C 2 × C 2, son ambos 2 grupos de orden 4.
Hay tres grupos abelianos de orden p 3 , a saber, C p 3 , C p 2 × C p y C p × C p × C p . También hay dos grupos no abelianos.
Para p ≠ 2, uno es un producto semidirecto de C p × C p con C p y el otro es un producto semidirecto de C p 2 con C p . El primero puede describirse en otros términos como grupo UT(3, p ) de matrices unitriangulares sobre campo finito con p elementos, también llamado grupo de Heisenberg mod p .
Para p = 2, ambos productos semidirectos mencionados anteriormente son isomorfos al grupo diédrico Dih 4 de orden 8. El otro grupo no abeliano de orden 8 es el grupo cuaternión Q 8 .
El número de clases de isomorfismo de grupos de orden p n crece a medida que , y están dominadas por las clases que son nilpotentes de dos pasos. [8] Debido a este rápido crecimiento, existe una conjetura popular que afirma que casi todos los grupos finitos son 2 grupos: se cree que la fracción de clases de isomorfismo de 2 grupos entre clases de isomorfismo de grupos de orden n como máximo tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Por ejemplo, de los 49 910 529 484 grupos diferentes de orden como máximo en 2000, 49 487 367 289 , o poco más del 99%, son 2 grupos de orden 1024. [9]
Cada grupo finito cuyo orden es divisible por p contiene un subgrupo que es un grupo p no trivial , es decir, un grupo cíclico de orden p generado por un elemento de orden p obtenido del teorema de Cauchy . De hecho, contiene un p -grupo de orden máximo posible: si donde p no divide a m, entonces G tiene un subgrupo P de orden llamado p -subgrupo de Sylow. Este subgrupo no necesita ser único, pero cualquier subgrupo de este orden es conjugado, y cualquier p -subgrupo de G está contenido en un p -subgrupo de Sylow. Ésta y otras propiedades se demuestran en los teoremas de Sylow .
Los p -grupos son herramientas fundamentales para comprender la estructura de los grupos y en la clasificación de grupos finitos simples . Los p -grupos surgen tanto como subgrupos como como grupos cocientes. Como subgrupos, para un p primo dado uno tiene los p -subgrupos P de Sylow ( el p -subgrupo más grande no es único pero todos conjugados) y el p -núcleo (el p -subgrupo normal más grande único ), y varios otros. Como cocientes, el cociente más grande del grupo p es el cociente de G por el subgrupo p -residual. Estos grupos están relacionados (para diferentes primos), poseen propiedades importantes como el teorema del subgrupo focal y permiten determinar muchos aspectos de la estructura. del grupo.
Gran parte de la estructura de un grupo finito se lleva a cabo en la estructura de sus llamados subgrupos locales , los normalizadores de p -subgrupos no idénticos . [10]
Los grandes subgrupos abelianos elementales de un grupo finito ejercen control sobre el grupo que se utilizó en la demostración del teorema de Feit-Thompson . Ciertas extensiones centrales de grupos abelianos elementales llamados grupos extraespeciales ayudan a describir la estructura de los grupos actuando sobre espacios vectoriales simplécticos .
Richard Brauer clasificó todos los grupos cuyos subgrupos Sylow 2 son el producto directo de dos grupos cíclicos de orden 4, y John Walter, Daniel Gorenstein , Helmut Bender, Michio Suzuki , George Glauberman y otros clasificaron aquellos grupos simples cuyos subgrupos Sylow 2 eran abeliano, diédrico, semidiédrico o cuaternión.
