automorfismo interno

Automorfismo de un grupo, anillo o álgebra dado por la acción de conjugación de uno de sus elementos

En álgebra abstracta, un automorfismo interno es un automorfismo de un grupo , anillo o álgebra dado por la acción de conjugación de un elemento fijo, llamado elemento conjugador . Pueden realizarse mediante operaciones sencillas desde el interior del propio grupo, de ahí el adjetivo "interno". Estos automorfismos internos forman un subgrupo del grupo de automorfismos, y el cociente del grupo de automorfismos por este subgrupo se define como el grupo de automorfismos externos .

Definición

Si G es un grupo y g es un elemento de G (alternativamente, si G es un anillo y g es una unidad ), entonces la función

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}}$

se llama conjugación (derecha) por g (ver también clase de conjugación ). Esta función es un endomorfismo de G : para todos ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in G,}$

${\displaystyle \varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),}$

donde la segunda igualdad está dada por la inserción de la identidad entre y Además, tiene una inversa izquierda y derecha , es decir , es biyectiva , y por tanto un isomorfismo de G consigo mismo, es decir, un automorfismo. Un automorfismo interno es cualquier automorfismo que surge de la conjugación. ^[1] ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}.}$ ${\displaystyle \varphi _{g^{-1}}.}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$

Cuando se habla de conjugación correcta, la expresión a menudo se denota exponencialmente por. Esta notación se usa porque la composición de las conjugaciones satisface la identidad: para todos Esto muestra que la conjugación correcta produce una acción correcta de G sobre sí misma. ${\displaystyle g^{-1}xg}$ ${\displaystyle x^{g}.}$ ${\displaystyle \left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G.}$

Grupos de automorfismos internos y externos.

La composición de dos automorfismos internos es nuevamente un automorfismo interno, y con esta operación, la colección de todos los automorfismos internos de G es un grupo, el grupo de automorfismos internos de G denota Inn( G ) .

Inn( G ) es un subgrupo normal del grupo de automorfismo completo Aut( G ) de G . El grupo de automorfismo externo , Out( G ) es el grupo cociente

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).}$

El grupo de automorfismos externos mide, en cierto sentido, cuántos automorfismos de G no son internos. Cada automorfismo no interno produce un elemento no trivial de Out( G ) , pero diferentes automorfismos no internos pueden producir el mismo elemento de Out( G ) .

Decir que la conjugación de x por a deja x sin cambios es equivalente a decir que a y x conmutan:

${\displaystyle a^{-1}xa=x\iff xa=ax.}$

Por lo tanto, la existencia y el número de automorfismos internos que no son el mapeo de identidad es una especie de medida del fracaso de la ley conmutativa en el grupo (o anillo).

Un automorfismo de un grupo G es interno si y sólo si se extiende a todo grupo que contenga G. ^[2]

Al asociar el elemento a ∈ G con el automorfismo interno f ( x ) = x ^a en Inn( G ) como arriba, se obtiene un isomorfismo entre el grupo cociente G / Z( G ) (donde Z( G ) es el centro de G ) y el grupo de automorfismos internos:

${\displaystyle G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).}$

Esto es una consecuencia del primer teorema del isomorfismo , porque Z( G ) es precisamente el conjunto de aquellos elementos de G que dan el mapeo de identidad como automorfismo interno correspondiente (la conjugación no cambia nada).

Automorfismos no internos de grupos p finitos

Un resultado de Wolfgang Gaschütz dice que si G es un grupo p finito no abeliano , entonces G tiene un automorfismo de orden de potencia p que no es interno.

Es un problema abierto si todo grupo p no abeliano G tiene un automorfismo de orden p . La última pregunta tiene respuesta positiva siempre que G tenga una de las siguientes condiciones:

1. G es nilpotente de clase 2
2. G es un grupo p regular
3. G / Z( G ) es un poderoso grupo p
4. El centralizador en G , C _G , del centro, Z , del subgrupo Frattini , Φ , de G , C _G ∘ Z ∘ Φ( G ) , no es igual a Φ( G )

Tipos de grupos

El grupo de automorfismo interno de un grupo G , Inn( G ) , es trivial (es decir, consta sólo del elemento identidad ) si y sólo si G es abeliano .

El grupo Inn( G ) es cíclico sólo cuando es trivial.

En el extremo opuesto del espectro, los automorfismos internos pueden agotar todo el grupo de automorfismos; un grupo cuyos automorfismos son todos internos y cuyo centro es trivial se llama completo . Este es el caso de todos los grupos simétricos en n elementos cuando n no es 2 o 6. Cuando n = 6 , el grupo simétrico tiene una clase única y no trivial de automorfismos no internos, y cuando n = 2 , el grupo simétrico El grupo, a pesar de no tener automorfismos no internos, es abeliano, dando un centro no trivial, descalificándolo de ser completo.

Si el grupo de automorfismo interno de un grupo perfecto G es simple, entonces G se llama cuasisimple .

Caso de álgebra de mentiras

Un automorfismo de un álgebra de Lie 𝔊 se llama automorfismo interno si tiene la forma Ad _g , donde Ad es el mapa adjunto y g es un elemento de un grupo de Lie cuyo álgebra de Lie es 𝔊 . La noción de automorfismo interno para álgebras de Lie es compatible con la noción de grupos en el sentido de que un automorfismo interno de un grupo de Lie induce un automorfismo interno único del álgebra de Lie correspondiente.

Extensión

Si G es el grupo de unidades de un anillo , A , entonces un automorfismo interno en G se puede extender a una aplicación en la línea proyectiva sobre A por el grupo de unidades del anillo de la matriz , M ₂ ( A ) . En particular, los automorfismos internos de los grupos clásicos pueden ampliarse de esa manera.

Referencias

1. Tonto, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pag. 45.ISBN​ 978-0-4714-5234-8. OCLC  248917264.
2. Schupp, Paul E. (1987), "Una caracterización de los automorfismos internos" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 101 (2), Sociedad Matemática Estadounidense: 226–228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR  2045986, Señor  0902532

Otras lecturas

• Abdollahi, A. (2010), " Los grupos p potentes tienen automorfismos no internos de orden p y algo de cohomología", J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016/j.jalgebra .2009.10.013, SEÑOR  2574864
• Abdollahi, A. (2007), " Los p -grupos finitos de clase 2 tienen automorfismos no internos de orden p ", J. Algebra , 312 (2): 876–879, arXiv : math/0608581 , doi :10.1016/j.jalgebra .2006.08.036, señor  2333188
• Diaconescu, M.; Silberberg, G. (2002), "Automorfismos no internos de orden p de p -grupos finitos", J. Algebra , 250 : 283–287, doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR  1898386
• Gaschütz, W. (1966), "Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen", J. Algebra , 4 : 1–2, doi : 10.1016/0021-8693(66)90045-7 , SEÑOR  0193144
• Liebeck, H. (1965), "Automorfismos externos en grupos p nilpotentes de clase 2 ", J. London Math. Soc. , 40 : 268–275, doi : 10.1112/jlms/s1-40.1.268, SEÑOR  0173708
• Remeslennikov, VN (2001) [1994], "Automorfismo interno", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Automorfismo interior". MundoMatemático .