Subgrupo Frattini

Diagrama de Hasse de la red de subgrupos del grupo diedro Dih ₄ . En la segunda fila están los subgrupos maximalistas; su intersección (el subgrupo de Frattini ) es el elemento central en la tercera fila. Por lo tanto, Dih ₄ tiene solo un elemento no generador más allá de e .

En matemáticas , particularmente en teoría de grupos , el subgrupo de Frattini de un grupo G es la intersección de todos los subgrupos máximos de G. Para el caso de que G no tenga subgrupos máximos, por ejemplo el grupo trivial { e } o un grupo de Prüfer , se define por . Es análogo al radical de Jacobson en la teoría de anillos , e intuitivamente se puede pensar en él como el subgrupo de "elementos pequeños" (ver la caracterización de "no generador" a continuación). Recibe su nombre en honor a Giovanni Frattini , quien definió el concepto en un artículo publicado en 1885. ^[1] ${\displaystyle \Phi (G)}$ ${\displaystyle \Phi (G)=G}$

Algunos datos

• ${\displaystyle \Phi (G)}$es igual al conjunto de todos los no generadores o elementos no generadores de G . Un elemento no generador de G es un elemento que siempre se puede eliminar de un conjunto generador ; es decir, un elemento a de G tal que siempre que X sea un conjunto generador de G que contenga a , también sea un conjunto generador de G . ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$
• ${\displaystyle \Phi (G)}$es siempre un subgrupo característico de G ; en particular, siempre es un subgrupo normal de G .
• Si G es finito, entonces es nilpotente . ${\displaystyle \Phi (G)}$
• Si G es un p -grupo finito , entonces . Por lo tanto, el subgrupo de Frattini es el subgrupo normal más pequeño (con respecto a la inclusión) N tal que el grupo cociente es un grupo abeliano elemental , es decir, isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos de orden p . Además, si el grupo cociente (también llamado cociente de Frattini de G ) tiene orden , entonces k es el número más pequeño de generadores para G (es decir, la cardinalidad más pequeña de un conjunto generador para G ). En particular, un p -grupo finito es cíclico si y solo si su cociente de Frattini es cíclico (de orden p ). Un p -grupo finito es abeliano elemental si y solo si su subgrupo de Frattini es el grupo trivial , . ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}[G,G]}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G/\Phi (G)}$ ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle \Phi (G)=\{e\}}$
• Si H y K son finitos, entonces . ${\displaystyle \Phi (H\times K)=\Phi (H)\times \Phi (K)}$

Un ejemplo de un grupo con subgrupo de Frattini no trivial es el grupo cíclico G de orden , donde p es primo, generado por un , digamos; aquí, . ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle }$

Véase también

• Subgrupo de ajuste
• El argumento de Frattini
• Zócalo

Referencias

1. Frattini, Giovanni (1885). "Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni" (PDF) . Accademia dei Lincei, Rediconti . (4). Yo : 281–285, 455–457. JFM  17.0097.01.

• Hall, Marshall (1959). La teoría de grupos . Nueva York: Macmillan. (Véase el Capítulo 10, especialmente la Sección 10.4.)